2016版新课标高考数学题型全归纳文科PPT.第九章 直线与圆的方程第1节

✎考纲解读1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系.4.能根据两条直线的斜率判定这两直线的位置关系.5.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.6.掌握两点间的距离公式，点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离.✎知识点精讲一、基本概念如果以一个方程的解为坐标的点都某条直线上，且这条直线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫这条直线的方程，这条直线就叫这个方程的直线.我们把直线中的系数叫作这条直线的斜率.垂直于轴的直线，其斜率不存在.轴正方向与直线向上的方向所成的角叫这条直线的倾斜角.倾斜角，规定与轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角，倾斜角不是的直线的倾斜角的正切值叫该直线的斜率，常用表示，即ykxbx()kkRxx[0,π)xπ2tan.kk二、直线方程（1）点斜式：过(𝑥0,𝑦0)点且斜率𝑘存在的直线方程:𝑦−𝑦0=𝑘(𝑥−𝑥0).①当𝑘=0时,𝑦=𝑦0，②当𝑘不存在时𝑥=𝑥0.（2）斜截式：斜率𝑘存在且纵截距为𝑏的直线方程：𝑦=𝑘𝑥+𝑏.（3）两点式：过点𝑃1𝑥1,𝑦1,𝑃2𝑥2,𝑦2的直线方程：(𝑥2−𝑥1)(𝑦−𝑦1)=(𝑥−𝑥1)(𝑦2−𝑦1).注：方程𝑦−𝑦1𝑦2−𝑦1=𝑥−𝑥1𝑥2−𝑥1不能表示垂直于坐标的直线.（4）截距式：横、纵截距分别为𝑎，𝑏𝑎𝑏≠0的直线方程：𝑥𝑎+𝑦𝑏=1.（5）一般式：𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶=0(𝐴2+𝐵2≠0)能表示平面内的任何一条直线.二、基本公式过点𝑃1𝑥1,𝑦1,𝑃2𝑥2,𝑦2的直线斜率𝑘=𝑦2−𝑦1𝑥2−𝑥1=tan𝛼𝑥1≠𝑥2，𝛼≠π2.直线方程的一般式𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶=0(𝐵≠0)中，直线的斜率为𝑘=−𝐴𝐵.1.斜率公式2.距离公式（1）两点间的距离平面上两点𝑃1𝑥1，𝑦1，𝑃2𝑥2，𝑦2的距离公式为𝑃1𝑃2=𝑥1−𝑥22+𝑦1−𝑦22.特别地，原点𝑂0，0与任一点P𝑥，𝑦的距离𝑂𝑃=𝑥2+𝑦2.（2）点到直线的距离点𝑃0𝑥0，𝑦0到直线𝑙:𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶=0的距离𝑑=𝐴𝑥0+𝐵𝑦0+𝐶𝐴2+𝐵2.特别地，若直线为𝑙:𝑥=𝑚，则点𝑃0𝑥0，𝑦0到𝑙的距离𝑑=𝑚−𝑥0；若直线为𝑙:𝑦=𝑛，则点𝑃0𝑥0，𝑦0到𝑙的距离𝑑=𝑛−𝑦0.（3）已知𝑙1，𝑙2是两条平行线，求𝑙1，𝑙2间距离的方法：①转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离.②设𝑙1：𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶1=0，𝑙2：𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶2=0，则𝑙1与𝑙2之间的距离𝑑=|𝐶1−𝐶2|𝐴2+𝐵2.注：两平行直线方程中，𝑥，𝑦前面对应系数要相等.三、两条直线平行与垂直的判定两条直线𝑙1:𝑦=𝑘1𝑥+𝑏1，直线𝑙2:𝑦=𝑘2𝑥+𝑏2（斜率存在），直线𝑙1:𝑥=𝑥1，直线𝑙2:𝑥=𝑥2（斜率不存在），𝑙1∥𝑙2⇔𝑘1=𝑘2，𝑏1≠𝑏2或𝑥=𝑥1，𝑥=𝑥2，𝑥1≠𝑥2.