统计物理第六章

热力学与统计物理学的对比热力学是热运动的宏观理论。以实验总结的定律出发,经过严密的逻辑推理得到物体宏观热性质间的联系,宏观过程进行的方向和限度,从而揭示热现象的有关规律。统计物理是热运动的微观理论。认为宏观物质系统由大量微观粒子组成.宏观性质是大量微观粒子的集体表现,宏观热力学量则是相应微观力学量的统计平均值。微观粒子观察和实验出发点热力学验证统计物理学，统计物理学揭示热力学本质二者关系近似模型，计算难不深刻缺点揭露本质，探讨具体普遍，可靠优点统计平均方法力学规律总结归纳逻辑推理方法微观量，宏观量宏观量物理量热现象热现象研究对象微观理论（统计物理学）宏观理论（热力学）第六章近独立粒子的最概然分布基本内容：粒子运动状态的描述热力学系统的微观状态的描述等概率原理三种分布§6-1粒子运动状态的经典描述一.粒子的运动状态粒子：指组成宏观物质系统的基本单元。例：气体中的分子金属中的离子和电子辐射场中的光子粒子的运动状态是指它的力学运动状态。如果粒子遵从经典力学的运动规律，对粒子运动状态的描述称为经典描述。如果粒子遵从量子力学的运动规律，对粒子运动状态的描述称为量子描述。rrppppqqqq,,,,,,321321：：广义动量广义坐标）；（＝rrpppqqq,,,,2121）；：（rrpppqqq,,,,2121μ空间设粒子的自由度数r（能够完全确定质点空间位置的独立坐标数目），粒子在任一时刻的力学运动状态（或者微观运动状态）由2r个广义坐标和广义动量确定：二.粒子的运动状态的经典描述粒子的能量是广义坐标和广义动量的函数：如果有外场，粒子的能量还是外场的函数。由2r个广义坐标和广义动量张成的2r维直角坐标空间：μ空间μ空间中任何一点代表力学体系中一个粒子的一个运动状态，这个点称为粒子运动状态的代表点。当粒子运动状态随时间改变时，代表点相应地在μ空间中移动，描画出一条轨迹。1.三维自由粒子自由度：3；μ空间维数：6zmppymppxmppzyx321：广义动量能量：)(21222zyxpppm能量球面半径：mr2zqyqxq321：广义坐标三.例子dtdAA以一维自由粒子为例，以为直角坐标，构成二维的空间，设一维容器的长度为，粒子的一个运动状态可以用空间在一定范围内的一点代表:xpx,μL),(xpxμOxpxL),(xpx能量：222212xmmp2.线性谐振子自由度：1μ空间维数：2xmp：广义动量能量椭圆122222mxmpxp;xq：广义坐标质量为m的粒子在弹性力作用下,将在原点附近作圆频率的简谐振动，称为线性谐振子。AxfmA3.转子质点在直角坐标下的能量：)(21222zyxm坐标用球坐标表示:cossinrxsinsinrycosrzoxyzA考虑质量为m的质点被具有固定长度的轻杆系于原点O时所作的运动。sinsincoscoscossinrrrxcossinsincoscossinrrrysincosrrz)sin(21222222rrrm0r)sin(2122222rrm考虑质点和原点的距离保持不变，于是：自由度：2μ空间维数：4广义坐标：)2~0(),~0(21qq广义动量：sin22221mrppmrpp;2)sin1(212222IMppI能量：如何出来的？能量的形式和转子的对称性有关。转子的拉格朗日量：)()sin(21)()(2122222222rVrrmrVzyxmVTLsin222mrLpmrLp转动惯量2mrI广义动量的形式和转子的拉格朗日量有关。平面内：在方向，因此轴向在标，可以使得角动量方行对比）。适当选择坐力学中的角动量守恒进（注意和量子和方向都不随时间改变是一个守恒量，其大小角动量没有力矩，转子的总对之间为中心力，因此由于轻杆没有质量，故yxAzprMAOOA02pIpppI2)sin1(212222z方向的角动量：pmrmrxyyxmypxpLxyzsincos)(2222IMILz2222rpMOAz§6-2粒子运动状态的量子描述微观粒子普遍具有波粒二象性（粒子性与波动性）德布罗意关系(1924年)：不确定性关系（1925年）kp;hpq其中sJ10626.6234h都称为普朗克常数。在量子力学中，微观粒子的运动状态是用波函数来描述的，微观粒子的运动状态称为量子态。量子态往往可以由一组量子数来表征。这组量子数的数目等于粒子的自由度数。微观粒子不可能同时有确定的动量和坐标,经典描述失效微观粒子的运动不是轨道运动微观粒子的能量是不连续的,分立的能量称为能级。如果一个能级的量子态不止一个，该能级就称为简并的。一个能级的量子态数称为该能级的简并度。如果一个能级只有量子态，该能级称为非简并的。普朗克常数的量纲：[时间]·[能量]=[长度]·[动量]=[角动量]具有这样量纲的一个物理量通常称为作用量，因而普朗克常数也称为基本的作用量子。这个作用量子常作为判别采用经典描述或量子描述的判据。一、自旋电子(质子、中子等)具有内禀角动量（自旋）和内禀磁矩,关系为：自旋角动量在空间任意方向上的投影（比如说z轴）只能取两个值:;21SzmS在外磁场中的势能为BmeBmmeBBUSzz2量子数（磁）称为自旋21SmSme二、线性谐振子,2,1,0);21(nnn圆频率为的线性谐振子的能量可能值为所有能级等间距，均为,每一个能级都是非简并的，即简并度为1。