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立体几何大题1.如下图,一个等腰直角三角形的硬纸片ABC中,∠ACB=90°,AC=4cm,CD是斜边上的高沿CD把△ABC折成直二面角.(1)如果你手中只有一把能度量长度的直尺,应该如何确定A,B的位置,使二面角A-CD-B是直二面角?证明你的结论.(2)试在平面ABC上确定一个P,使DP与平面ABC内任意一条直线都垂直,证明你的结论.(3)如果在折成的三棱锥内有一个小球,求出小球半径的最大值.解:(1)用直尺度量折后的AB长,若AB=4cm,则二面角A-CD-B为直二面角.∵△ABC是等腰直角三角形,,cm22DBAD又∵AD⊥DC,BD⊥DC.∴∠ADC是二面角A-CD-B的平面角.有时当,cm4AB,22DBAD.90ADB.ABDBAD222(2)取△ABC的中心P,连DP,则DP满足条件∵△ABC为正三角形,且AD=BD=CD.∴三棱锥D-ABC是正三棱锥,由P为△ABC的中心,知DP⊥平面ABC,∴DP与平面内任意一条直线都垂直.(3)当小球半径最大时,此小球与三棱锥的4个面都相切,设小球球心为0,半径为r,连结OA,OB,OC,OD,三棱锥被分为4个小三棱锥,且每个小三棱锥中有一个面上的高都为r,故有ABCOABDOADCOBCDOBCDAVVVVV代入得3623r,即半径最大的小球半径为3623.ABC第1题图ABCD第1题图2.如图,已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长为3,侧棱长为4,连结A1B,过A作AF⊥A1B垂足为F,且AF的延长线交B1B于E。(Ⅰ)求证:D1B⊥平面AEC;(Ⅱ)求三棱锥B—AEC的体积;(Ⅲ)求二面角B—AE—C的大小.证(Ⅰ)∵ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱,∴D1D⊥ABCD.连AC,又底面ABCD是正方形,∴AC⊥BD,由三垂线定理知D1B⊥AC.同理,D1B⊥AE,AE∩AC=A,∴D1B⊥平面AEC.解(Ⅱ)VB-AEC=VE-ABC.∵EB⊥平面ABC,∴EB的长为E点到平面ABC的距离.∵Rt△ABE~Rt△A1AB,∴EB=.4912AAAB∴VB-AEC=VE-ABC=31S△ABC·EB=31×21×3×3×49=.827(10分)解(Ⅲ)连CF,∵CB⊥平面A1B1BA,又BF⊥AE,由三垂线定理知,CF⊥AE.于是,∠BFC为二面角B—AE—C的平面角,在Rt△ABE中,BF=59AEBEBA,在Rt△CBF中,tg∠BFC=35,∴∠BFC=arctg35.即二面角B—AE—C的大小为arctg35.3.如图,正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为1,点M在BC上,△AMC1是以M为直角顶点的等腰直角三角形.(I)求证:点M为BC的中点;(Ⅱ)求点B到平面AMC1的距离;(Ⅲ)求二面角M—AC1—B的正切值.答案:(I)证明:∵△AMC1是以点M为直角顶点的等腰直角三角形,ABCA1B1C1M第3题图∴AM⊥MC1且AM=MC1∵在正三棱柱ABC—A1B1C1中,有CC1⊥底面ABC.∴C1M在底面内的射影为CM,由三垂线逆定理,得AM⊥CM.∵底面ABC是边长为1的正三角形,∴点M为BC中点.(II)解法(一)过点B作BH⊥C1M交其延长线于H.由(I)知AM⊥C1M,AM⊥CB,∴AM⊥平面C1CBB1.∴AM⊥BH.∴BH⊥平面AMC1.∴BH为点B到平面AMC1的距离.∵△BHM∽△C1CM.AM=C1M=,23在Rt△CC1M中,可求出CC1.22.6623212211BHBHMCBMCCBH解法(二)设点B到平面AMC1的距离为h.则11BMCAAMCBVV由(I)知AM⊥C1M,AM⊥CB,∴AM⊥平面C1CBB1∵AB=1,BM=.22,23,2111CCMCAM可求出AMShSMBCAMC113131232221213123232131h66h(III)过点B作BI⊥AC1于I,连结HI.