高中数学典型例题解析：第十章-导数及其应用

第十章导数及其应用§10.1导数及其运算一、知识导学1.瞬时变化率：设函数)(xfy在0x附近有定义，当自变量在0xx附近改变量为x时，函数值相应地改变)()(0xfxxfy，如果当x趋近于0时，平均变化率xxfxxfxy)()(00趋近于一个常数c（也就是说平均变化率与某个常数c的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数c称为函数)(xf在点0x的瞬时变化率。2.导数：当x趋近于零时，xxfxxf)()(00趋近于常数c。可用符号“”记作：当0x时，xxfxxf)()(00c或记作cxxfxxfx)()(lim000，符号“”读作“趋近于”。函数在0x的瞬时变化率，通常称作)(xf在0xx处的导数，并记作)(0xf。3.导函数：如果)(xf在开区间),(ba内每一点x都是可导的，则称)(xf在区间),(ba可导。这样，对开区间),(ba内每个值x，都对应一个确定的导数)(xf。于是，在区间),(ba内，)(xf构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数)(xfy的导函数。记为)(xf或y（或xy）。4.导数的四则运算法则：1）函数和（或差）的求导法则：设)(xf，)(xg是可导的，则)()())()((xgxfxgxf即，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差）。2）函数积的求导法则：设)(xf，)(xg是可导的，则)()()()(])()([xgxfxgxfxgxf即，两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数。3）函数的商的求导法则：设)(xf，)(xg是可导的，0)(xg，则)()()()()()()(2xgxgxfxfxgxgxf5.复合函数的导数:设函数)(xu在点x处有导数)(xux,函数)(ufy在点x的对应点u处有导数)(ufyu,则复合函数fy)]([x在点x处有导数,且xuxuyy.6.几种常见函数的导数：(1))(0为常数CC(2))(1Qnnxxnn）（(3)xxcos)(sin(4)xxsin)(cos(5)xx1)(ln(6)exxaalog1)(log(7)xxee)((8)aaaxxln)(二、疑难知识导析1.导数的实质是函数值相对于自变量的变化率2.运用复合函数的求导法则xuxuyy,应注意以下几点（1）利用复合函数求导法则求导后,要把中间变量换成自变量的函数,层层求导.(2)要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量求导，不能混淆，一直计算到最后，常出现如下错误，如xx2sin)2(cos实际上应是x2sin2。(3)求复合函数的导数，关键在于分清楚函数的复合关系，选好中间变量，如4)31(1xy选成uy1，xwwvvu3,1,4计算起来就复杂了。3.导数的几何意义与物理意义导数的几何意义，通常指曲线的切线斜率.导数的物理意义，通常是指物体运动的瞬时速度。对导数的几何意义与物理意义的理解，有助于对抽象的导数定义的认识，应给予足够的重视。4.的关系与)()(0xfxf)(0xf表示0)(xxxf在处的导数，即)(0xf是函数在某一点的导数；)(xf表示函数)(xf在某给定区间),(ba内的导函数，此时)(xf是在),(ba上x的函数，即)(xf是在),(ba内任一点的导数。5.导数与连续的关系若函数)(xfy在0x处可导，则此函数在点0x处连续，但逆命题不成立，即函数)(xfy在点0x处连续，未必在0x点可导，也就是说，连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件。6.可以利用导数求曲线的切线方程由于函数)(xfy在0xx处的导数，表示曲线在点))(,(00xfxP处切线的斜率，因此，曲线)(xfy在点))(,(00xfxP处的切线方程可如下求得：（1）求出函数)(xfy在点0xx处的导数，即曲线)(xfy在点))(,(00xfxP处切线的斜率。（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为：))((000xxxfyy，如果曲线)(xfy在点))(,(00xfxP的切线平行于y轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为0xx.三、经典例题导讲[例1]已知2)2cos1(xy,则y.错因：复合函数求导数计算不熟练,其x2与x系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致错解为:)2cos1(2sin2xxy.正解：设2uy,xu2cos1,则)2()2sin(2)2cos1(2xxuxuuyyxux)2cos1(2sin42)2sin(2xxxu)2cos1(2sin4xxy.[例2]已知函数)1)(1(21)1)(1(21)(2xxxxxf判断f(x)在x=1处是否可导？错解：1)1(,1)11(21]1)1[(21lim220fxxx。分析：分段函数在“分界点”处的导数，须根据定义来判断是否可导.解：1)11(21]1)1[(21limlim2200xxxyxx∴f(x)在x=1处不可导.注：0x，指x逐渐减小趋近于0；0x，指x逐渐增大趋近于0。点评：函数在某一点的导数，是一个极限值，即xxfxxfx)()(lim000，△x→0，包括△x→0＋，与△x→0－，因此，在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数.