方差与标准差(白底)

若E[X-E(X)]2存在,则称其为随机称)(XD为X的均方差或标准差.方差概念定义即D(X)=E[X-E(X)]2变量X的方差,记为D(X)或Var(X)两者量纲相同D(X)——描述随机变量X的取值偏离平均值的平均偏离程度——数L,2,1,)(===kpxXPkk若X为离散型r.v.，分布律为()∑∞+=−=12)()(kkkpXExXD若X为连续型r.v.，概率密度为f(x)()dxxfXExXD)()()(2∫∞+∞−−=计算方差的常用公式：)()()(22XEXEXD−=‰D(C)=0‰D(aX)=a2D(X)D(aX+b)=a2D(X)‰()))())(((2)()()(YEYXEXEYDXDYXD−−±+=±特别地，若X,Y相互独立，则)()()(YDXDYXD+=±方差的性质若nXX,,1L相互独立，baaan,,,,21L为常数则∑∑===⎟⎠⎞⎜⎝⎛+niiiniiiXDabXaD121)(若X,Y相互独立)()()(YDXDYXD+=±)()()(YEXEXYE=‰对任意常数C,D(X)≤E(X–C)2,当且仅当C=E(X)时等号成立‰D(X)=0P(X=E(X))=1称为X依概率1等于常数E(X)性质1的证明：()0)()(2=−=CECECD性质2的证明：()2)()()(baXEbaXEbaXD+−+=+()2))(())((bEbXEXaE−+−=()22))((XEXaE−=)(2XDa=()2)()()(YXEYXEYXD±−±=±()))())(((2))(())((22YEYXEXEYEYEXEXE−−±−+−=()))())(((2)()(YEYXEXEYDXD−−±+=性质3的证明：当X,Y相互独立时，())()()())())(((YEXEXYEYEYXEXE−=−−注意到，)()()(YDXDYXD+=±()()22))(())((XECXEXECXE−−−=−性质4的证明：22))(())((XECXEXE−+−=当C=E(X)时，显然等号成立；当C≠E(X)时，0))((2−XEC())(2XDCXE−2))(()(XECXD−+=例1设X~P(λ),求D(X).解∑∞+=−⋅=0!)(kkkekXEλλ∑∞+=−−−=11)!1(kkkeλλλλ=)())1(()(2XEXXEXE+−=!)1())1((0kekkXXEkkλλ−∞+=⋅−=−∑2222)!2(λλλλ=−=∑∞+=−−kkke方差的计算λλ+=22)(XEλ=−=)()()(22XEXEXD例2设X~B(n,p)，求D(X).解一仿照上例求D(X).解二引入随机变量nXXX,,,21L⎩⎨⎧=发生次试验事件第发生次试验事件第AiAiXi,0,1nXXX,,,21L相互独立，ni,,2,1L=)1()(ppXDi−=∑==niiXX1故)1()()(1pnpXDXDnii−==∑=例3设X~N(μ,σ2),求D(X)解dxexXDx222)(221)()(σμσπμ−−∞+∞−∫−=dtetttx222221−∞+∞−=−∫=πσσμ令2σ=常见随机变量的方差(P.159)分布方差概率分布参数为p的0-1分布pXPpXP−====1)0()1(p(1-p)B(n,p)nkppCkXPknkkn,,2,1,0)1()(L=−==−np(1-p)P(λ)L,2,1,0!)(===−kkekXPkλλλ分布方差概率密度区间(a,b)上的均匀分布⎪⎩⎪⎨⎧−=其它,0,,1)(bxaabxf12)(2ab−E(λ)⎩⎨⎧=−其它,0,0,)(xexfxλλ21λN(μ,σ2)222)(21)(σμσπ−−=xexf2σ例7在[0,1]中随机地取两个数X,Y,求D(min{X,Y})解⎩⎨⎧=其它,010,10,1),(yxyxf110∫∫1010},min{yxdxdyyx.3/1=()()dydxydxdyxyx∫∫∫∫+=101101=}),(min{YXE()()dydxydxdyxYXEyx∫∫∫∫+=101210122}),{(min.6/1=()()},min{},{min}),(min{22YXEYXEYXD−=.18/1=标准化随机变量设随机变量X的期望E(X)、方差D(X)都存在,且D(X)≠0,则称)()(XDXEXX−=∗为X的标准化随机变量.显然，1)(,0)(==∗∗XDXE仅知随机变量的期望与方差并不能确定其分布XP-1010.10.80.1YP-2020.0250.950.025与2.0)(,0)(==XDXE2.0)(,0)(==YDYE有相同的期望方差但是分布却不相同例如例9已知X服从正态分布,E(X)=1.7,D(X)=3,Y=1–2X,求Y的密度函数.解1234)(,4.27.121)(=×=−=×−=YDYE+∞∞−=+−yeyfyY,621)(24)4.2(2π在已知分布类型时,若知道其期望和方差,便常能确定分布.