边坡工程第7章-边坡稳定性数值分析方法(冶金出版社)

边坡工程SlopeEngineering第七章边坡稳定性数值分析方法吴顺川北京科技大学2017.10特别感谢本教材及PPT中引用文献及图片的作者！本章主要介绍边坡稳定性分析有限单元法和有限差分法的基本原理、强度折减法的基本概念、FLAC3D软件特点等，并结合工程案例，采用有限差分法模拟分析了工程开挖、软弱结构面、不同处置方案等因素对边坡稳定性的影响。了解主要的边坡数值分析方法及其特点，掌握边坡稳定性数值模拟的基本步骤，熟悉强度折减法的概念、特点及其优势，结合前述章节内容掌握影响边坡稳定性的主要因素。本章主要内容学习要点7.17.27.3边坡稳定分析有限单元法有限单元法基本原理目录CONTENTS有限元强度折减法基本原理边坡稳定分析有限差分法有限差分法基本原理快速拉格朗日法FLAC3D简介及应用示例FLAC3D软件简介边坡稳定性FLAC3D计算实例前言虽然刚体极限平衡法为评价边坡稳定性的主要方法，但该理论未能充分考虑边坡岩土体自身的应力-应变关系，所求岩土体条块之间的内力或岩土体条块底部的反力均不能代表边坡的实际工况。因此，极限平衡法所得结果并不能完全适用于实际工程情况，为更好完成边坡稳定性分析工作，数值分析方法不失为一种有效的计算手段。数值分析法主要应用于求解岩土体的应力、应变分布特征及其发展过程。随着计算机性能的增强，各类数值计算方法迅速发展。例如以有限单元法(FEM，如ANSYS、ABAQUS软件)、边界元法(BEM，如EXAMINE3D软件)、有限差分法(FDM，如FLAC软件)、无单元法为代表的连续介质分析法；以离散元法(DEM，如UDEC软件)、关键块体法、颗粒元法(PFC，如PFC3D软件)、不连续变形分析法(DDA)为代表的非连续介质分析法。各类数值分析方法已广泛应用于各类边坡工程中，其计算分析结果为边坡设计及灾害防治工作提供了重要的参考依据。本章以目前应用最为广泛的两种数值分析方法，即有限单元法和有限差分法为例，简要介绍其计算分析的基本原理及过程，并结合边坡工程实例展开详细分析。7.1边坡稳定分析有限单元法7.1.1有限单元法基本原理7.1.2有限单元强度折减法基本原理7.1边坡稳定分析有限单元法有限单元法是综合现代数学、力学理论、计算机技术等学科的一种用于连续物理场分析的数值计算工具，其基本思想是将问题的求解域离散化，得到有限个彼此之间相连的单元。在单元内假设近似解的模式，通过适当方法，建立单元内部点的待求量与单元节点量之间的关系。有限单元法是将边坡体离散成有限个单元体，或理解为用有限个单元体所构成的离散化结构代替原有连续体结构，通过分析单元体应力和应变来评价整个边坡稳定性的方法。该方法是目前在边坡工程中应用最广泛的数值分析方法之一，其主要优点包括：①可用于非均质问题的求解；②可用于非线性材料、各向异性材料的求解；③可适应复杂边界条件，边界条件与有限元模型具有相对独立性；④可用于计算应力变形、渗流、固结、流变、动力和温度问题等。7.1.1有限单元法基本原理有限单元法于20世纪60年代发展起来，是一种将微分方程(组)简化为线性代数方程组从而求解问题的数值分析方法，对非均质、非线性、复杂边界问题具有很强的适用性。有限单元法以最小势能原理为理论基础，计算过程中将连续体对象进行离散化，成为由若干较小单元组成的连续体，离散后相邻单元彼此连接，并保持原有连续性质。单元边线的交点称为节点，计算时一般以节点位移作为未知量。有限单元法的特点是把有限个单元逐个分析处理，每个单元要满足其自身的几何方程、平衡方程和本构方程，形成单元的几何矩阵、应力矩阵和刚度矩阵，然后根据位移模式、单元边线和节点位移协调条件组合成整体刚度矩阵，参考边界条件和荷载条件后对节点位移进行求解。求得节点位移后，对每个单元逐一进行单元应力和应变计算，最终得到整个计算对象的位移场、应力场和应变场。有限单元法计算分析过程可概括为6个步骤：结构离散化形函数选择建立单元应力-节点位移关系建立单元节点力-节点位移关系建立整体平衡方程求解位置节点位移和单元应力有限元分析的前提，将连续体划分为单元和节点。