粒子在周期势场中的能级分析(大学经典论文)

玉林师范学院本科生毕业论文1玉林师范学院本科生毕业论文粒子在周期势场中的能级分析Thelevelanalysisofparticlesincyclepotentialfield院系物理与信息科学系专业物理学学生班级2005级1班姓名丁顺平学号200505401106指导教师单位物理与信息科学系指导教师姓名肖楮文指导教师职称助教（硕士）丁顺平粒子在周期势场中的能级分析2粒子在周期势场中的能级分析物理学2005级1班丁顺平指导教师肖楮文摘要本文主要研究了粒子在周期势场中的能级分布情况，分别从不同的周期势场入手分析能级情况。先从三角波周期势场入手，采用变分法得到能级分布，再到方波周期势场的情况，随后探讨了周期势场，最后介绍了正弦波势场。本文主要采用变分法对薛定谔方程进行近似求解。根据变分法思想对不同的的势场选取不同的恰当的试探波函数，然后得到近似能级。势场函数不同所得到的能级结果差别比较大。同时本文还对每一种势场得到的能级结果都作了合理性估计分析。由于数学方法上处理的复杂性，以及变分法的方法局限，本文未能进一步求解非基态的能级，而是只得到了基态下的近似能级，未能作出能谱图。最后对不同势场中得到的能级结果进行了简单的比较，得到一些结论，粒子能级与周期势场的频率1T有关系还与势场本身的特性有关。关键词：粒子；周期；能级玉林师范学院本科生毕业论文3ThelevelanalysisofparticlesincyclepotentialfieldPhysicsScience2005–1DingShun–pingSupervisorXiaoChu–wenAbstractThispapermainlystudiestheenergydistributionofparticlesinthecyclepotentialfield.Thesituationofenergyindifferentcyclepotentialfieldwasdiscussed.Atfirst,itgainsenergydistributionwithvariationmethodinpotentialfieldwhichiscycletriangularwave.Thesecond,thesituationwasdiscussedincyclepotentialfieldfunctionwhichissquare-wave.Thethird,itstudiedfunction.Atlastthesinusoidalpotentialfieldfunctionwasintroduced.ThispapermainlyusesvariationmethodtosolveSchrodingerequation.Underthevariationmethodidea,itoptslegitimatefunctionindifferentpotentialfield,andthengetsanapproximateenergy.Theresultshowsthat,itisdifferenceindifferentpotentialfieldfunction.Meanwhile,thepaperprovestheresults,becauseofthecomplexityinmathematicalmethods,andlimitationofvariationmethod,soitcan’tsolvethenon-ground-stateenergylevelsinthearticle.Onlyobtainapproximationenergyintheground-state,notgainenergyspectrum.Finally,itcomparestheresultindifferentpotentialfield,theresulttellsthat,thefrequencyofpotentialfield1Timpactparticlesenergy，andCharacteristicsofpotentialfieldimpactit.Keywords：particle,level,cycle丁顺平粒子在周期势场中的能级分析4目录1前言……………………………………………………………………………11.1微扰法与变分法的区别………………………………………………………12粒子在三角波势场中的分析……………………………………………………12.1三角波周期势场…………………………………………………………12.2变分法在三角波周期势场中的应用…………………………………………23粒子在方波势场中的分析……………………………………………………43.1方波周期势场……………………………………………………………43.2波动方程的严格解法…………………………………………………………54粒子在周期势垒场中的分析……………………………………………………74.1周期势场……………………………………………………………………74.2粒子在势场中的能级解……………………………………………………85粒子在正弦波场中的分析……………………………………………………95.1正弦波周期势场………………………………………………………………95.2变分法在正弦波场中的运用…………………………………………………105.3不同势场函数中的能级比较…………………………………………………136结束语……………………………………………………………………………13致谢………………………………………………………………………………14参考文献……………………………………………………………………………14玉林师范学院本科生毕业论文51前言本文主要运用量子力学理论探讨了粒子在微观领域中的能级情况。