数列

第1页（共16页）数列一．填空题（共2小题）1．已知数列{an}的前n项和Sn=kn﹣1（k∈R），且{an}既不是等差数列，也不是等比数列，则k的取值集合是．2．已知数列{an}的通项公式an=，若对任意n∈N+，an＜an+1恒成立，则a的取值范围是．二．解答题（共9小题）3．对于无穷数列{an}与{bn}，记A={x|x=an，n∈N*}，B={x|x=bn，n∈N*}，若同时满足条件：①{an}，{bn}均单调递增；②A∩B=∅且A∪B=N*，则称{an}与{bn}是无穷互补数列．（1）若an=2n﹣1，bn=4n﹣2，判断{an}与{bn}是否为无穷互补数列，并说明理由；（2）若an=2n且{an}与{bn}是无穷互补数列，求数量{bn}的前16项的和；（3）若{an}与{bn}是无穷互补数列，{an}为等差数列且a16=36，求{an}与{bn}的通项公式．4．已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n，{bn}是等差数列，且an=bn+bn+1．（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）令cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．第2页（共16页）5．已知数列{an}，{bn}满足bn=an+1﹣an，其中n=1，2，3，…．（Ⅰ）若a1=1，bn=n，求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn+1bn﹣1=bn（n≥2），且b1=1，b2=2．（ⅰ）记cn=a6n﹣1（n≥1），求证：数列{cn}为等差数列；（ⅱ）若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．求a1应满足的条件．6．设fk（n）为关于n的k（k∈N）次多项式．数列{an}的首项a1=1，前n项和为Sn．对于任意的正整数n，an+Sn=fk（n）都成立．（I）若k=0，求证：数列{an}是等比数列；（Ⅱ）试确定所有的自然数k，使得数列{an}能成等差数列．7．正整数数列{an}满足：a1=1，（Ⅰ）写出数列{an}的前5项；（Ⅱ）将数列{an}中所有值为1的项的项数按从小到大的顺序依次排列，得到数列{nk}，试用nk表示nk+1（不必证明）；（Ⅲ）求最小的正整数n，使an=2013．第3页（共16页）8．已知数列{xn}和{yn}的通项公式分别为和．（1）当a=3，b=5时，①试问：x2，x4分别是数列{yn}中的第几项？②记，若ck是{yn}中的第m项（k，m∈N+），试问：ck+1是数列{yn}中的第几项？请说明理由；（2）对给定自然数a≥2，试问是否存在b∈{1，2}，使得数列{xn}和{yn}有公共项？若存在，求出b的值及相应的公共项组成的数列{zn}，若不存在，请说明理由．9．已知数列{an}的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列．数列{an}前n项和为Sn，且满足S5=2a4+a5，a9=a3+a4．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若amam+1=am+2，求正整数m的值；（3）是否存在正整数m，使得恰好为数列{an}中的一项？若存在，求出所有满足条件的m值，若不存在，说明理由．第4页（共16页）10．设公差不为零的等差数列{an}的各项均为整数，Sn为其前n项和，且满足．（1）求数列{an}的通项公式；（2）试求所有的正整数m，使得为数列{an}中的项．11．已知公比为q（q≠1）的无穷等比数列{an}的首项a1=1．（1）若q=，在a1与a2之间插入k个数b1，b2，…，bk，使得a1，b1，b2，…，bk，a2，a3成等差数列，求这k个数；（2）对于任意给定的正整数m，在a1，a2，a3的a1与a2和a2与a3之间共插入m个数，构成一个等差数列，求公比q的所有可能取值的集合（用m表示）；（3）当且仅当q取何值时，在数列{an}的每相邻两项ak，ak+1之间插入ck（k∈N*，ck∈N）个数，使之成为一个等差数列？并求c1的所有可能值的集合及{cn}的通项公式（用q表示）．第5页（共16页）2016年11月25日malan3的高中数学组卷参考答案与试题解析一．填空题（共2小题）1．