有限元分析的关键问题，决定单元内部各点的位移模式。建立并计算用节点位移表示单元应变的关系式。利用虚功原理建立单元节点力和位移的关系式（单元平衡方程）结合总刚度矩阵和总荷载矩阵，构建整个结构的平衡方程。结构离散化形函数选择建立单元应力-节点位移关系建立单元节点力-节点位移关系建立整体平衡方程求解位置节点位移和单元应力在一定边界条件下求解出所有未知节点的位移7.1.1有限单元法基本原理7.1.2有限元强度折减法基本原理有限元强度折减法与有限元荷载增加法统称为有限元极限分析法，其本质均为采用数值分析手段求解极限状态的分析法。有限元极限分析法中安全系数的定义依据岩土工程出现破坏状态的原因不同而不同。例如，多数情况下边坡岩土体受环境影响，致使其强度降低从而导致边坡失稳破坏。这类工程宜采用强度储备安全系数，即通过不断降低岩土强度使有限元计算最终达到破坏为止。最终得到强度降低的倍数即为强度储备安全系数，此类有限元极限分析方法称为有限元强度折减法。近年来，有限元强度折减法在各类工程中得到广泛应用，实际工程经验证明其在岩土工程分析中的可行性与优越性，尤其在边坡稳定性分析领域优势突出。7.1.2有限元强度折减法基本原理近年来，有限元强度折减法在各类工程中得到广泛应用，实际工程经验证明其在岩土工程分析中的可行性与优越性，尤其在边坡稳定性分析领域优势突出。(1)有限元强度折减法概念与折减安全系数有限元强度折减法不断降低边坡岩土体抗剪强度参数，直至达到极限破坏状态为止，计算过程中根据弹塑性有限元计算结果得到边坡滑动破坏面和强度储备安全系数。对于摩尔-库伦材料，强度折减安全系数可表示为：强度折减安全系数的定义与边坡稳定分析中极限平衡条分法安全系数的定义是一致的，均属于强度储备安全系数。但对实际边坡工程而言，它们都表示整体滑面的安全系数，即滑面的平均安全系数，而不是某个应力点的安全系数。1999年美国科罗拉多矿业学院的Griffith等人采用有限元强度折减法计算所得结果与传统方法得到的边坡安全系数比较接近，表明采用此法分析边坡稳定性是可行的。国内学者在提高计算精度方面做了大量工作，使该方法计算精度得到较大提高，并将其应用于岩质边坡和边(滑)坡支挡结构的计算中，扩大了有限元强度折减法的应用范围。7.1.2有限元强度折减法基本原理(2)有限元强度折减法的优点有限元强度折减法在理论体系上比极限平衡法更为严格，全面满足了静力平衡、应变相容及岩土体的非线性应力-应变关系，因此采用有限元强度折减法分析边坡稳定性具有下列优点：1)求解安全系数时，不需要假定滑动面的形状和位置，也无需进行条分，自动计算潜在滑动面，滑动破坏自然地发生在岩土体剪切带位置、塑性应变和位移突变的区域；2)能够模拟岩土体与各种支挡结构的共同作用，可考虑开挖施工过程对边坡稳定性的影响，并能根据岩土介质与支挡结构的共同作用计算各种支挡结构的内力、边坡的新滑面及其安全系数；3)能够对具有复杂地貌、地质条件的边坡进行计算，不受边坡几何形状、边界条件和材料不均匀性等条件的限制；4)能够模拟边坡渐进破坏过程，并提供应力、应变和位移等信息及其变化。7.1.2有限元强度折减法基本原理(3)边坡整体失稳判据极限平衡法是超静定问题，无论采用何种极限平衡方法时都需作出一些假定。然而，有限元强度折减法可通过岩土体的本构关系，使计算变为静定问题，不作任何假定即可求出边坡的安全系数，但计算过程中边坡失稳判据的确定较为关键。在求解边坡稳定性问题时，边坡是否处于失稳状态可以参考以下三点判定：1)数值计算不收敛采用强度折减法进行边坡稳定性分析时，可通过判断计算是否收敛作为是否发生失稳的判据。数值方法通过强度折减使边坡达到极限破坏状态，滑动面上的位移和塑性应变将产生突变，且此位移和塑性应变的大小不再是一个定值，程序无法从数值方程组中找到一个既能满足静力平衡又能满足应力-应变关系和强度准则的解。此时，不管是从力的收敛标准，还是从位移的收敛标准来判断数值计算都不收敛。