选取了一些不同的周期势场函数，应用不同的方法从各个角度去尝试着解决问题。处理低能下微观粒子的运动问题主要的难点是解决微分方程也就是薛定谔方程，在物理上解决它我们还要考虑许多约束条件，要让我们所得到的解符合物理上的意义，一般情况下我们都不能直接得到薛定谔方程的严格解，在具体的计算过程中，我们根据不同的势场函数采用不同的方法去近似求解。1.1微扰法与变分法的区别对于没有严格解的方程，在求解的过程中主要的近似方法有微扰法、变分法。各自有不同的优点也有各自的实用范围。微扰法是按照公式迭代计算就可以了，但是它的哈密顿量必须要可以分解为一个原始哈密顿量加上一个微小的哈密顿小量，就像扰动一样，而且无微扰哈密顿量必须要可以有严格的解析解[1]。在实际问题中通常比较难以找到有严格解的无微扰哈密顿量，所以微扰法只是用于一些特殊情况，它的应用范围受到了限制。变分法就没有这样的要求，变分法是通过对哈密顿量的判断后选择恰当的试探函数来求解的，但是缺点也比较明显，它的解的近似性直接与试探函数有关，试探函数选取的好坏决定了所得结果的精确程度[2]。变分法中试探函数选择的规律应当考虑宇称[3]。本文采用变分法研究粒子在周期势场中的能级分布，先从三角波势场开始入手，分析粒子在其中的能级分布情况。接着分析了方波周期势场，再到势垒周期势场，最后分析正弦波势场的情况。2粒子在三角波势场中的分析2.1三角波周期势场微观粒子在场中的运动情况我们通过波函数来描述，波函数描述了粒子微观的态，所以我们首先要求解出波函数。为简单起见，我们首先选取粒子在特殊的周期场中的情况作了分析，首先选取三角波势场为特例。选取势场函数以后，只需要求解定态薛丁顺平粒子在周期势场中的能级分析6定谔方程就可以知道粒子在场中的能级分布，从特殊的周期场再推广到一般，讨论粒子在方波势场双势场以及正弦波势场中的能级分布情况。下面我们看看在如下三角波周期势场中粒子的情况。其中势场函数如图所示：,0;,2(),23,34jxxajxaxaVxjxaxajxaxa我们可以看到在（0xa）区域，我们把定态波动方程表示为如下形式2222()0dmEjxdx(2.1.1)M为粒子质量，j是势场函数的斜率，E0.。我们知道要解出此薛定谔方程的严格解是十分复杂的，在这里采用变分法来求解此方程[4]。2.2变分法在三角波周期势场中的应用首先假设体系哈密顿算符H的本征值由小到大的顺序排列为0123,,,,nEEEEE与这些本征值对应的本征函数是0123,,,,n0E和0是基态能量和基态波函数。为了简单起见我们假定哈密顿算符的本征值nE是分立的，本征函数n组成正交归一系。于是就有nnnHE设是任意一个归一化的波函数，将按n展开有nnna在所描写的状态中，体系能量的平均值是*HHd处理后得到**mnmnmnHaaHd，更进一步解析后得到2nnnHaE由于0E是基态能量，所以有0nEE,n不等于0，在此可以写出一个最值来当n用0代替的时候有20nnnHaEE，因此就有*0EHd，这个不等式说明，我们使用任意波函数算出的算符H的平均值总是大于体系基态能量，而只有当所取的波函数正好是玉林师范学院本科生毕业论文7基态波函数0时，H的平均值才等于基态能量0E，以上的讨论是假设波函数是归一化的，如果不是归一化的那么哈密顿算符的期望值应该写为这样的形式**HdHd相应的能级不等式则应该写为*0*HdEd，根据波函数算出的H的平均值总是不小于0E，我们可以选取很多并算出H的平均值[5]，这些平均值中最小的一个接近于0E。用变分法求体系基态能量的步骤是：选取含有参量的尝试波函数()带入能级函数和波动函数中并算出平均能量()H，然后由()/0dHd求出()H的最小值，所得的结果就是基态能量的近似值。首先选取试探波函数为xNe，其中是变分参数，N是归一化常数。试探波函数选取的好坏直接导致结果的近似性的好坏，波函数在空间具有连续性性质且它的二阶导数并不敏感，对试探波函数xNe归一化[6]，得到(,)2xxe（2.2.1）在这里简单的应用变分法原理先解出在此三角波势场中的能级，在后面探讨正弦势场函数时有比较详细的讨论。求期望值()H，222()2()22xxdHejxedxdx（2.2.2）2()2()()22xxxdHeejxedxdx22()()2xxxeejxedx22220022xxejxedx23220022xxedxjedx处理后得到22()22jH(2.2.3)丁顺平粒子在周期势场中的能级分析8令()0dHd（2.2.4）解出132()2j（2.2.5）把（2.2.5）代入（2.2.3）得到在此三角波势场下的基态近似能级12301232()22()2jjEj（2.2.6）对式（2.2.6）所得的结果做数据合理性检验，假定粒子是电子，j取为1ev把有关常量341.05410JS，319.10910kg，1052.910am代入式（2.2.6）得到其结果为253100.427100.22710EJ，约等于250.42710J。从数量级的角度来考虑此结果是合理的[7]。3粒子在方波势场中的分析3.1方波周期势场再看粒子在方波势场中的情况，在周期性的方波势场中，我们可以知道其势场函数是呈周期性变化的()(2)VxVxa。根据薛定谔方程能够求解出粒子的波函数和能级分布，而由粒子的波函数就可以得到粒子在空间运动的概率分布。势场函数相同的区域其波函数也应该相同，对于()()xCx[8]，相差一常数因子的波函数是描述在空间中粒子运动的同一状态