二重积分的计算3

第二节二重积分的计算（在极坐标系下二重积分的计算）[问题引入]计算下列二重积分①22xyDIed22(,)14DxyxyD1x2+y2=1x2+y2=4xyD解：2214xyDIed②22()DIxyd22(,)24Dxyxxyx(x-1)2+y2=1x2+y2=422242202()54xxxIdxxydy解：解：22()xyDIed222(,)Dxyxya222222()aaxxyaaxIdxedy2222()004aaxxyIdxedy或x2+y2=a2o③极坐标系下点的坐标和曲线方程P(r,)r=r()··oorr)r·Pr)r=r()cossinxryryx如:r=ar=2cosr=2sin·[注记]：⑴对于一个二重积分，当：①积分区域D的边界曲线用极坐标方程表示比较容易；②被积函数用极坐标变量r、来表达比较简单这时，用极坐标计算会带来方便。⑵因为直角坐标与极坐标之间有关系：所以极坐标系下二重积分的表达式为(,)(cos,sin)Dfxydfrrrdrdcossinxryr例如引例①(,)12,02rr2rerdrdorr·(r)r=1r=2222401()rderdree22xyDIed22(,)14Dxyxy.2rrdrd(,)2cos2,02rrror=2r=2cos23202cos54drdr引例②22()DIxyd22(,)24Dxyxxyx.2rerdrd(,)0,02rraro·r=ar=0a22200(1)araderdre引例③22()xyDIed222(,)Dxyxya在极坐标系下计算二重积分，同样是化为二次积分来计算，同样有选择积分次序和确定积分限的问题。但积分次序多以先对r后对的次序，而确定积分限可分为三种情形：①当极点o在内部，且的边界曲线为r=r()，即这时[如上例③](,)0(),02rrr2()00(cos,sin)rIdfrrrdrorr=r()②当极点o在的边界上，且由射线=、=和连续曲线r=r()围成。即这时例如(,)0(),rrr()0(cos,sin)rIdfrrrdr·or22r=r()ror=r()2cos23012cos3301cossinsincos916Idrrdrdrdr例1解：22(,)12,0DIxydDxyxyxy1:1,2cos3rBro12Bxr=2cosr=1交点[实践练习]224DIxyd22(,)16Dxyxy计算二重积分当4≤x2+y2≤16时222244()xyxy22224()4xyxy122222[4()][()4]DDIxydxyd221(,)4Dxyxy221(,)416Dxyxy用极坐标计算如下：2224220002(4)(4)80Idrrdrdrrdr24xyrox2+y2=4x2+y2=16r=2r=4D1D2解：当x2+y2≤4时作业：习题9—2P3679、12、（3）13（4）