第2章-222标准差

服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[新课标·必修3]教学教法分析课前自主导学当堂双基达标思想方法技巧课堂互动探究课后知能检测教师备课资源2．2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[新课标·必修3]教师用书独具●三维目标1．知识与技能(1)能利用频率分布直方图估计总体的众数，中位数，平均数．(2)结合实际，能选取恰当的样本数字特征，对问题作出合理判断，制定解决问题的有效方法．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[新课标·必修3]2．过程与方法在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法．3．情感、态度与价值观通过对有关数据的搜集、整理、分析、判断培养学生“实事求是”的科学态度和严谨的工作作风．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[新课标·必修3]●重点难点重点：利用频率分布直方图估计总体的众数、中位数、平均数．难点：(1)从频率分布直方图中计算出中位数；(2)选取恰当的样本数字特征来估计总体，从而正确的对实际问题做出决策．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[新课标·必修3]课标解读1.会求样本的众数、中位数、平均数、标准差、方差．(重点)2．理解用样本的数字特征来估计总体数字特征的方法．(重点)3．会应用相关知识解决统计实际问题．(难点)服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[新课标·必修3]众数、中位数、平均数的概念1.众数：一组数据中重复出现次数的数叫做这组数的众数．2．中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，把处于位置的那个数称为这组数据的中位数．当数据个数为奇数时，中位数是按从小到大的顺序排列的的那个数；当数据个数为偶数时，中位数是按从小到大的顺序排列的最中间两个数的．平均数最中间最中间最多服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[新课标·必修3]3．平均数：如果有n个数x1，x2，x3，…，xn，那么x＝叫这n个数的平均数．1n(x1＋x2＋…＋xn)服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[新课标·必修3]标准差、方差【问题导思】甲、乙两名战士在相同条件下各射靶两次，每次命中的环数分别是：甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,51．甲、乙两战士命中环数的平均数x甲、x乙各是多少？【提示】x甲＝7环；x乙＝7环．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[新课标·必修3]2．由x甲，x乙能否判断两人的射击水平？【提示】由于x甲＝x乙，故无法判断．3．观察上述两组数据，你认为哪个人的射击水平更稳定？【提示】从数字分布来看，甲命中的环数较分散，乙命中的环数较集中，故乙的射击水平更稳定．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[新课标·必修3]1．标准差的计算公式标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，s＝1n[x1－x2＋x2－x2＋…＋xn－x2].2．方差的计算公式标准差的平方s2叫做方差．s2＝．其中，xi(i＝1,2，…，n)是，n是，x是.样本平均数样本容量样本数据1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[新课标·必修3]众数、中位数、平均数的应用某公司的33名人员的月工资如下：职务董事长副董事长董事总经理经理管理员职员人数11215320工资(元)5500500035003000250020001500服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[新课标·必修3](1)求该公司人员月工资的平均数、中位数、众数(精确到元)；(2)假设副董事长的工资从5000元提升到20000元；董事长的工资从5500元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？(精确到元)(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司人员的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[新课标·必修3]【思路探究】由平均数定义→计算平均数→将数据从小到大排列→得中位数、平均数→结论【自主解答】(1)平均数是x＝(5500＋5000＋3500×2＋3000＋2500×5＋2000×3＋1500×20)÷33≈2091(元)，中位数是1500元，众数是1500元．(2)平均数是x′＝(30000＋20000＋3500×2＋3000＋2500×5＋2000×3＋1500×20)÷33≈3288(元)，中位数是1500元，众数是1500元．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[新课标·必修3](3)在这个问题中，中位数和众数均能反映该公司人员的工资水平．因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司人员的工资水平．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[新课标·必修3]1．深刻理解和把握平均数、中位数、众数在反映样本数据上的特点，并结合实际情况，灵活应用．2．如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在许多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值．在实际应用中，如果同时知道样本中位数和样本平均数，可以使我们了解样本数据中极端数据的信息，帮助我们作出决策．3．平均数对极端值敏感，而中位数对极端值不敏感．因此两者结合，可较好地分析总体的情况．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[新课标·必修3]高一(3)班有男同学27名，女同学21名，在一次语文测验中，男同学的平均分是82分，中位数是75分，女同学的平均分是80分，中位数是80分．(1)求这次测验全班平均分(精确到0.01)；(2)估计全班成绩在80分以下(含80分)的同学至少有多少人？(3)分析男同学的平均分与中位数相差较大的主要原因是什么？服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[新课标·必修3]【解】(1)利用平均数计算公式得x＝148(82×27＋80×21)≈81.13(分)．