函数的原函数与不定积分

§3.2函数的原函数与不定积分引例3.4引例3.5§3.2.1原函数与不定积分的概念定义3.2在区间I上，若()()Fxfx，则称()Fx是()fx在区间I上的一个原函数.推论若()Fx是()fx在区间I上的一个原函数，则()FxC（C为任意常数）都是()fx在区间I上的原函数.而且()fx的所有原函数可表示为()FxC.定义3.3将()fx在区间I上的所有原函数()FxC称为()fx的不定积分，记不定积分()fxdx=()FxC（C为任意常数）称之为()fx在该区间I内的不定积分，C称为积分常数，其他符号的名称与定积分中的名称一致.案例3.9案例3.10案例3.11通常，我们只须求得()fx的一个原函数()Fx，即可求得不定积分的值.§3.2.2基本积分公式(1)(kdxkxCk为常数）；(2)11(1)1nnxdxxCnn；(3)1lndxxCx；(4)lnxxaadxCa；(5)xxedxeC；§3.2.2基本积分公式(6)sincosxdxxC；(7)cossinxdxxC(8)21arcsinarccos1dxxCxCx；(9)21arctancot1dxxCarcxCx§3.2.3不定积分的运算法则法则3.1[()()]()()fxgxdxfxdxgxdx法则3.2()()(0,kfxdxkfxdxkk为常数）法则3.3(())()fxdxfx法则3.4()()fxdxfxC案例3.12案例3.13案例3.14案例3.15课堂练习1、已知某产品生产Q个单位时，边际收益为RM(Q)＝200-Q/100，Q=0.(1)求生产了50个单位时的总收益Rr；(2)如果已经生产了100个单位，求再生产100个单位时的Rr.参考答案课堂练习2、设某商品的需求函数为:Q＝(28-p)/5，其中Q为需求量，P为价格.总成本函数为:Cr(Q)＝Q2+4Q，问生产多少单位的产品时利润最大?参考答案参考答案1、(1)Rr=9987.5(2)Rr=198502、生产2个单位时利润最大，最大利润为24.返回引例3.4设某商品的边际收益函数为()105Rxx，试求收益函数.返回25(10)()1052xxCRxx25102RxxC(0)0R25()102Rxxx解根据题意，要求的是收益函数R.由微分学可知，因为所以收益函数为（C为任意常数）将代入上式可得C=0，所以引例3.5已知某产品产量的变化率是时间t的函数1()15qtt，设此产品在时间t时的产量为()Qt，且(0)0Q，求()Qt.引例3.5解根据题意，要求的是产量函数()Qt.由微分学可知，()()Qtqt又因为211()()1105ttCqtt所以产量函数21()10QtttC；返回又因为(0)0Q，现将(0)0Q代入，得0C,所以21()10Qttt.案例3.9设某商品的边际收益函数为()105Rxx，试求收益函数.返回解因为25(10)1052xxx所以25102xx是()105Rxx的一个原函数.又收益函数是边际收益函数的原函数.所以()(105)Rxxdx=25102xxC将(0)0R代入，得0C，所以有25()102Rxxx.案例3.10已知某产品产量对时间的变化率是时间t的函数1()15qtt，设此产品在时间t时的产量为()Qt，且(0)0Q，求()Qt.解要求的是产量函数()Qt.因为211()1105ttt，所以2110tt是1()15qtt的一个原函数.因为产量函数是产量变化率的原函数，所以1()(1)5Qttdt=2110ttC.返回现将(0)0Q代入()Qt，得0C,所以21()10Qttt.案例3.11设某工厂生产x单位产品的总成本C是x的函数，已知其成本的变化率是-0.01，当生产1000个单位产品时，其成本是490元，求总成本与产量的函数关系式.案例3.11解根据题意，要求的是总成本函数()Cx，因为()0.01Cx，又有(0.01)0.01x所以0.01x是()0.01Cx的一个原函数.因为总成本函数是边际成本的原函数，所以()0.010.01CxdxxC又因(1000)490C，代入上式可得C=500，综上得()0.010.01500Cxdxx返回案例3.12已知边际成本为25()7Cxx，固定成本为100，求总成本函数.案例3.12解根据题意，要求的是总成本函数()Cx，因为总成本函数是边际成本的原函数，所以11122225()(7)725725750CxdxxdxxdxxxdxxxC返回因为固定成本为100，即(0)100C，将(0)100C代入上式可得100C所以所求总成本函数为12()750100Cxxx案例3.13设某商品的需求量Q是价格P的函数，该商品的最大需求量为1000（即0p时的需求量），已知需求对价格的变化率（边际需求）为1()1000(ln3)()3pQp，求需求量与价格的函数关系.案例3.13解根据题意，要求的是需求函数()Qp，因为需求函数是边际需求的原函数，所以11()1000(ln3)()1000(ln3)()331()131000(ln3)1000()ln33ppppQpdpdpC由(0)1000Q，将(0)1000Q代入上式可得0C，所以需求函数为1()1000()3pQp.返回案例3.14某公司经营的边际收益函数为2()6022Rxxx，其中x为销售量，即需求量，求总收入函数。案例3.14解根据题意，要求的是总收入函数()Rx，因为总收入函数是边际收益的原函数，所以22223()(6022)60222=6022=603RxxxdxdxxdxxdxxxdxxdxxxxC又因为(0)0R，将(0)0R代入上式可得0C，所以总收入函数为232()603Rxxxx返回案例3.15某工厂生产某产品的边际成本函数为2()314100Cxxx固定成本(0)10000C.求生产x个产品的总成本函数.案例3.15返回解根据题意，要求的是总成本函数C(x)，因为总成本函数是边际成本的原函数，所以22()(314100)314100Cxxxdxxdxxdxdx2323141007100xdxxdxxxxxC又因为C(0)=10000，将C(0)=10000代入上式可得C=10000，所以总成本函数为32()710010000Cxxxx