三、转子,2,1,0)1(22lllMIlll2)1(2基态非简并，激发态简并，简并度：12l转子的能量:IM22量子理论要求:固定l，角动量在空间任意方向上（比如说z轴）的投影:称为磁量子数,,1,;lllmmMz转子的运动状态由l和m两个量子数表征。),(lmY转子的运动状态即量子态用球谐函数描写，它由l和m两个量子数表征，l称为角动量量子数，一般为非负整数。四、自由粒子一维自由粒子：,2,1,0,xxnnL考虑处于长度为的一维容器中自由粒子。采用周期性边界条件，其德布罗意波长满足：L,2,1,0,2,2xxxxnnLkk：又,：得代入德布罗意关系式xxkp,2,1,0;2222222xxxnnnLπmpx:由此得到能量基态能级为非简并，激发态为二度简并。xxnLp2三维自由粒子zzyyxxnLpnLpnLp222,2,1,0,,zyxnnn考虑处于长度为L的三维容器中自由粒子的运动状态。假设此粒子限制在一个边长为L的方盒子中运动，仿照一维粒子的情形，该粒子在三个方向动量的可能值为：量子数：3个zyxnnn,,3222222222222Lnnnmmpppmpzyxzyxn能量的可能值为222zyxnnn能量值决定于：比如对于：1222zyxnnn,222m有六个量子态与之对应，)1,0,0()1,0,0()0,1,0()0,1,0()0,0,1()0,0,1(基态能级为非简并，激发态为6度简并。:的数目为的范围内，可能的到相差为1，因此在且相邻两个是一一对应的，与内运动，显然，容器考虑粒子在宏观大小的xxxxxxxpdpppnnpLV3xxdpLdn2:的数目为的范围内，可能的到在同理yyyypdppp，yydpLdn2zzdpLdn233)2(hdpdpVdpdpdpdpLdndndnzyxzyxzyx:的数目为的范围内，可能的到在zzzzpdppp:自由粒子的量子态数为的范围内，到到到内，动量在表征，因此容器）（或者三个量子数由动量的三个分量由于自由粒子的量子态zzzyyyxxxzyxzyxdpp，pdpp，pdpppLV、n、nn、p、pp3进一步理解这个式子，我们在μ空间中引入相格的概念。首先，注意到是μ空间中的一个体积元；zyxzyxdpdpVdpdpdpdpL3其次，普朗克常数h的量纲：[h]=[时间]·[能量]=[长度]·[动量][h]3=[长度]3·[动量]3h3是μ空间中的一个体积，称之为一个相格。进一步说明：微观粒子的运动必须遵守不确定性关系，不可能同时具有确定的动量和坐标，所以量子态不能用空间的一点来描述，如果硬要沿用广义坐标和广义动量描述量子态，那么一个状态必然对应于空间中的一个体积元（相格），而不是一个点，这个体积元称为量子相格。hpqrrrhppqq113hdpdpVdpdndndnzyxzyx右边表示在μ空间中以h3为单位的相格的个数，左边表示量子态的数目。一个相格h3内只有一个量子态自由度为1的粒子，相格大小为普朗克常数：如果自由度为r，相格大小为：对动量采用球坐标：cossinsincossinppppppzyxopxpypzddpdpdpdpdpzyxsin2dppDdpphV)(423：积分对20:,0:4sin020ddddpdhVphdpdpVdpdndndnzyxzyx323sin:自由粒子的量子态数为的范围内，到到方向在到在大小内，动量体积d，ddp，ppV:自由粒子的量子态数为到在大小内，动量体积dp，ppVD(p)表示单位动量大小间隔范围内的量子态数，称为动量空间的态密度。对非相对论性的自由粒子，有：mp22dpmpd22dmhVdD21233)2(2)(表示单位能量间隔内粒子可能的量子态数，称为能量态密度，简称为态密度。)(D:自由粒子的量子态数为到在大小量能内，体积，dV注意：以上讨论没有考虑自旋，并且考虑到是非相对论性的粒子。如果粒子的自旋不为零，比如电子自旋为1/2，光子自旋为1，由于自旋角动量在动量方向上的投影有两个可能值（前面已提到，自旋角动量在空间中的任意一个方向的投影有两个可能值），也就是说，有两个不同的状态，因此上面的量子态数公式需乘以2：dmhVdD21233)2(22)(§6-3系统微观运动状态的描述一.相关概念;1NiiE1.系统热力学和统计物理学中研究的对象都是由大量微观粒子构成的系统。2.近独立粒子我们现在只讨论：近独立的全同粒子构成的系统（适用于第六七八章内容）粒子之间的相互作用很弱，可以忽略系统的能量为单个粒子的能量之和：N为系统的粒子的总数);,(外场参量iiiipq二.系统微观运动状态的经典描述3.全同粒子粒子的质量、电荷、自旋都相同。4.系统的微观状态指构成系统的所有粒子的力学运动状态。假设系统有N个粒子，每一个粒子的自由度为r，第i个粒子的力学运动状态，由r个广义坐标和r个广义动量来描述：当组成系统的N个粒子在某一时刻的运动状态都确定时，也就确定了整个系统的在该时刻的运动状态。因此，确定系统的微观运动状态需要2Nr个变量。;,,,21riiiqqqriiippp,,,21一个粒子在某时刻的力学运动状态可以在μ空间中用一个点表示；由N个全同粒子组成的系统在某时刻的微观运动状态可以在μ空间中用N个点表示；如果交换两个代表点在μ空间的位置，相应的系统的微观状态是不同的。经典力学中，全同粒子是可以分辨的（因为经典粒子的运动是轨道运动，原则上是可以被跟踪的）。如果在含有多个全同粒子的系统中，将两个粒子的运动状态加以交换，交换前后，系