∵BH⊥平面C1AM,HI为BI在平面C1AM内的射影.∴HI⊥AC1,∠BIH为二面角M—AC1—B的平面角.在Rt△BHM中,,21,66BMBH∵△AMC1为等腰直角三角形,∠AC1M=45°.∴△C1IH也是等腰直角三角形.由C1M=.332,63,23122HCBHBMHM有∴.36HI.21HIBHBIHtg4.如图,已知多面体ABCDE中,AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,三角形ACD是正三角形,且AD=DE=2,AB=1,F是CD的中点.(Ⅰ)求证:AF∥平面BCE;(Ⅱ)求多面体ABCDE的体积;(Ⅲ)求二面角C-BE-D的正切值.证:(Ⅰ)取CE中点M,连结FM,BM,则有ABDEFM//21//.∴四边形AFMB是平行四边形.∴AF//BM,∵BM平面BCE,AF平面BCE,∴AF//平面BCE.(Ⅱ)由于DE⊥平面ACD,则DE⊥AF.又△ACD是等边三角形,则AF⊥CD.而CD∩DE=D,因此AF⊥平面CDE.又BM//AF,则BM⊥平面CDE.BMABVVVCDEBACDBABCDE22213124331232233233.(Ⅲ)设G为AD中点,连结CG,则CG⊥AD.由DE⊥平面ACD,CG平面ACD,则DE⊥CG,又AD∩DE=D,∴CG⊥平面ADEB.作GH⊥BE于H,连结CH,则CH⊥BE.∴∠CHG为二面角C-BE-D的平面角.由已知AB=1,DE=AD=2,则3CG,∴23122111212)21(21GBES.不难算出5BE.∴23521GHSGBE,∴53GH.∴315GHCGCHGtg.5.已知:ABCD是矩形,设PA=a,PA⊥平面ABCD.M、N分别是AB、PC的中点.(Ⅰ)求证:MN⊥AB;(Ⅱ)若PD=AB,且平面MND⊥平面PCD,求二面角P—CD—A的大小;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求三棱锥D—AMN的体积.(Ⅰ)连结AC,AN.由BC⊥AB,AB是PB在底面ABCD上的射影.则有BC⊥PB.又BN是Rt△PBC斜边PC的中线,即PCBN21.由PA⊥底面ABCD,有PA⊥AC,则AN是Rt△PAC斜边PC的中线,即PCAN21BNAN又∵M是AB的中点,ABMN(也可由三垂线定理证明)(Ⅱ)由PA⊥平面ABCD,AD⊥DC,有PD⊥DC.则∠PDA为平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角由PA=a,设AD=BC=b,CD=AB=c,又由AB=PD=DC,N是PC中点,则有DN⊥PC又∵平面MND⊥平面PCD于ND,∴PC⊥平面MND∴PC⊥MN,而N是PC中点,则必有PM=MC.bacbca.41412222此时4,1PDAPDAtg.即二面角P—CD—A的大小为4(Ⅲ)AMDNAMNDVV,连结BD交AC于O,连结NO,则NO21PA.且NO⊥平面AMD,由PA=a324231aNOSVAMDAMDN.6.如图,正方体ABCD—A1B1C1D1中,P、M、N分别为棱DD1、AB、BC的中点。(I)求二面角B1—MN—B的正切值;(II)证明:PB⊥平面MNB1;(III)画出一个正方体表面展开图,使其满足“有4个正方形面相连成一个长方形”的条件,∥=ABCDPA1B1C1D1第6题图MN并求出展开图中P、B两点间的距离。解:(I)连接BD交MN于F,则BF⊥MN,连接B1F∵B1B⊥平面ABCD∴B1F⊥MN2分则∠B1FB为二面角B1—MN—B的平面角在Rt△B1FB中,设B1B=1,则FB24∴tgBFB∠1224分(II)过点P作PE⊥AA1,则PE∥DA,连接BE又DA⊥平面ABB1A1,∴PE⊥平面ABB1A1又BE⊥B1M∴PB⊥MB1又MN∥AC,BD⊥AC,∴BD⊥MN又PD⊥平面ABCD∴PB⊥MN,所以PB⊥平面MNB111分(III)PB132,符合条件的正方体表面展开图可以是以下6种之一:7.