（2016•南通模拟）已知数列{an}的前n项和Sn=kn﹣1（k∈R），且{an}既不是等差数列，也不是等比数列，则k的取值集合是{0}．【分析】利用递推关系可得：a1=S1=k﹣1；n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=kn﹣1（k﹣1）．对k分类讨论，利用等差数列与等比数列的通项公式及其定义即可得出结论．【解答】解：∵数列{an}的前n项和Sn=kn﹣1（k∈R），∴a1=S1=k﹣1；n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=kn﹣1﹣（kn﹣1﹣1）=kn﹣1（k﹣1）．k=1时，an=0，此时数列{an}是等差数列．k≠1，0时，此时数列{an}是等比数列，首项为k﹣1，公比为k．k=0时，a1=﹣1，n≥2时，an=0．此时{an}既不是等差数列，也不是等比数列．∴k的取值集合是{0}．故答案为：{0}．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其定义，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．2．（2016•辽宁三模）已知数列{an}的通项公式an=，若对任意n∈N+，an＜an+1恒成立，则a的取值范围是（3，5）．【分析】对任意n∈N+，an＜an+1恒成立．n=1时，a1＜a2，解得．n≥2时，4n+（﹣1）n（8﹣2a）＜4（n+1）+（﹣1）n+1（8﹣2a），化为：（4﹣a）（﹣1）n+1+1＞0，对n分类讨论即可得出．【解答】解：∵对任意n∈N+，an＜an+1恒成立，∴n=1时，a1＜a2，可得a＜8+（8﹣2a），解得．n≥2时，4n+（﹣1）n（8﹣2a）＜4（n+1）+（﹣1）n+1（8﹣2a），化为：（4﹣a）（﹣1）n+1+1＞0，n=2k时，化为：﹣（4﹣a）+1＞0，解得a＞3；n=2k+1时，化为：4﹣a+1＞0，解得a＜5．综上可得：3＜a＜5．∴a的取值范围是（3，5）．故答案为：（3，5）．【点评】本题考查了数列的单调性、不等式的解法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．二．解答题（共9小题）3．（2016•上海）对于无穷数列{an}与{bn}，记A={x|x=an，n∈N*}，B={x|x=bn，n∈N*}，若同时满足条件：①{an}，{bn}均单调递增；②A∩B=∅且A∪B=N*，则称{an}与{bn}是无穷互补数列．（1）若an=2n﹣1，bn=4n﹣2，判断{an}与{bn}是否为无穷互补数列，并说明理由；第6页（共16页）（2）若an=2n且{an}与{bn}是无穷互补数列，求数量{bn}的前16项的和；（3）若{an}与{bn}是无穷互补数列，{an}为等差数列且a16=36，求{an}与{bn}的通项公式．【分析】（1）{an}与{bn}不是无穷互补数列．由4∉A，4∉B，4∉A∪B=N*，即可判断；（2）由an=2n，可得a4=16，a5=32，再由新定义可得b16=16+4=20，运用等差数列的求和公式，计算即可得到所求和；（3）运用等差数列的通项公式，结合首项大于等于1，可得d=1或2，讨论d=1，2求得通项公式，结合新定义，即可得到所求数列的通项公式．【解答】解：（1）{an}与{bn}不是无穷互补数列．理由：由an=2n﹣1，bn=4n﹣2，可得4∉A，4∉B，即有4∉A∪B=N*，即有{an}与{bn}不是无穷互补数列；（2）由an=2n，可得a4=16，a5=32，由{an}与{bn}是无穷互补数列，可得b16=16+4=20，即有数列{bn}的前16项的和为（1+2+3+…+20）﹣（2+4+8+16）=×20﹣30=180；（3）设{an}为公差为d（d为正整数）的等差数列且a16=36，则a1+15d=36，由a1=36﹣15d≥1，可得d=1或2，若d=1，则a1=21，an=n+20，bn=n（1≤n≤20），与{an}与{bn}是无穷互补数列矛盾，舍去；若d=2，则a1=6，an=2n+4，bn=．综上可得，an=2n+4，bn=．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查运算和推理能力，属于中档题．4．