高二数学导数及其应用复习讲义有答案

高二数学复习讲义—导数及其应用知识归纳1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增量x，那么函数y相应地有增量y=f（x0+x）－f（x0），比值xy叫做函数y=f（x）在x0到x0+x之间的平均变化率，即xy=xxfxxf)()(00。如果当0x时，xy有极限，我们就说函数y=f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x0处的导数，记作f’（x0）或y’|0xx。即f（x0）=0limxxy=0limxxxfxxf)()(00。说明：（1）函数f（x）在点x0处可导，是指0x时，xy有极限。如果xy不存在极限，就说函数在点x0处不可导，或说无导数。（2）x是自变量x在x0处的改变量，0x时，而y是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x0处的导数的步骤：（1）求函数的增量y=f（x0+x）－f（x0）；（2）求平均变化率xy=xxfxxf)()(00；（3）取极限，得导数f’(x0)=xyx0lim。2．导数的几何意义函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线的斜率是f’（x0）。相应地，切线方程为y－y0=f/（x0）（x－x0）。3．几种常见函数的导数:①0;C②1;nnxnx③(sin)cosxx;④(cos)sinxx;⑤();xxee⑥()lnxxaaa;⑦1lnxx;⑧1lglogaaoxex.4．两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即：(.)'''vuvu法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：.)('''uvvuuv若C为常数,'''''0)(CuCuCuuCCu.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：.)(''CuCu法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积再除以分母的平方：vu‘=2''vuvvu（v0）。形如y=fx()的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y＇|X=y＇|U·u＇|X5.单调区间：一般地，设函数)(xfy在某个区间可导，如果'f)(x0，则)(xf为增函数；如果'f0)(x，则)(xf为减函数；如果在某区间内恒有'f0)(x，则)(xf为常数；6.极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；7．最值：一般地，在区间[a，b]上连续的函数f)(x在[a，b]上必有最大值与最小值。①求函数ƒ)(x在(a，b)内的极值；②求函数ƒ)(x在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)；③将函数ƒ)(x的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。高考题型1.导数定义的应用例1(北京高考）如图，函数()fx的图象是折线段ABC，其中ABC，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，011limxfxfx_________．解：由图可知3222042xxxxxf　　　　　，根据导数的定义知011limxfxfx21f．例２(重庆高考)已知函数xecbxxxf2,其中Rcb,，（Ⅰ）略，（Ⅱ）若,142cb且4lim0xcxfx，试证：26b．解：xecbxbxxf22，易知cf0．故cbfxfxfxcxfxx000limlim00，所以,14,42cbcb解得26b．2.利用导数研究函数的图像例3（安徽高考）设a＜b,函数2()()yxaxb的图像可能是解：/()(32)yxaxab，由/0y得2,3abxax，∴当xa时，y取极大值0，当23abx时y取极小值且极小值为负．故选C．或当xb时0y，当xb时，0y选C．点评:通过导数研究函数图像的变化规律,也是考试的热点题型.3.利用导数解决函数的单调性问题例5（全国高考）已知函数32()1fxxaxx，aR．（Ⅰ）讨论函数()fx的单调区间；（Ⅱ）设函数()fx在区间2133，内是减函数，求a的取值范围．解：（1）32()1fxxaxx求导得2()321fxxax当23a时，0，()0fx，()fx在R上递增；当23a，()0fx求得两根为233aax，即()fx在233aa，递增，223333aaaa，递减，233aa，递增。（2）因为函数()fx在区间2133，内是减2BCAyx1O34561234函数，所以当2133x，时0fx恒成立，结合二次函数的图像可知203103ff解得2a．点评：函数在某区间上单调转化为导函数0fx或0fx在区间上恒成立问题，是解决这类问题的通法．本题也可以由函数在223333aaaa，上递减，所以2232333133aaaa求解．