如图,四棱锥P—ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD,PA=AD=2,点M、N分别在棱PD、PC上,且PC⊥平面AMN.(Ⅰ)求证:AM⊥PD;(Ⅱ)求二面角P—AM—N的大小;(Ⅲ)求直线CD与平面AMN所成角的大小.(I)证明:∵ABCD是正方形,∴CD⊥AD,∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥CD.∴CD⊥平面PAD∵AM平面PAD,∴CD⊥AM.∵PC⊥平面AMN,∴PC⊥AM.∴AM⊥平面PCD.∴AM⊥PD(II)解:∵AM⊥平面PCD(已证).∴AM⊥PM,AM⊥NM.∴∠PMN为二面角P-AM-N的平面角∵PN⊥平面AMN,∴PN⊥NM.在直角△PCD中,CD=2,PD=22,∴PC=23.∵PA=AD,AM⊥PD,∴M为PD的中点,PM=21PD=2由Rt△PMN∽Rt△PCD,得∴PCPMCDMN..33arccos.33322)cos(PMNPCCDPMMNPMN即二面角P—AM—N的大小为33arccos.(III)解:延长NM,CD交于点E.∵PC⊥平面AMN,∴NE为CE在平面AMN内的射影∴∠CEN为CD(即(CE)与平在AMN所成的角∵CD⊥PD,EN⊥PN,∴∠CEN=∠MPN.在Rt△PMN中,.33arcsin)2,0(.33)sin(MPNMPNPMMNMPN∴CD与平面AMN所成的角的大小为33arcsin8.如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,∠ACB=90°.BC=CC1=a,AC=2a.(I)求证:AB1⊥BC1;(II)求二面角B—AB1—C的大小;(III)求点A1到平面AB1C的距离.(1)证明:∵ABC—A1B1C1是直三棱柱,∴CC1⊥平面ABC,∴AC⊥CC1.∵AC⊥BC,∴AC⊥平面B1BCC1.∴B1C是AB1在平面B1BCC1上的射影.∵BC=CC1,∴四边形B1BCC1是正方形,∴BC1⊥B1C.根据三垂线定理得,AB1⊥BC1(2)解:设BC1∩B1C=O,作OP⊥AB1于点P,连结BP.∵BO⊥AC,且BO⊥B1C,∴BO⊥平面AB1C.∴OP是BP在平面AB1C上的射影.根据三垂线定理得,AB1⊥BP.∴∠OPB是二面角B—AB1—C的平面角∵△OPB1~△ACB1,∴,11ABOBACOP∴.3311aABACOBOP在Rt△POB中,26OPOBOPBtg,∴二面角B—AB1—C的大小为.26arctg(3)解:[解法1]∵A1C1//AC,A1C1平面AB1C,∴A1C1//平面AB1C.∴点A1到平面AB1C的距离与点C1到平面AB1C.的距离相等.∵BC1⊥平面AB1C,∴线段C1O的长度为点A1到平面AB1C的距离.∴点A1到平面AB1C的距离为.221aOC[解法2]连结A1C,有CAABCABAVV1111,设点A1到平面AB1C的距离为h.∵B1C1⊥平面ACC1A1,∴1111CBShSACAACB,又212121,22111aAAACSaCBACSACAACB,∴.22222aaaah∴点A1到平面AB1C的距离为.22a9.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=BC=2,BB1=3,连接BC1,过B1作B1E⊥BC1交CC1于点E(Ⅰ)求证:AC1⊥平面B1D1E;(Ⅱ)求三棱锥C1-B1D1E1的体积;(Ⅲ)求二面角E-B1D1-C1的平面角大小(1)证明:连接A1C1交B1D1于点O∵ABCD-A1B1C1D1是长方体∴AA1⊥平面A1B1C1D1,A1C1是AC1在平面A1B1C1D1上的射影∵AB=BC,∴A1C1⊥B1D1,根据三垂线定理得:AC1⊥B1D1;∵AB⊥平面BCC1B1,且BC1⊥B1E,∴AC1⊥B1E∵B1D1∩B1E=B1
本文标题:高三精选立体几何大题30题
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