(2)∵男同学的中位数是75，∴至少有14名男同学得分不超过75分．又∵女同学的中位数是80，∴至少有11名女同学得分不超过80分．∴全班至少有25人得分低于80分(含80分)．(3)男同学的平均分与中位数的差别较大，说明男同学中两极分化现象严重，得分高的和低的相差较大．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[新课标·必修3]用频率分布表或直方图求数字特征已知一组数据：125121123125127129125128130129126124125127126122124125126128(1)填写下面的频率分布表：服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[新课标·必修3]分组频数累计频数频率[120.5,122.5)[122.5,124.5)[124.5,126.5)[126.5,128.5)[128.5,130.5]合计服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[新课标·必修3](2)作出频率分布直方图；(3)根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和平均数．【思路探究】将数据分组后依次填写分布表．然后画出直方图，最后根据数字特征在直方图中的求法求解．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[新课标·必修3]【自主解答】(1)分组频数累计频数频率[120.5,122.5)20.1[122.5,124.5)30.15[124.5,126.5)80.4[126.5,128.5)40.2[128.5,130.5]30.15合计201服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[新课标·必修3](2)服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[新课标·必修3](3)在[124.5,126.5)中的数据最多，取这个区间的中点值作为众数的近似值，得众数为125.5，事实上，众数的精确值为125.图中虚线对应的数据是124.5＋2×58＝125.75，事实上中位数为125.5.使用“组中值”求平均数：x－＝121.5×0.1＋123.5×0.15＋125.5×0.4＋127.5×0.2＋129.5×0.15＝125.8，事实上平均数的精确值为x－＝125.75.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[新课标·必修3]1．利用频率分布直方图求数字特征：(1)众数是最高的矩形的底边的中点．(2)中位数左右两侧直方图的面积相等．(3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．2．利用直方图求众数、中位数、平均数均为近似值，往往与实际数据得出的不一致，但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[新课标·必修3]某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30、0.40、0.15、0.10、0.05.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[新课标·必修3]图2－2－10求：(1)高一参赛学生的成绩的众数、中位数．(2)高一参赛学生的平均成绩．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[新课标·必修3]【解】(1)由图可知众数为65，又∵第一个小矩形的面积为0.3，∴设中位数为60＋x，则0.3＋x×0.04＝0.5，得x＝5，∴中位数为60＋5＝65.(2)依题意，平均成绩为55×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67，∴平均成绩约为67.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[新课标·必修3]标准差与方差的应用甲、乙两机床同时加工直径为100cm的零件，为检验质量，从中抽取6件测量数据为：甲：9910098100100103乙：9910010299100100(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[新课标·必修3]【思路探究】【自主解答】(1)x甲＝16[99＋100＋98＋100＋100＋103]＝100，x乙＝16[99＋100＋102＋99＋100＋100]＝100，服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[新课标·必修3]s2甲＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝73，s2乙＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)由(1)知x甲＝x乙，比较它们的方差，∵s2甲＞s2乙，故乙机床加工零件的质量更稳定．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[新课标·必修3]1．在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究其偏离平均值的离散程度(即方差或标准差)：方差大说明取值分散性大，方差小说明取值分散性小或者取值集中、稳定．2．关于统计的有关性质及规律：(1)若x1，x2，…，xn的平均数为x，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数是mx＋a.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[新课标·必修3](2)数据x1，x2，…，xn与数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差相等．(3)若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[新课标·必修3]对划艇运动员甲、乙在相同的条件下进行了6次测试，测得他们每次的最大速度(m/s)如下：甲：27,38,30,37,35,31乙：33,29,38,34,28,36根据以上数据，试判断他们谁更优秀．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[新课标·必修3]【解】x甲＝16×(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝33，s2甲＝16×[(27－33)2＋(38－33)2＋…＋(31－33)2]＝16×94≈15.7，x乙＝16×(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝1986＝33，服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单数学[新课标·必修3]s2乙