【变式1】（全国高考）若函数11213123xaaxxxf在区间4,1上是减函数，在区间,6上是增函数，求实数a的取值范围．解：12aaxxxf，令0xf得1x或1ax，结合图像知614a，故7,5a．点评：本题也可转化为4,10xxf，恒成立且,60xxf，恒成立来解．【变式2】（浙江高考）已知函数32()(1)(2)fxxaxaaxb(,)abR．若函数()fx在区间(1,1)上不．单调．．，求a的取值范围．解：函数)(xf在区间)1,1(不单调，等价于0xf在区间)1,1(上有实数解，且无重根．又21232aaxaxxf，由0xf，得32,21axax。从而,32,11aaa或.32,1321aaa解得,21,11aa或,21,15aa所以a的取值范围是.1,2121,5点评：这种逆向设问方式是今后高考命题的一种趋势，充分体现高考“能力立意”的思想，高考中应高度重视。（4）利用导数的几何意义研究曲线的切线问题例6（江西高考）若存在过点(1,0)的直线与曲线3yx和21594yaxx都相切，则a等于A．1或25-64B．1或214C．74或25-64D．74或7解：设过(1,0)的直线与3yx相切于点300(,)xx，所以切线方程为320003()yxxxx即230032yxxx，又(1,0)在切线上，则00x或032x，当00x时，由0y与21594yaxx相切可得2564a，当032x时，由272744yx与21594yaxx相切可得1a，所以选A.点评：函数的切线问题，切点是关键，因为它是联结曲线和其切线的“桥梁”，在做题中往往需要设出切点．【变式】（辽宁高考）设P为曲线C：223yxx上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为04，，则点P横坐标的取值范围为（）A．112，B．10，C．01，D．112，解：由曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为04，，可得曲线C在点P处切线的斜率范围为10，，又22xy，设点P的横坐标为0x，则12200x，解得2110x，故选A．5.利用导数求函数的极值与最值例7（天津高考）已知函数432()2fxxaxxb（xR），其中Rba,．若函数()fx仅在0x处有极值，求a的取值范围．解：2()(434)fxxxax，显然0x不是方程24340xax的根．为使()fx仅在0x处有极值，必须24403xax成立，即有29640a．解不等式，得3838a．这时，(0)fb是唯一极值．因此满足条件的a的取值范围是88[,]33．6.利用导数解决实际问题例8用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？解：设长方体的宽为x（m），则长为x2(m)，高为230(m)35.441218＜＜xxxh.故长方体的体积为2306935.423322xmxxxxxV从而).1(18)35.4(1818)(2xxxxxxV令0'xV，解得0x（舍去）或1x，因此1x.当10x时，0'xV；当231x时，0'xV，故在1x处xV取得极大值，并且这个极大值就是xV的最大值，从而最大体积3321619'mxVV，此时长方体的长为2m，高为1.5m导数及其应用[基础训练A组]一、选择题1．若函数()yfx在区间(,)ab内可导，且0(,)xab则000()()limhfxhfxhh的值为（B）A．'0()fxB．'02()fxC．'02()fxD．0000000()()()()limlim2[]2hhfxhfxhfxhfxhhh'0000()()2lim2()2hfxhfxhfxh2．一个物体的运动方程为21tts其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（C）A．7米/秒B．6米/秒C．5米/秒D．8米/秒''()21,(3)2315stts3．函数3yxx=+的递增区间是（C）A．),0(B．)1,(C．),(D．),1('2310yx=+对于任何实数都恒成立4．32()32fxaxx,若'(1)4f,则a的值等于（D）A．319B．316C．313D．310'2'10()36,(1)364,3fxaxxfaa5．函数)(xfy在一点的导数值为0是函数)(xfy在这点取极值的（D）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．必要非充分条件对于3'2'(),()3,(0)0,fxxfxxf不能推出()fx在0x取极值，反之成立6．函数344xxy在区间2,3上的最小值为（D）A．72B．36C．12D．0'3'3''44,0,440,1,1,0;1,0yxyxxxyxy令当时当时得1|0,xyy极小值而端点的函数值23|27,|72xxyy，得min0y二、填空题1．若3'0(),()3fxxfx，则0x的值为_______1__________；'2000()33,1fxxx2．曲线xxy43在点(1,3)处的切线倾斜角为_34'2'1334,|1,tan1,4xyxky3．函数sinxyx的导数为__2cossinxxxx_______________；''