导数的概念及几何意义

2017-2-14xxfxxfxxxfxfxy)()()()(000101函数中关于的平均变化率为：yx)(xfy当即时，若平均变化率趋于一个固定值，则称这个值为函数在点的瞬时变化率。01xx0x)(xfy0x复习引入xxfxxfxxxfxfxfxxx)()(lim)()(lim)(0000101001数学上称这个瞬时变化率为在点的导数，用表示，记作)(0xf0x)(xfy例1一条水管中流过的水量是时间x(s)的函数，求函数在x=2处的导数，并解释它的实际意义。)(3myxxfy3)()(xfy)2(f例2一名食品加工厂的工人上班后开始连续工作，生产的食品数量y(kg)是时间x(h)的函数y=f(x)。设函数在x=1和x=3处的导数分别是和，试解释其实际意义。4)1(f3.53)(f解析解析例3服药后，人体血液中的药浓度y(ug/ml)是时间t(min)的函数y=f(t)，假设y=f(t)在t=10和t=100处的导数分别为和，试解释其实际意义。5.)0(11f6.0)00(1f解析割线的斜率OABxyy=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=△xf(x2)-f(x1)=△y1212)()(xxxfxfxyk如右图,直线AB称为曲线y=f(x)在点A处的一条割线.则割线AB的斜率为:oxyy=f(x)割线AB切线).()(.)(.)(.0,,)(:0xfxfyAxfylAxfylxlAABAxfyBAB在处的导数该切线的斜率是函数处的切线在点为曲线称直线相切处在点和曲线而直线此时于直线最后趋转动将绕点割线趋向于点沿着曲线中点当割线如右图可知0xl问题.)(.))(,()(,)(0000数的几何意义处切线的斜率反映了导在函数处的切线的斜率在点是曲线处的导数在函数xxfyxfxxfyxxfy例题讲解.)4,2(,2)2(.))(,(.],[5.0,1,2)1(.2,)(42020000202处的切线在点并画出曲线处的导数在求函数的相应割线并画出过点的平均变化率在区间求分别对已知函数例xyxxyxfxxxxxyxxxxfy.5.35.0)2()5.1(5.0)2()5.1(,31)2()1(1)2()1(,22)2(02)2()0(:].5.1,2[],1,2[],0,2[],[,5.0,1,2)1(:222222200ffffffxyxxxx率分别为化在这些区间中的平均变相应为区间时解.)25.2,5.1()4,2(,)1,1()4,2(,)0,0()4,2(,,321lll的直线和点过点线的直和点过点的直线点和分别是过点如右图其相应割线32-2-121O14L1l2l3l2xyxy．l，xyxxyxxxxxxxxxy如右图处的切线为在曲线处的导数为数在知函数趋于零令上的平均变化率为在区间)4,2(.42..4)(4)2()2(]2,2[)2(2022222l2xyxy32-2-121O14L.12)(53处的切线方程在求函数例xxxfy.)(2662])()(331[212)1(2)1()1(.12:232333xxxxxxxxxfxfxxy处的导数在先求解.6)1(12,3fxxyx处的导数为在可知趋于零令..46:).1(6)2(.6),2,1(.6)2,1())1(,1(2,3如下图即程为因此切线方斜率为即该切线经过点率为处的切线斜在点函数这样xyxyfxy4321-1-2-3-4-4-224632xy46xy例6:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.QPy=x2+1xy-111OjMyx.2)(2lim)11(1)1(lim)()(lim:2020000xxxxxxxfxxfkxxx解因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:①求出P点的坐标;②利用切线斜率的定义求出切线的斜率;③利用点斜式求切线方程.小结:xxfxxfxxxfxfxfxxx)()(lim)()(lim)(0000101001＊导数的定义：函数在处的导数：)(0xf)(xfy0x＊导数的意义：瞬时变化率，具体意义要根据题目分析。当导数是正数时，说明函数值是增加（上升）的；导数是负数时，函数值是减小（下降）的。小结:（1）求出函数在点x0处的变化率，得到曲线在点(x0,f(x0))的切线的斜率。)(0xf（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即).)(()(000xxxfxfy4.求切线方程的步骤：3.导数的几何意义是什么?解析：自变量从变到时，函数值从变到，当时，平均变化率2x26)2(3x0x336)2(3xxxxxy3所以，)/(3)2(3smf它表示当x=2时水流的瞬时速度，即若水以x=2s时的瞬时速度流动，每过1s，水管流过的水量为。33m例2解析：表示工作1h时，其生产速度是4kg/h，即若保持此速度，他每小时可生产4kg食品；4)1(f表示工作3h时，其生产速度是3.5kg/h，即若保持此速度，他每小时可生产3.5kg食品。3.53)(f导数是瞬时变化率，本题中指生产效率。例3分析：表示服药后10min时，药浓度上升速度为1.5ug/(ml·min)，若保持此速度，每经过1min药浓度将上升1.5ug/ml；5.)0(11f表示服药后100min时，药浓度下降速度为0.6ug/(ml·min)，若保持此速度，每经过1min药浓度将下降0.6ug/ml。6.0)00(1f练习本题导数表示药液浓度的瞬时变化率。