电子科技大学-随机过程-覃思义-第三章sjgc3.1

电子科技大学§3.1正态过程在现实问题中,满足一定条件的随机变量之和的极限服从正态分布.电子技术中的热噪声是由大量的热运动引起,也服从正态分布.由于一个随机过程可以用有限维分布来描述,为研究正态过程应首先研究多维正态分布随机变量.电子科技大学一、多维正态随机变量1.概率密度与特征函数若(X,Y)～);,;,(222211ρσμσμN(X,Y)的联合概率密度为221ρ121),(yx2211222221122()()()()1exp2ρ2(1)xxyy电子科技大学记,)()(21μμμYEXEYXE22212121ByxX其中σ10,σ20,||1,故协方差矩阵满足|B|≠0.电子科技大学(X,Y)的联合概率密度为221121),(ρyx2211222221122()()()()1exp22(1)xxyy)μ(τ)μ(21exp2π1121XXBB记为(X,Y)～N(μ,B).电子科技大学定义3.1.1设B=(bij)是n阶正定对称矩阵,μ是n维实值列向量,定义n维随机向量X=(X1,X2,…,Xn)t的联合密度函数为nxxxf,,,21112211τexp(μ)(μ)2(2π)XXnBB其中X=(x1,x2,…,xn)τ,称X服从n维正态分布.（*）电子科技大学记为X=(X1,X2,…,Xn)τ～N(μ,B).注当B=(bij)是n阶正定对称矩阵,有;0B0B若则不能用(*)式给出其概率密度.定理3.1.1n维正态分布随机向量X=(X1,X2,…,Xn)的特征函数为1()exp2uiuuButt其中.12(,,,)nuuuut(**)电子科技大学定义3.1.2若μ是n维实向量,B是n阶非负定对称阵,称以(**)式中的为其特征函数的n维随机变量X服从n维正态分布.)(t注若(**)式中的,称X服从退化正态分布或奇异正态分布.0B2.边缘分布及二阶矩以下结论总假定随机向量X=(X1,X2,…,Xn)τ服从N(μ,B).非退化电子科技大学定理3.1.2n维正态分布随机变量X的任一子向量)(),,,(τ21nmXXXmkkk也服从正态分布其中,)B~,μ~(B,),,,(μ~21mkkkB~是B保留第k1,k2,…,km行及列所得的m阶矩阵.多元正态分布的边缘分布仍是正态分布电子科技大学定理3.1.3设μ和B分别是随机向量X的数学期望向量及协方差矩阵,即E(Xi)=μi,1≤i≤n;bij=E{(Xi－μi)(Xj－μj)},1≤i,j≤n.n维正态分布由二阶矩确定.3.独立性问题定理3.1.4n维正态分布随机向量X1,X2,…,Xn相互独立的充要条件是它们两两不相关.等价于其协方差矩阵是对角阵.电子科技大学4.正态随机向量的线性变换定理3.1.5正态随机向量X=(X1,X2,…,Xn)τ，记E(X)=μ,协方差矩阵为B.1,njjjYlXLXL=(l1,l2,…,ln)有11τ(),nnjkjkjkDYllbLBL1()μ,njjjEYlL1)对X的线性组合电子科技大学2)若C=(cjk)m×n,线性变换Z=CX,则均值向量为E(Z)=E(CX)=CE(X)=Cμ,协方差矩阵为DZ=CBCτ定理3.1.6X=(X1,X2,…,Xn)τ服从n维正态分布N(μ,B)的充要条件是它的任何一个非零线性组合服从一维正态分布.njjjXl1,可将多维正态随机变量问题转化为一维正态分布问题.电子科技大学定理3.1.7若X=(X1,X2,…,Xn)τ服从n维正态分布N(μ,B),C=(cjk)m×n是任意矩阵,则Y=CX服从m维正态分布N(Cμ,CBCτ).正态分布的线性变换不变性证对于任意m维实值列向量u,Y的特征函数为()()iuYYuEet1exp()()()2iCuCuBCuttttt()()()iuCXiCuXEeEettt电子科技大学1exp()()2iCuuCBCuttt即随机向量Y=CX服从m维正态分布N(Cμ,CBCτ)能否保证Y=CX服从非退化正态分布?思考问题：反例:设随机变量X0与V相互独立,都服从标准正态分布N(0,1),令X(1)=X0+V,X(2)=X0+2V,X(3)=X0+3V,问(X(1),X(2),X(3))是否服从非退化正态分布?电子科技大学分析设VXCVXXXX00312111(3)(2)(1)XVX0～1001,00N因X的协方差矩阵为CBCτ=321111312111C1001Cτ电子科技大学|CBCτ|=,01074753432X=(X(1),X(2),X(3))不服从非退化正态分布.参见P28例2一般地,若X=(X1,X2)是非退化二维正态随机向量,其线性变换Y=CX,有1)每一分量服从正态分布;2)不能构成二维以上的非退化联合正态分布;电子科技大学分析2)设X=(X1,X2)的协方差矩阵为2)(,22212121BRB线性变换矩阵2)(,2221212111CRccccccCmmt则线性变换Y=CX的协方差矩阵为2))(),(min()(,CBCBRCRRYYt即二维以上的线性变换向量Y=CX都是退化(奇异)联合正态分布.