(典型题)高考数学二轮复习 知识点总结 平面向量

平面向量从近几年高考来看，平面向量有以下几个考查特点：1.向量的加法，主要考查运算法则、几何意义；平面向量的数量积、坐标运算、两向量平行与垂直的充要条件是命题的重点内容，主要考查运算能力和灵活运用知识的能力；试题以选择、填空形式出现，难度中等偏下.2.平面向量与三角函数、解析几何相结合，以解答题形式呈现，难度中等．1．平面向量中的五个基本概念(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为a|a|.(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．(4)如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k)是直线l的一个方向向量．(5)向量的投影：|b|cos〈a，b〉叫做向量b在向量a方向上的投影．2．平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa.(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．3．平面向量的两个充要条件若两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则：(1)a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0.(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.4．平面向量的三个性质(1)若a＝(x，y)，则|a|＝a·a＝x2＋y2.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB→|＝x2－x12＋y2－y12.(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.考点一平面向量的概念及线性运算例1(1)(2013·江苏)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若DE→＝λ1AB→＋λ2AC→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．(2)△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，OA→＋AB→＋AC→＝0且|OA→|＝|AB→|，则向量CA→在CB→上的投影为()A.3B．3C．－3D．－3答案(1)12(2)A解析(1)如图，DE→＝DB→＋BE→＝12AB→＋23BC→＝12AB→＋23(AC→－AB→)＝－16AB→＋23AC→，则λ1＝－16，λ2＝23，λ1＋λ2＝12.(2)由OA→＋AB→＋AC→＝0，得AB→＋AC→＝AO→.又O为△ABC外接圆的圆心，OB＝OC，∴四边形ABOC为菱形，AO⊥BC.由|OA→|＝|AB→|＝2，知△AOC为等边三角形．故CA→在CB→上的投影为|CA→|cos∠ACB＝2cosπ6＝3.(1)在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作字母，其运算就类似于代数中合并同类项的运算；有的问题采用坐标化解决更简单．(2)运用向量加减法解决几何问题时，要善于发现或构造三角形或平行四边形，使用三角形法则时要特别注意“首尾相接”．运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合．(1)已知△ABC和点M满足MA→＋MB→＋MC→＝0.若存在实数m使得AB→＋AC→＝mAM→成立，则m的值为()A．2B．3C．4D．5(2)如图，平面内有三个向量OA→，OB→，OC→，其中OA→与OB→的夹角为120°，OA→与OC→的夹角为30°，且|OA→|＝|OB→|＝1，|OC→|＝23，若OC→＝λOA→＋μOB→(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．答案(1)B(2)6解析(1)∵MA→＋MB→＋MC→＝0，∴点M是△ABC的重心．∴AB→＋AC→＝3AM→，∴m＝3.(2)方法一如图，OC→＝OB→1＋OA→1，|OB→1|＝2，|OA→1|＝|B1C→|＝4，∴OC→＝4OA→＋2OB→.∴λ＋μ＝6.方法二由OC→＝λOA→＋μOB→，两边同乘OC→，得OC→2＝λOA→·OC→＋0，∴λ＝4.∴OC→＝4OA→＋μOB→，两边同乘OA→，得OC→·OA→＝4＋μOA→·OB→，即3＝4＋(－12)μ.∴μ＝2.∴λ＋μ＝6.方法三以O为原点，OA为x轴建立直角坐标系，则A(1,0)，C(23cos30°，23sin30°)，B(cos120°，sin120°)．即A(1,0)，C(3，3)，B(－12，32)．由OC→＝λOA→＋μOB→得，λ－12μ＝3，32μ＝3.∴μ＝2λ＝4.∴λ＋μ＝6.考点二平面向量的数量积例2(1)(2012·江苏)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若AB→·AF→＝2，则AE→·BF→的值是________．(2)若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为()A.2－1B．1C.2D．2答案(1)2(2)B解析(1)方法一坐标法．以A为坐标原点，AB，AD所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2，0)，E(2，1)，F(x,2)．故AB→＝(2，0)，AF→＝(x,2)，AE→＝(2，1)，BF→＝(x－2，2)，∴AB→·AF→＝(2，0)·(x,2)＝2x.又AB→·AF→＝2，∴x＝1.∴BF→＝(1－2，2)．∴AE→·BF→＝(2，1)·(1－2，2)＝2－2＋2＝2.方法二用AB→，BC→表示AE→，BF→是关键．