2016版新课标高考数学题型全归纳文科PPT.第二章 函数第3~4节

第三节二次函数与幂函数✎考纲解读1.结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.2.了解幂函数的概念.3.结合函数，，，，的图象，了解它们的变化情况.✎知识点精讲二次函数解析式的三种形式及图像1.二次函数解析式的三种形式（1）一般式：.（2）顶点式：.其中，为抛物线顶点坐标；为对称轴方程.（3）零点式：.其中，，是抛物线与轴交点的横坐标.2()0fxaxbxca2()0fxaxmna,mnxm12()0fxaxxxxa1x2xxyx2yx3yx1yx12yx2.二次函数的图象二次函数的图像是一条抛物线，对称轴方程为，顶点坐标是（1）当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，.（2）当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，（3）当时，二次函数的图像与轴有两个交点和，.2()0fxaxbxca2bxa24,.24bacbaa0a,2ba,2ba2bxa2min4()4acbfxa0a,2ba,2ba2bxa2max4().4acbfxa240bac2()fxaxbxc(0)ay11,0Mx22,0Mx1212MMxx21212()4xxxx||a3.幂函数的图象幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象如果与坐标轴相交，则交点一定是原点.当时，在同一坐标系内的函数图像如图2-15所示.11,2,3,,13a图2-15✎题型归纳及思路提示题型20二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系已知函数𝑓𝑥=𝑥2+𝑎𝑥+𝑏𝑎，𝑏∈𝐑的值域为0，+∞，若关于𝑥的不等式𝑓𝑥𝑐的解集为𝑚，𝑚+6，则实数𝑐的值为________.将二次不等式转化为二次方程求解.【分析】【例2.42】由题意知𝑓𝑥=𝑥2+𝑎𝑥+𝑏的值域为0，+∞，得∆=𝑎2−4𝑏=0，不等式𝑓𝑥𝑐⟺𝑓𝑥−𝑐0，又𝑥2+𝑎𝑥+𝑏−𝑐0的解集为𝑚，𝑚+6，【解析】设方程𝑥2+𝑎𝑥+𝑏−𝑐=0的两根为𝑥1，𝑥2，则𝑥1+𝑥2=−𝑎𝑥1𝑥2=𝑏−𝑐，𝑥1−𝑥2=𝑥1+𝑥22−4𝑥1𝑥2=𝑎2−4𝑏+4𝑐=4𝑐=6，解得𝑐=9.【评注】本题的关键在于不等式𝑓𝑥𝑐的解集为𝑚，𝑚+6与方程𝑓𝑥=𝑐的实根𝑥1，𝑥2之间的联系，即𝑥1−𝑥2=6.题型21二次方程的实根分布及条件【例2.43】已知，是方程的两个根，且，求的取值范围.【分析】根据二次方程根的分布结合图象求解.【解析】根据题意，如图2-16所示，对于由图象知，得，故，得.【评注】利用数形结合的方法研究二次方程根的分布问题，会事半功倍.20(0)axbxca221420xmxm2m2()2142fxxmxm，2(2)0f2(2)2212420fmm3mxyβα2O图2-16题型22二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题【例2.45】函数在区间上是单调函数，则（）.A.B.C.D.【分析】利用区间在对称轴的左侧和右侧分别作图.【解析】作出函数在上符合单调区间的图像，如图2-18所示的情况均满足要求.故选D.【评注】处理“动轴定区间”问题时，首先应确定不变量即区间一定，然后根据题目要求分类讨论对称轴与区间的相对位置关系，求解参数的范围.2()23fxxax1,2,1a2,a1,2a,12,a1,21,2xyx=a21Oxyx=a21O（a）（b）图2-18【例2.49】函数𝑓𝑥=𝑎2−𝑎−1𝑥𝑎2−2𝑎−3为幂函数（𝑎为常数），且在0,+∞上是减函数，则𝑎=_____.根据幂函数的定义及单调性求解𝑎.依题意，得𝑎2−𝑎−1=1𝑎2−2𝑎−30，解得𝑎=2.【解析】【分析】题型24幂函数的定义及基本性质题型25幂函数性质的综合应用【例2.52】已知幂函数𝑓𝑥=𝑥𝑚2−2𝑚−3𝑚∈𝐙为偶函数，且在区间0，+∞上是减函数.（1）求函数𝑓𝑥的解析式；（2）求满足𝑎+1−𝑚33−2𝑎−𝑚3的𝑎的取值范围.利用函数𝑓𝑥是在0,+∞上递减且为偶函数求𝑚，从而得到𝑓𝑥的解析式.【分析】（1）因为幂函数𝑓𝑥在0,+∞上是减函数，所以当𝑚=0，2时，𝑚2−2𝑚−3=−3；又𝑚∈𝐙，所以𝑚=0，1，2.又因为𝑓𝑥为偶函数，所以𝑓𝑥=𝑥−4.【解析】所以𝑚2−2𝑚−30.所以−1𝑚3，所以当𝑚=1时，𝑚2−2𝑚−3=−4.（2）由（1）得𝑚=1，原不等式为𝑎+1−133−2𝑎−13.若𝑎+10，3−2𝑎0时，即𝑎−1时，得𝑎+13−2𝑎，解得𝑎23，矛盾；若𝑎+10，3−2𝑎0时，即𝑎32时，得𝑎+13−2𝑎，解得23𝑎32；综上，𝑎的取值范围为−∞,−1∪23,32.若𝑎+10，3−2𝑎0时，得𝑎−1，符合题意.突破点由单调性得𝑚的范围，进而验证满足偶函数的值，若从偶函数的条件入手，则不易进一步转化.分类讨论时，确定分类标准，要做到不重不漏.【评注】第四节指数函数与对数函数✎考纲解读1.了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.3.理解指数函数的概念和单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点.4.