𝑙1⊥𝑙2⇔𝑘1𝑘2=−1或𝑘1，𝑘2中一个为0，另一个不存在.题型105倾斜角与斜率的计算【例9.1变式1】若直线𝑙的斜率𝑘的变化范围是−1，3，则其倾斜角的变化范围是（）.A.−π4+𝑘π，π3+𝑘π𝑘∈𝐙B.−π4，π3C.π3，3π4D.0，π3∪3π4，π)斜率的取值有正有负的情况，要注意分段.如本题需把𝑘∈−1，3分为𝑘∈−1，0)和𝑘∈0，3两段.【分析】故所求倾斜角的范围是0，π3∪3π4，π).故选D.当−1≤𝑘0时，倾斜角的范围是3π4，π)；【解析】当0≤𝑘≤3时，倾斜角的范围是0，π3；（1）研究斜率的变化要与倾斜角的变化结合起来考虑，因为倾斜角的范围是0，π)，该范围不是正切函数的单调区间，往往要分段，即分为0，π2和π2，π讨论解决.相应的，对斜率多分成𝑘≥0及𝑘0两段来讨论.【评注】通过此图像（如图所示）可以很好的理解斜率的变化与倾斜角变化的联系.当𝑘=tan𝛼∈−1，3时，易见对应的倾斜角的取值范围是𝛼∈0，π3∪3π4，π).（2）沟通直线斜率与倾斜角关系的工具是正切函数𝑦=tan𝛼在区间0，π2和π2，π上的图像.3π4π2π3π3-1kαO①斜率不存在时，倾斜角为π2；（3）由斜率范围确定倾斜角的范围，求解时要注意：②熟记倾斜角的取值范围是0，π)；③由斜率𝑘的取值范围求倾斜角的范围时，利用数形结合法（结合正切函数𝑦=tan𝑥在区间0，π)上的图像），有利于问题的求解.【例9.2】已知直线𝑙过𝑃(−1,2),且与以𝐴(−2,−3),𝐵(3,0)为端点的线段𝐴𝐵相交，求直线𝑙的斜率𝑘的取值范围.本题为“由直线区域求直线斜率的范围”，求解步骤：【分析】①作出直线区域图；②求出区域边界的𝑘1,𝑘2；③按逆时针方向旋转得𝑘1→𝑘2;④若𝑘2𝑘1直接写𝑘∊𝑘1,𝑘2]（或开区间).若𝑘2𝑘1，过无穷，𝑘∊(−∞,𝑘2]∪[𝑘1,+∞).解法一：如图所示，【解析】𝑘𝑃𝐴=5,𝑘𝑃𝐵=−12.yxPOCBA因为过点𝑃(−1,2)且与𝑥轴垂直的直线𝑃𝐶与线段𝐴𝐵相交，但此时直线𝑙斜率不存在，当直线𝑃𝐴绕点𝑃逆时针旋转到𝑃𝐶的过程中，𝑙斜率始终为正，且逐渐增大，所以此时𝑙斜率的范围是[5,+∞);因为过点𝑃(−1,2)且与𝑥轴垂直的直线𝑃𝐶与线段𝐴𝐵相交，但此时直线𝑙斜率不存在，当直线𝑃𝐴绕点𝑃逆时针旋转到𝑃𝐶的过程中，𝑙斜率始终为正，且逐渐增大，所以此时𝑙斜率的范围是[5,+∞);故所求直线𝑙的斜率𝑘的取值范围是(−∞,−12]∪[5,+∞).当直线𝑙由𝑃𝐶（不包括𝑃𝐶）绕点𝑃逆时针旋转至𝑃𝐵的过程中，𝑙斜率始终为负值，且逐渐变大，范围是(−∞,−12].解法二：本题也可以用线性规划的知识来解决.当𝑙⊥𝑥轴时，与线段𝐴𝐵相交，此时斜率不存在，当斜率𝑘存在时，设直线𝑙的方程为𝑦=𝑘(𝑥+1)+2，即𝑘𝑥−𝑦+𝑘+2=0，本题主要用了数形结合的方法，另外，直线斜率的绝对值越大，直线就越“陡”，这一规律在判断直线的倾斜程度上应用较广.【评注】要使𝑙与线段𝐴𝐵有交点，只需𝐴,𝐵落在直线𝑙的两侧或者直线上，则应满足𝑘∙(−2)−(−3)+𝑘+2]∙(𝑘⋅3+𝑘+2)≤0,解得𝑘≥5或𝑘≤−12.故所求直线𝑙的斜率𝑘的取值范围是(−∞,−12]∪[5,+∞).【解析】解法一：由题设可知ABACkk，即022202ba，得(2)(2)4ab，2()abab，111.2ababab解法二：由题设可知ABAC∥，即(2,2)(2,2)ab∥，即(2)(2)4ab，2()abab，111.2ababab解法三：由题设可知(2,2)A在直线BC上，又由截距式方程得直线BC方程：1xyab，故221ab，1112ab.