设DF→＝xAB→，则CF→＝(x－1)AB→.AB→·AF→＝AB→·(AD→＋DF→)＝AB→·(AD→＋xAB→)＝xAB→2＝2x，又∵AB→·AF→＝2，∴2x＝2，∴x＝22.∴BF→＝BC→＋CF→＝BC→＋22－1AB→.∴AE→·BF→＝(AB→＋BE→)·BC→＋22－1AB→＝AB→＋12BC→BC→＋22－1AB→＝22－1AB→2＋12BC→2＝22－1×2＋12×4＝2.(2)方法一由题意知a2＝b2＝c2＝1，又a·b＝0，∵(a－c)·(b－c)＝a·b－a·c－b·c＋c2≤0，∴a·c＋b·c≥c2＝1，∴|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c＝3－2(a·c＋b·c)≤1，∴|a＋b－c|≤1.方法二设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，则x2＋y2＝1，a－c＝(1－x，－y)，b－c＝(－x,1－y)，则(a－c)·(b－c)＝(1－x)(－x)＋(－y)(1－y)＝x2＋y2－x－y＝1－x－y≤0，即x＋y≥1.又a＋b－c＝(1－x,1－y)，∴|a＋b－c|＝－x2＋－y2＝x－2＋y－2＝3－x＋y≤1.(1)涉及数量积和模的计算问题，通常有两种求解思路：①直接利用数量积的定义；②建立坐标系，通过坐标运算求解．(2)在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中模和夹角已知的向量进行计算．求平面向量的模时，常把模的平方转化为向量的平方．(1)(2013·山东)已知向量AB→与AC→的夹角为120°，且|AB→|＝3，|AC→|＝2.若AP→＝λAB→＋AC→，且AP→⊥BC→，则实数λ的值为________．(2)(2013·重庆)在平面上，AB1→⊥AB2→，|OB1→|＝|OB2→|＝1，AP→＝AB1→＋AB2→.若|OP→|12，则|OA→|的取值范围是()A.0，52B.52，72C.52，2D.72，2答案(1)712(2)D解析(1)由AP→⊥BC→知AP→·BC→＝0，即AP→·BC→＝(λAB→＋AC→)·(AC→－AB→)＝(λ－1)AB→·AC→－λAB→2＋AC→2＝(λ－1)×3×2×－12－λ×9＋4＝0，解得λ＝712.(2)∵AB1→⊥AB2→，∴AB1→·AB2→＝(OB1→－OA→)·(OB2→－OA→)＝OB1→·OB2→－OB1→·OA→－OA→·OB2→＋OA→2＝0，∴OB1→·OB2→－OB1→·OA→－OA→·OB2→＝－OA→2.∵AP→＝AB1→＋AB2→.∴OP→－OA→＝OB1→－OA→＋OB2→－OA→，∴OP→＝OB1→＋OB2→－OA→.∵|OB1→|＝|OB2→|＝1，∴OP→2＝1＋1＋OA→2＋2(OB1→·OB2→－OB1→·OA→－OB2→·OA→)＝2＋OA→2＋2(－OA→2)＝2－OA→2，∵|OP→|12，∴0≤|OP→|214，∴0≤2－OA→214，∴74OA→2≤2，即|OA→|∈72，2.考点三平面向量与三角函数的综合应用例3已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosx，sinx)，c＝(sinx＋2sinα，cosx＋2cosα)，其中0αxπ.(1)若α＝π4，求函数f(x)＝b·c的最小值及相应x的值；(2)若a与b的夹角为π3，且a⊥c，求tan2α的值．(1)应用向量的数量积公式可得f(x)的三角函数式，然后利用换元法将三角函数式转化为二次函数式，由此可解得函数的最小值及对应的x值．(2)由夹角公式及a⊥c可得关于角α的三角函数式，通过三角恒等变换可得结果．解(1)∵b＝(cosx，sinx)，c＝(sinx＋2sinα，cosx＋2cosα)，α＝π4，∴f(x)＝b·c＝cosxsinx＋2cosxsinα＋sinxcosx＋2sinxcosα＝2sinxcosx＋2(sinx＋cosx)．令t＝sinx＋cosxπ4xπ，则2sinxcosx＝t2－1，且－1t2.则y＝t2＋2t－1＝t＋222－32，－1t2，∴t＝－22时，ymin＝－32，此时sinx＋cosx＝－22，即2sinx＋π4＝－22，∵π4xπ，∴π2x＋π454π，∴x＋π4＝76π，∴x＝11π12.∴函数f(x)的最小值为－32，相应x的值为11π12.(2)∵a与b的夹角为π3，∴cosπ3＝a·b|a|·|b|＝cosαcosx＋sinαsinx＝cos(x－α)．∵0αxπ，∴0x－απ，∴x－α＝π3.∵a⊥c，∴cosα(sinx＋2sinα)＋sinα(cosx＋2cosα)＝0，∴sin(x＋α)＋2sin2α＝0，即sin2α＋π3＋2sin2α＝0.∴52sin2α＋32cos2α＝0，∴tan2α＝－35.在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．已知向量a＝sinx，34，b＝(cosx，－1)．(1)当a∥b时，求cos2x－sin2x的值；(2)设函数f(x)＝2(a＋b)·b，已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，sinB＝63，求f(x)＋4cos(2A＋π6)(x∈[0，π3])的取值范围．解(1)∵a∥b，∴34cosx＋sinx＝0，∴tanx＝－34.∴cos2x－sin2x＝cos2x－2sinxcosxsin2x＋cos2x＝1－2tanx1＋tan2x＝85.(2)f(x)＝2(a＋b)·b＝2sin2x＋π4＋32，由正弦定理asinA＝bsinB，可得sinA＝22，∴A＝π4.∴f(x)＋4cos2A＋π6＝2sin2x＋π4－12，∵x∈[0，π3]，∴2x＋π4∈[π4，11π12]．∴32－1≤f(x)＋4cos(2A＋π6)≤2－12.1．当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向