认识到指数函数是一类重要的函数模型.5.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.6.理解对数函数的概念和单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点.7.知道对数函数是一类重要的函数模型.8.了解指数函数与对数函数互为反函数.xya01aa且logayx✎知识点精讲指数函数（1）一般地，形如的函数叫指数函数.（2）指数函数的图象和性质如表2-4所示.01xyaaa且01xyaaa且表2-4✎知识点精讲对数的运算性质（1）.logloglog,aaamnmnmnRlogloglogaaammnn,mnRloglognaamnmmRloglog01,0,01logcacbbaabcca且且loglog1abba,0ab1loglog,0,0,1,mnaanbbabmanmRlog0,01aNaNNaa且log01ayxaa且log01ayxaa且（2）（3）（6）（7）（5）（4）(换底公式）对数函数（1）一般地，形如的函数叫对数函数.（2）对数函数的图象和性质，如表2-5所示.（且不等于）.表2-5图象性质（1）定义域：（2）值域：（3）过定点：（4）在上是增函数（1）定义域：（2）值域：（3）过定点：（4）在上是减函数logayx1a01axOy(1,0)yx(1,0)O(0,)R(1,0)(0,)(0,)(0,)R(1,0)✎题型归纳及思路提示题型26指(对）数运算及指（对）数方程、指（对）数不等式【例2.54】𝟐log510+log50.25=.A.0B.1C.2D.4【分析】𝑛log𝑎𝑥+𝑚log𝑎𝑦=log𝑎𝑥𝑛+log𝑎𝑦𝑚=log𝑎(𝑥𝑛𝑦𝑚.【解析】2log510+log50.25=log5102+log50.25故选C.=log5102×0.25=log525=2.【例2.54变式1】设，且，则（）A.B.C.D.【解析】，，故选A.25abm112abm1010201002am12am155bbmm1111225ababmmmm210m10.m题型27指数函数与对数函数的图象及性质【例2.60】函数的图象如图2-23所示，其中，为常数，则下列结论正确的是（）.A.B.1C.D.【分析】考查指数函数的图象及其变换.图2-23【解析】由图2-23可知，当时，，故，得.故选D.【评注】若本题中的函数变为，则答案又应是什么？由图2-23可知，向下平移得到，故，所以选C.()xbfxaab1,0ab1,0ab01,01ab01,0ab01a0x0,1ba0b0b()xfxab01axyab01byxO【例2.61】如图2-25所示，曲线，，，是底数分别为的对数函数的图象，则曲线，，，对应的底数的可能取值依次为（）.A.B.C.D.【分析】给出曲线的图象，判定，，，所对应的的值，可令求解.1C2C3C4C,,,abcdlogayx1C2C3C4C,,,abcd113,2,,32112,3,,32112,3,,23113,2,,231C2C3C4C,,,abcd1yC4:y=logdxC3:y=logcx:y=logbxC2:y=logaxC11Oyx图2-25【解析】如图2-26所示，作直线交，，，于，，，四点，其横坐标大小为.那么，，，，所对应的的值依次为.故选B.【评注】对数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图2-26所示，则.在第一象限的图象，越大，图象越靠近轴；越小，图象越靠近轴.1y1C2C3C4CABCD01cdab1C2C3C4Ca112,3,,3201cdablog01ayxaa且axayydcbay=1DCBAxO1C1:y=logaxC2:y=logbx:y=logcxC3:y=logdxC4图2-26【例2.70】求函数𝑦=4𝑎−4𝑥2−8𝑥+1+5(0𝑎1的单调增区间.【分析】【解析】函数𝑦=4𝑎−4𝑥2−8𝑥+1+5的定义域为𝐑.函数𝑦=4𝑎−4𝑥2−8𝑥+1+5可看作由二次函数、指数函数和一次函数复合而成，根据复合函数单调性判定法则(即同增异减)求解.令𝑢=−4𝑥2−8𝑥+1，则𝑡=𝑎𝑢，𝑦=4𝑡+5.因为𝑦=4𝑡+5是增函数，【评注】利用“同增异减”求解复合函数单调区间时应注意定义域问题，即单调区间⊆定义域.所以函数𝑦=4𝑎−4𝑥2−8𝑥+1+5(0𝑎1的单调递增区间是−1,+∞.𝑢=−4𝑥2−8𝑥+1=−4𝑥+12+5在(−∞，−1上单调递增，在−1,+∞上单调递减，且𝑡=𝑎𝑢(0𝑎1是减函数，【评注】利用“同增异减”求解复合函数单调区间时应注意定义域问题，即单调区间⊆定义域.题型28指数函数与对数函数中的恒成立的问题【例2.74】设，当时，的图象在轴上方，求实数的取值范围.【分析】本题等价于当时，恒成立.【解析】对于任意，恒成立.令，问题等价于令，因为，所以.在上是减函数，当时，，则即为所求.则实数的取值范围为()124xxfxaaR,1x()fxxa1x„1240xxa1x„1240xxa2114xxax„22111()1422xxxxuxx„max().aux12xt1x„12t…2211()24uxttt1,212tmax3()4ux34aa3.4，【例2.75】已知函数，若时有意义，求实数的取值范围.【分析】把函数有