此判据认为，在边坡破坏之前计算收敛，破坏之后计算不收敛，其表征滑动面上岩土体无限流动，因此可把静力平衡方程是否有解、数值计算是否收敛作为边坡失稳破坏的判据。2)坡面位移突变边坡的变形破坏始终具有一定的位移特性，因此计算的位移结果是边坡失稳最直观的表达。目前以位移作为失稳判据的方法，是在计算过程中建立某个部位的位移或者最大位移与折减系数的关系曲线，以曲线上的拐点作为边坡处于临界破坏状态的临界点。也就是说，当折减系数增大到某一特定值时，某一部位的位移突然增大，则认为边坡发生失稳。7.1.2有限元强度折减法基本原理3)塑性区贯通由于岩土体是弹塑性的，当应力达到一定程度时，岩土体便会发生塑性破坏，岩土体的塑性破坏与塑性区出现扩展及其分布紧密相关。边坡破坏时，其塑性变形区域必然是贯通的。因此，采用强度折减法进行边坡稳定性分析时，随着折减系数的不断增大，边坡各个部位必然会逐步发生不同程度的塑性变形，所以，如果发生塑性变形的区域互相贯通，则说明边坡已经发生整体失稳。7.2边坡稳定分析有限差分法7.2.1有限差分法基本原理7.2.2快速拉格朗日法岩土工程问题的数值解是建立在满足基本方程(平衡方程、几何方程、本构方程)和边界条件下推导的。由于基本方程和边界条件多为微分方程形式，因此，将基本方程近似用差分方程(代数方程)表示，把求解微分方程的问题转换成求解代数方程的问题，即为差分法计算的核心思想。有限差分法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观、表达简单，是发展较早且比较成熟的数值分析方法，其通过泰勒级数展开等方法，以网格节点上的函数值的差商代替控制方程中的导数，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。对于有限差分格式，根据格式精度可划分为一阶格式、二阶格式和高阶格式；根据差分的空间形式可划分为中心格式和逆风格式；根据时间因子的影响还可划分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。基本的差分表达式主要有4种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分、二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。在时间和空间条件下对这几种不同差分格式进行组合，可得到多种不同的差分计算格式。7.2.1有限差分法基本原理(1)有限差分法公式建立差分公式前先要对求解域划分差分网格。如图所示，在平面上作分别平行于x轴和y轴的两组平行线：；，i,j为整数。其中为平面上任意一点，它可在区域V内，亦可在V外。h为x方向步长，l为y方向步长。该两组平行线的交点称为节点，两组平行线在V内组成的网格称为差分网格，若称为矩形网格，则称为正方形网格。沿𝑥和𝑦方向距离均不超过一个步长的两节点称为相邻节点。位于边界S上的节点称为边界节点，位于𝑉内的节点称为内节点，位于V和S以外的节点称为外部虚拟节点，如图所示。除特殊情况外，一般只考虑位于V内和S上(简记为)的节点，即内部节点和边界节点。节点简记为，函数在此点的值简记为。7.2.1有限差分法基本原理7.2.1有限差分法基本原理2323,23444112!3!14!ijiiiiffffxyfxxxxxxxxxfxxx，导数的差分公式可从函数的Taylor级数展开式导出，以二元函数f(x,y)为例，在点(xi,yj)附近，函数f(x,y)沿x方向可以展为Taylor级数如下：在式中分别取x=xi+h，x=xi-h，假定h为充分小时可得：221,,22ijijfhfffhxx221,,22ijijfhfffhxx联立求解及，得差分公式：fx22fx1,1,2ijijfffxh21,,1,222ijijijffffxh上两式是基本的中心差分公式，由其导出其它中心差分公式：3222,1,1,2,3223222iji+ji