[例3]求322xy在点)5,1(P和)9,2(Q处的切线方程。错因：直接将P，Q看作曲线上的点用导数求解。分析：点P在函数的曲线上，因此过点P的切线的斜率就是y在1x处的函数值；点Q不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线．解：4.4,3212xyxyxy即过点P的切线的斜率为4，故切线为：14xy．设过点Q的切线的切点为),(00yxT，则切线的斜率为04x，又2900xykPQ，故00204262xxx，3,1.06820020xxx。即切线QT的斜率为4或12，从而过点Q的切线为：1512,14xyxy点评：要注意所给的点是否是切点．若是，可以直接采用求导数的方法求；不是则需设出切点坐标．[例4]求证：函数xxy1图象上的各点处切线的斜率小于1，并求出其斜率为0的切线方程.分析：由导数的几何意义知，要证函数xxy1的图象上各点处切线的斜率都小于1，只要证它的导函数的函数值都小于1，因此，应先对函数求导后，再进行论证与求解.解：（1）111,12xyxxy，即对函数xxy1定义域内的任一x，其导数值都小于1，于是由导数的几何意义可知，函数xxy1图象上各点处切线的斜率都小于1.（2）令0112x，得1x，当1x时，2111y；当1x时，2y，曲线xxy1的斜率为0的切线有两条，其切点分别为)2,1(与)2,1(，切线方程分别为2y或2y。点评：在已知曲线)(xfy切线斜率为k的情况下，要求其切线方程，需要求出切点，而切点的横坐标就是)(xfy的导数值为k时的解，即方程kxf)(的解，将方程kxf)(的解代入)(xfy就可得切点的纵坐标，求出了切点坐标即可写出切线方程，要注意的是方程kxf)(有多少个相异实根，则所求的切线就有多少条.[例5]已知0a，函数axxf3)(，,0x，设01x，记曲线)(xfy在点))(,(11xfxM处的切线为l.（1）求l的方程；（2）设l与x轴交点为)0,(2x，求证：①312ax；②若311ax，则1231xxa分析：本题考查导数的几何意义，利用其求出切线斜率，导出切线方程.解：（1）xaxaxxxyxfxx3300/)(limlim)(xxxxxxx3220)()(33lim22203])(33[limxxxxxx2113)(xxf切线l的方程为))(()(111xxxfxfy即)(3)(12131xxxaxy.（2）①依题意，切线方程中令y=0得，②由①知2131123xaxxx，2131123xaxxx[例6]求抛物线2xy上的点到直线02yx的最短距离.分析：可设),(2xxP为抛物线上任意一点，则可把点P到直线的距离表示为自变量x的函数，然后求函数最小值即可，另外，也可把直线向靠近抛物线方向平移，当直线与抛物线相切时的切点到直线02yx的距离即为本题所求.解：根据题意可知，与直线x－y－2=0平行的抛物线y=x2的切线对应的切点到直线x－y－2=0的距离最短，设切点坐标为（），那么12|2|0'00xxyxxxx,∴210x∴切点坐标为)41,21(，切点到直线x－y－2=0的距离8272|24121|d，∴抛物线上的点到直线的最短距离为827.四、典型习题导练1.函数)(xfy在0xx处不可导，则过点))(,(00xfxP处，曲线)(xfy的切线（）A．必不存在B．必定存在C．必与x轴垂直D．不同于上面结论2.332xxy在点x=3处的导数是____________.3.已知23)(23xaxxf，若4)1(f，则a的值为____________.4.已知P（－1，1），Q（2，4）是曲线2xy上的两点，则与直线PQ平行的曲线2xy的切线方程是_____________.5.如果曲线103xxy的某一切线与直线34xy平行，求切点坐标与切线方程.6．若过两抛物线222xxy和baxxy2的一个交点为P的两条切线互相垂直.求证：抛物线baxxy2过定点Q，并求出定点Q的坐标.§10.2导数的应用一、知识导学1.可导函数的极值（1）极值的概念设函数)(xf在点0x附近有定义，且若对0x附近的所有的点都有)()(0xfxf（或)()(0xfxf），则称)(0xf为函数的一个极大（小）值，称0x为极大（小）值点.（2）求可导函数)(xf极值的步骤:①求导数)(xf。求方程0)(xf的根.②求方程0)(/xf的根.③检验)(xf在方程0)(xf的根的左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数)(xfy在这个根处取得极大值；如果在根的右侧附近为正，左侧附近为负，那么函数)(xfy在这个根处取得极小值.2.函数的最大值和最小值（1）设)(xfy是定义在区间ba,上的函数，)(xfy在),(ba内有导数，求函数)(xfy在ba,上的最大值与最小值，可分两步进行.①求)(xfy在),(ba内的极值.②将)(xfy在各极值点的极值与)(af、)(bf比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.（2）若函数)(xf在ba,上单调增加，则)(af为函数的最小值，)(bf为函数的最大值；若函数)(xf在ba,上单调递减，则)(af为函数的最大值，)(bf为函数的最小值.二、疑难知识导析1.在求可导函数的极值时，应注意：（以下将导函数)(xf取值为0的点称为函数)(xf的驻点可导函数的极值点一定是它的驻点，注意一定要是可导函数。例如函数||xy在点0x处有极小值)0(f=0，可是这里的)0(f根本不存在，所以点0x不是)(xf的驻点.(1)可导函数的驻点可能是它的极值点，也可能不是极值点。例如函数3)(xxf的导数23)(xx