评注关于三点共线问题，可以联想到斜率相等或向量共线，亦可先由两点确定一条直线，从而第三点在该直线上，这些方法对今后学习平面（空间）解析几何或几何证明都很有益处.【例9.3】若三点𝐴2，2，𝐵𝑎，0，𝐶0，𝑏𝑎𝑏≠0共线，则1𝑎+1𝑏=.【分析】由“三点共线”可联想到斜率相等或向量共线.题型106直线的方程【例9.4】求下列直线方程：（1）直线1l：过点2,1，2k；（2）直线2l：过点2,1和点3,3；（3）直线3l：过点0,1，斜率为12.【分析】已知点的坐标和斜率用点斜式，已知两点的坐标用两点式，已知在y轴上的截距和斜率用截距式，最后结果都得化成直线的一般式.【解析】（1）由直线的点斜式方程得122yx，整理得1l的方程为250xy.（2）由直线的两点式方程得213132xy，整理得2l的方程为4530xy.（3）由直线的斜截式方程得112yx，整理得3l的方程为220xy.✎题型归纳及思路提示题型107两直线位置关系的判定【例9.9】“2a”是“直线20axy平行直线1xy”的（）.A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】由2a得直线方程220xy，即直线0xy与1xy平行，反之，由直线20axy平行直线1xy，得2a.故“2.a”是“直线20axy平行直线1xy”的充分必要条件.故选C.【例9.9变式2】已知直线𝑙1：𝑎𝑥+2𝑦+6=0和直线𝑙2：𝑥+𝑎−1𝑦+𝑎2−1=0.（1）当𝑙1∕∕𝑙2时，求𝑎的值；（2）当𝑙1⊥𝑙2时，求𝑎的值.（1）由𝑙1∕∕𝑙2，得𝐴1𝐵2−𝐴2𝐵1=0，【解析】即𝑎𝑎−1−1×2=0，解得𝑎=−1或2.当𝑎=−1时，𝑙1：𝑥−2𝑦−6=0，𝑙2：𝑥−2𝑦=0，𝑙1∕∕𝑙2.当𝑎=2时，𝑙1：𝑥+𝑦+3=0，𝑙2：𝑥+𝑦+3=0，（2）由𝑙1⊥𝑙2，得𝐴1𝐴2+𝐵1𝐵2=0，即𝑎+2𝑎−1=0，解得𝑎=23.𝑙1与𝑙2重合，故舍去.故当𝑙1∕∕𝑙2时，𝑎的值为−1.故当𝑙1⊥𝑙2时，𝑎的值为23.【例9.10变式2】过点−1，3且与直线𝑥−2𝑦+3=0垂直的直线方程为_____.解法一：易知所求直线斜率为−2，故所求直线为【解析】𝑦−3=−2𝑥+1，即2𝑥+𝑦−1=0.解法二：由题意可设所求直线𝑙为2𝑥+𝑦+𝐶=0，又𝑙过点−1，3，所以−2+3+𝐶=0，解得𝐶=−1，故所求直线为2𝑥+𝑦−1=0.【例9.11】（1）已知，则点到直线的距离为；(4,1)P:230lxyP【例9.11】（1）已知点4,1P，则点P到直线:230lxy的距离为；（2）已知点,2a到直线:30lxy的距离为2，则a；（3）过点4,Aa和5,Bb的直线与直线yxm平行，则两点间的距离AB为.【解析】（1）距离22421355512d.（2）由题意得22231212211aada，故1a或3.a（3）由题意可知：154ABbakba，故22542ABba.题型108有关距离的计算【例9.11变式2】若点𝑃𝑥，𝑦在直线𝑙：𝑥+2𝑦−3=0上运动，则𝑥2+𝑦2的最小值为_______.解法一：𝑥2+𝑦2=3−2𝑦2+𝑦2=5𝑦−652+95≥95，【解析】解法二：设原点为𝑂0，0，由𝑥2+𝑦2的几何意义知故当𝑦=65时，𝑥2+𝑦2min=95.𝑥2+𝑦2min=(d𝑂，𝑙)2=−312+222=95.【例9.13】过点𝑃1，2且与原点𝑂距离最大的直线方程是（）.A.𝑥+2𝑦−5=0B.𝑥−2𝑦+2=0C.𝑥+3𝑦−7=0D.3𝑥+𝑦−5=0【解析】设所求直线方程𝑙：𝐴𝑥−1+𝐵(𝑦−2)=0，𝐴2+𝐵20，即𝑙：𝐴𝑥+𝐵𝑦−𝐴−2𝐵=0.解法一：则原点到直线l的距离𝑑=𝐴+2𝐵𝐴2+𝐵2=|(1,2)∙(𝐴,𝐵)|𝐴2+𝐵2≤12+22×𝐴2+𝐵2𝐴2+𝐵2=5，此时l：𝐴