导数计算练习题答案(10)---副本

导数计算练习题答案1用导数的定义求函数212yx在点1x处的导数。解：221111()(1)12(1)22(1)limlimlim2lim14111xxxxfxfxxfxxxx2一物体的运动方程为310st，求该物体在3t时的瞬时速度。解：233(3)327ttvst3求在抛物线2yx上横坐标为3的点的切线方程。解：3(3)26xkfx，切点为(3,9)，所求切线方程为96(3)yx，即690xy4求曲线32yx上点(1,1)处的切线方程与法线方程。解：切线斜率13122(1)33xkfx，法线斜率为32所求切线方程为21(1)3yx，即2310xy所求法线方程为31(1)2yx，即3250xy5自变量x取哪些值时，曲线2yx与3yx的切线平行？解：由已知，223xx，解出0x或23x6讨论函数yxx在点0x处的可导性。解：00()(0)0(0)lim=lim000xxfxfxxfxx00()(0)0(0)lim=lim000xxfxfxxfxx(0)(0)ff，所以函数yxx在点0x处的可导，且(0)0f。7函数2101()311xxfxxx在点1x处是否可导？解:221111()(1)(1)21(1)limlimlimlim12111xxxxfxfxxfxxxx111()(1)(31)233(1)limlimlim3111xxxfxfxxfxxx(1)(1)ff，所以函数()fx在点1x处不可导。8函数21sin0()00xxfxxx在点0x处是否连续？是否可导？解：2001lim()limsin0(0)xxfxxfx，所以函数()fx在点0x处连续。00()(0)1(0)limlimsin00xxfxffxxx所以函数()fx在点0x处可导，且(0)0f。9求下列各函数的导数（其中a,b为常数）(1)235yxx解：61yx(2)1243yxx解：222111()2yxxxx(3)2222xyx解：3314(2)2(2)2yxxxx(4)31xyx解：153221xyxxx332215()22yxx(5)1(1)(1)yxx解：11(1)(1)yxxxx31221111(1)222yxxxx(6)(1)2yxx解：3122(1)22()yxxxx11223112()(31)222yxxxx(7)()()yxaxb解：2()()()yxaxbxabxab2()yxab10求下列各函数的导数（其中a,b,c,n为常数）（1）lnyxx解：1ln(ln)lnln1yxxxxxxxx（2）lnnyxx解：111()ln(ln)ln(ln1)nnnnnyxxxxnxxxxnxx（3）logayx解：11log22lnayxyxa（4）11xyx解：222(1)(1)(1)(1)(1)(1)2(1)(1)(1)xxxxxxyxxx（5）251xyx解：2222222222(5)(1)(5)(1)5(1)(5)(2)5(1)(1)(1)(1)xxxxxxxxyxxx（6）232xyxx解：222(2)(2)(2)(2)2(2)(2)(1)4333(2)(2)(2)xxxxxxyxxx11求下列各函数的导数（1）sincosyxxx解：sincossincosyxxxxxx（2）1cosxyx解：22(1cos)(1cos)1cossin(1cos)(1cos)xxxxxxyxx（3）tantanyxxx解：222sectansec(1)sectanyxxxxxxx（4）5sin1cosxyx解：2(5cos)(1cos)5sin(1cos)(1cos)xxxxyx22(5cos)(1cos)5sin(sin)5cos55(1cos)(1cos)1cosxxxxxxxx12求下列各函数的导数（其中a,n为常数）（1）25(1)yx解：24224245(1)(1)5(1)(2)10(1)yxxxxxx（2）22(23)15yxx解：2222222(15)5615(23)615(23)21515xxyxxxxxxxx233226(15)101516451515xxxxxxxx（3）22yxa解：22222222()222xaxxyxaxaxa(4)21xyx解：222222222222223(2)11(1)(1)1211(1)(1)(1)(1)xxxxxxxxxxyxxxx(5)2log(1)ayx解：222(1)2(1)ln(1)lnxxyxaxa(6)22lnyax解：221ln()2yax，222222()2()axxyaxax(7)1ln1xyx解：ln(1)ln(1)yxx1111111(1)(1)111212(1)yxxxxxxxxxx(8)sinynx解：cos()cosynxnxnnx(9)sinnyx解：1cos()cosnnnnyxxnxx(10)sinnyx解：11sin(sin)cossinnnynxxnxx(11)lntan2xy解：2111(tan)(sec)()(tan)2222tantantan222xxxxyxxx211111sec222sintansincos222xxxxx(12)21sinyxx解：222111111112sincos()2sincos()2sincosyxxxxxxxxxxxxx(13)22lg()yxxa解：2222222222222221()2()ln10()ln10()ln10xxxaxaxxayxxaxxaxxaxa(14)1cosnyx解：11[(cos)]()(cos)(cos)sin(cos)nnnyxnxxnxx13求下列各函数的导数:(1)arcsin2xy解：2221211()22441()2xyxxx(2)22arctan1xyx解：22222222222212(1)2(1)2(2)arctan()211(1)(1)1()1xxxxxxyyxxxxxx22222(1)2(1)(1)xxx(3)2(arcsin)2xy解：221212(arcsin)(arcsin)2(arcsin)()2(arcsin)22222241()2xxxxxyxx212(arcsin)24xx(4)21sinyxxarcx解：222222222112(1)1(1)1211111xxyxxxxxxxxxx(5)sincossin(cos)yxxx解：1cos()(cos)cos(cos)(cos)2cosyxxxxxx1sincoscos(cos)(sin)22cosxxxxxx(6)22tan(12)yx解：222tan(12)[tan(12)]yxx22222tan(12)sec(12)(12)xxx2222tan(12)sec(12)4xxx2228tan(12)sec(12)xxx14下列各题中的方程均确定y是x的函数，求xy（其中a,b为常数）（1）221xyxy解：方程两边对x求导，有220xyyyxy即(2)2yxyyx，解出22yxyyx（2）220yaxyb解：方程两边对x求导，有2220yyayaxy即(22)2yaxyay，解出ayyyax（3）lnyxy解：方程两边对x求导，有1yyy即1(1)1yy，解出1yyy（4）1yyxe解：方程两边对x求导，有yyyexey即(1)yyxeye，解出1yyeyxe15求曲线322yyx在点(1,1)处的切线方程和法线方程。解：点(1,1)在曲线上即(1,1)为切点，切线斜率为1xy，方程两边对x求导，有2322yyyy，解出2232yyy于是得点(1,1)处切线斜率为(1,1)25y，得切线方程为21(1)5yx，即2530xy法线方程为51(1)2yx，即5270xy16利用取对数求导法求下列函数的导数（其中12,,,naaan为常数）：（1）11xyxx解：方程两边取自然对数，1lnln(ln(1)ln(1))2yxxx，方程两边对x求导，11111[()]211yyxxx得111()2(1)2(1)yyxxx（2）23231(3)xxyxx解：方程两边取自然对数，12ln2lnln(1)ln(3)ln(3)33yxxxx，方程两边对x求导，1111121213333yyxxxx得2112()13(3)3(3)yyxxxx（3）tan(sin)xyx解：方程两边取自然对数，lntanln(sin)yxx，方程两边对x求导，221cossecln(sin)tansecln(sin)1sinxyxxxxxyx得2[secln(sin)1]yyxx17求下列各函数的导数（其中f可导）（1）()()xfxyfee，求xy，解：()()()()()()[()()()]xxfxxfxfxxxxyfeeefeefxefeefxfe（2）()xeyfex，求xy，解：1()()xexeyfexeex（3）22(sin)(cos)yfxfx，求xy解：22(sin)2sincos(cos)2cos()yfxxxfxxsinx22sin2[(sin)(cos)]xfxfx18求下列函数的导数：（1）2323xttytt,求dydx解：2333(1)222ttydyttdxxt(2)sin3cossin3sinxaya，（其中a为常数），求3dydx解：(3cos3sinsin3cos)3cos3sinsin3cos(3cos3cossin3sin)3cos3cossin3sinttydyadxxa333(1)2313(1)2dydx19设有函数210()010xxxfxkxkxex，试分析在点0x处，k为何值时，()fx有极限；k为何值时，()fx连续，k为何值时，()fx可导。解：（1）00lim()lim(1)1xxfxx00lim()lim(1)1xxxfxkxe