无穷级数的柯西积分判别法

2020/3/71柯西积分判别法：正项级数的柯西积分判别法对于正项级数1,nnu设{}nu为单调减少的数()fx列，作一个连续的单调减少的正值函数(0),x使得当x等于自然数n时，其函数值恰为,nu即(),nfnu令1(),nnAfxdx那么1nnu级数与数列{A}n同时收敛或同时发散。（证明略）2020/3/721(),pfxx作1111limlim(1)1nppnndxnxp例1：考察p级数11pnn的敛散性(0).p考虑积分(1).p1,11,1ppp而当p=1时，级数11nn是发散的。因此，对p级数来说，当时发散，01p当时收敛。1p2020/3/73例2：证明级数21lnnnn发散，级数221(ln)nnn收敛。1(),lnfxxx作21limlim[lnlnlnln2]lnnnndxnxx所以级数21lnnnn是发散的。2020/3/74例2：证明级数21lnnnn发散，级数221(ln)nnn收敛。21(),(ln)fxxx作221111limlim),(ln)ln2lnln2(nnndxxxn所以级数221(ln)nnn是收敛的。