（2016•山东）已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n，{bn}是等差数列，且an=bn+bn+1．（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）令cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．【分析】（Ⅰ）求出数列{an}的通项公式，再求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）求出数列{cn}的通项，利用错位相减法求数列{cn}的前n项和Tn．【解答】解：（Ⅰ）Sn=3n2+8n，∴n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=6n+5，n=1时，a1=S1=11，∴an=6n+5；∵an=bn+bn+1，∴an﹣1=bn﹣1+bn，∴an﹣an﹣1=bn+1﹣bn﹣1．∴2d=6，∴d=3，第7页（共16页）∵a1=b1+b2，∴11=2b1+3，∴b1=4，∴bn=4+3（n﹣1）=3n+1；（Ⅱ）cn===6（n+1）•2n，∴Tn=6[2•2+3•22+…+（n+1）•2n]①，∴2Tn=6[2•22+3•23+…+n•2n+（n+1）•2n+1]②，①﹣②可得﹣Tn=6[2•2+22+23+…+2n﹣（n+1）•2n+1]=12+6×﹣6（n+1）•2n+1=（﹣6n）•2n+1=﹣3n•2n+2，∴Tn=3n•2n+2．【点评】本题考查数列的通项与求和，着重考查等差数列的通项与错位相减法的运用，考查分析与运算能力，属于中档题．5．（2016•南京三模）已知数列{an}，{bn}满足bn=an+1﹣an，其中n=1，2，3，…．（Ⅰ）若a1=1，bn=n，求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn+1bn﹣1=bn（n≥2），且b1=1，b2=2．（ⅰ）记cn=a6n﹣1（n≥1），求证：数列{cn}为等差数列；（ⅱ）若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．求a1应满足的条件．【分析】（Ⅰ）根据数列的基本性质以及题中已知条件便可求出数列{an}的通项公式；（Ⅱ）（ⅰ）先根据题中已知条件推导出bn+6=bn，然后求出cn+1﹣cn为定值，便可证明数列{cn}为等差数列；（ⅱ）数列{a6n+i}均为以7为公差的等差数列，然后分别讨论当时和当时，数列是否满足题中条件，便可求出a1应满足的条件．【解答】解：（Ⅰ）当n≥2时，有an=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（an﹣an﹣1）=a1+b1+b2+…+bn﹣1（2分）=．（3分）又因为a1=1也满足上式，所以数列{an}的通项为．（4分）（Ⅱ）由题设知：bn＞0，对任意的n∈N*有bn+2bn=bn+1，bn+1bn+3=bn+2得bn+3bn=1，于是又bn+3bn+6=1，故bn+6=bn（5分）∴b6n﹣5=b1=1，b6n﹣4=b2=2，b6n﹣3=b3=2，b6n﹣2=b4=1，（ⅰ）cn+1﹣cn=a6n+5﹣a6n﹣1=b6n﹣1+b6n+b6n+1+b6n+2+b6n+3+b6n+4=（n≥1），所以数列{cn}为等差数列．（7分）第8页（共16页）（ⅱ）设dn=a6n+i（n≥0），（其中i为常数且i∈{1，2，3，4，5，6}），所以dn+1﹣dn=a6n+6+i﹣a6n+i=b6n+i+b6n+i+1+b6n+i+2+b6n+i+3+b6n+i+4+b6n+i+5=7（n≥0）所以数列{a6n+i}均为以7为公差的等差数列．（9分）设，（其中n=6k+i（k≥0），i为{1，2，3，4，5，6}中的一个常数），当时，对任意的n=6k+i有=；（10分）由，i∈{1，2，3，4，5，6}知；此时重复出现无数次．当时，=①若，则对任意的k∈N有fk+1＜fk，所以数列为单调减数列；②若，则对任意的k∈N有fk+1＞fk，所以数列为单调增数列；（12分）（i=1，2，3，4，5，6）均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多各出现一次，即数列中任意一项的值最多出现六次．综上所述：当时，数列中必有某数重复出现无数次．当