电子科技大学问题结论：1)不能保证Y=CX服从非退化正态分布.2)当|CBCτ|≠0时,随机向量Y服从非退化正态分布.推论非退化正态分布随机向量X的行满秩线性变换仍服从非退化正态分布.可证明电子科技大学定理3.1.8若随机向量X服从N(μ,B),则存在一个正交变换U,使得Y=UX是一个相互独立的正态随机向量.证B为实对称矩阵,存在正交阵U,使nddd21DUBUtdi是B的特征向量电子科技大学又因B是正定阵(从而非奇异的)B有n个线性无关特征向量设U是以特征向量为列构成的正交阵,令Y=UX则得证.二、正态随机过程定义3.1.3随机过程{X(t),t∈T}称为正态过程,如果它的任意有限维分布都是联合正态分布.电子科技大学注1)上述几个定理均可应用于正态过程.即对任意的正整数n和t1,t2,…,tn∈T,n维随机变量(X(t1),…,X(tn))都服从正态分布.2）若存在n,对t1,t2,…,tn∈T,n维随机变量(X(t1),…,X(tn))服从退化正态分布,称{X(t),t∈T}为退化正态过程.3)正态过程的n维分布由其二阶矩完全确定.电子科技大学有对任意的n≥1,t1,t2,…,tn∈T,(X(t1),…,X(tn))τ～N(μ,B),,)()()(μ21ntmtmtm),(),(),(),(),(),(),(),(),(B212221212111nnnnnnttCttCttCttCttCttCttCttCttC)]}()()][()({[),(jjiijitmtXtmtXEttC.),1(nji电子科技大学Ex.1随机振幅电信号ξ与η相互独立同服从正态分布,RttttX,sincos)(设为常数ω,)η()ξ(0,)η()ξ(222EEEE2）写出一维概率密度和二维概率密度.1)试求X(t)的均值函数和相关函数；解1)0sinω)(cosω)()}({tηEtξEtXE，故因0)(E电子科技大学)}sincos)(sincos{(),(ssttEtsRstEstEsinsin)(coscos)(2222cosω()cos(τ),(τ)tsts.cos0),())((22ttRtXD2)X(t)的一维密度为Rxetxfx,2π1),(222电子科技大学X(ti)是相互独立正态随机变量的线性组合,故(X(t1),X(t2))服从二维正态分布,其相关系数为ttcoscosω),(),()()(),(22ttRssRtmsmtsR得过程X(t)的二维密度为),;,(21tsxxf,)cos1(2cos2cos1212222212122tttxxxx.),(2Ryx仅与t=t－s有关电子科技大学思考题:此过程是否是正态过程?可否写出任意n维概率密度?Ex.2分析P28例2中的n维概率分布在概率密度的协方差矩阵C中则取,3,2,31312ttttn21212121212121212191613161412131211Cttttttttt电子科技大学,2)(,0CRanC且可计算得故例中当n2时，不能写出n维联合正态概率密度.RttYtXtZ),()()(证明Z(t)是正态过程。证对任意正整数n及Rtttn,,21Ex.3设随机过程{X(t),t∈T}和{Y(t),t∈T}相互独立，都是正态随机过程，设))(,),(),((21ntXtXtX))(,),(),((21ntYtYtY电子科技大学都是n维联合正态随机向量，并相互独立。))(,),(),((21ntZtZtZ的n维特征函数为),,,;,,,(2121nnzuuuttt}{))]()(())()(([111nnntYtXutYtXuieE}{}{)]()([)]()([1111nnnntYutYuitXutXuieeEE}21exp{}21exp{uCuuiuCuuiYYXX]}[21)(exp{uCuuCuuiYXYX电子科技大学]})([21)(exp{uCCuuiYXYX问题：CX+CY是否是上随机向量的协方差矩阵？由特征函数和分布函数的惟一性定理知))(,),(),((21ntZtZtZ是正态随机向量.根据数学期望与协方差的性质))(),(())(),(())]()(()),()([(21212211tYtYCOVtXtXCOVtYtXtYtXCOV电子科技大学实际应用怎样验证随机过程XT={X(t),t∈T}是正态随机过程?))(,),(),((21ntZtZtZYXμμ的均值向量为YXCC协方差矩阵为.问题：能否保证是非退化正态过程？任取n≥1,及t1,t2,…,tn∈T，记X=(X(t1),…,X(tn))，电子科技大学1)计算X的n维协方差矩阵B；2)验证B的正定性；3)求正交矩阵U,使UBUτndddD21算法步骤如下：4)令Y=UX,Y的协方差矩阵为D；称将X去相关电子科技大学5)检验Y=(Y1,Y2,…,Yn)的独立性；6)检验Y的一维分布的正态性.随机过程统计推断问题结论若检验得Y=(Y1,Y2,…,Yn)是相互独立的正态随机变量，X=U－1Y是n维正态随机变量,即XT={X(t),t∈T}是正态随机过程.电子科技大学思考1)为以上算法写出理论依据;2)你能考虑用其他方法验证吗？