函数的最大(小)值与导数

a1x2x3xo4x5x6xbxyyfx133.1图1.313,,,?abyfx如图观察区间上函数的图象你能找出它的极大值、极小值吗135246,,,,,,,.fxfxfxyfxfxfxfx观察图象我们发现是函数的极小值是极大值31.313,,,.yfxabfafx从图可以看出函数在区间上最大值是最小值是,?yfxab探究:你能找出函数在区间上的最大值、最小值吗引入a1x2x3xo4x5xbxyxfy143.1图xfyabxyo153.1图1.3141.315,,,,?,?abyfxab在图、中观察上的函数的图象它们在上有最大值、最小值吗如果有最大值和最小值分别是什么oxyaboxyaboxyaboxyaby=f(x)y=f(x)y=f(x)y=f(x)在闭区间上的连续函数必有最大值与最小值,在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值.新课讲解一般地，设y＝f(x)是定义在[a，b]上的函数，在[a，b]上y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.函数的极值是从局部考察的，函数的最大值与最小值是从整体考察的。最大值、最小值定理：1、极大、极小值与最大、最小值的区别是什么？函数极大值和极小值是比较极值点附近函数值得出的，函数最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得到的.2、函数的最大、最小值一定是极大、极小值吗？..函数的最大、最小值不一定是极大、极小值但与极大、极小值有一定的联系三.是利用导数.注意：求函数最值的一般方法：一.是利用函数性质.二.是利用不等式.新课讲解求y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值，可分为两步进行：⑵将y＝f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值．⑴求y＝f(x)在(a，b)内的极值；311.440,33.fxxx例求函数在上的最大值与最小值xfxxxf3,0,3,2,144,342.3由上一节例题得在上当时有极小值并且极小值为解:04,31,ff又由于4,0,34,.3fx因此函数在上的最大值是最小值是0,3(1.316).fx上述结论可从函数在上的图象图得到直观验证oxy2331443fxxx1.316图例题讲解432[-2,3]y=xx求函数在上的最大值与最小值.43322(2)462(23)''y=x-x=xx=xx解：21232(23)002x令解得:'yx-,x,x当变化时，的变化情况如下表'xy,y273216由上表可知，的最大值为，最小值为y-x-2(-2,0)0(0,3/2)3/2(3/2,3)3y’y32-0-0+↘↘↗01627-27练习由表可以知道，不是的极值，则它一定不是函数的最值，所以求最值时，不一定要列表，只要把使的点的函数值求出来与端点的函数值进行比较就可以了43'0yx-2xy0.例2.已知函数f(x)＝x2e-ax(a0),求函数在[1,2]上的最大值．222()(0),'()2()(+2:).解axaxaxaxfxxeafxxexaeeaxx22'()0,(+2)0,0令即得axfxeaxxxa22(),0,,,0,在上是减函数在上是增函数。fxaa201,()1,22当即时，在上是减函数，fxaamax()(1).afxfe212,122()1,,22,在上是增函数,当即时在上是减函数，fxaaaa2max224()()fxfeaa22,0()1,12当即时，在上是增函数，fxaa2max()(2)4.afxfe222()0144122()()综合所述，当时，的最大值为；当时，的最大值为；当时，的最大值为aaaeafxfafxeexa2311,0120,1.fxaxxxafxxfxx设函数其中讨论的单调性；当时，求取得最值时的变：的值式练习1.(2010年.北京)已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a(I)求f(x)的单调递减区间；(II)若f(x)在区间[-2，2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值．解:(I)f'(x)＝－3x2＋6x＋9．令f'(x)0，解得:x－1或x3，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞,－1),(3,＋∞)．练习1:(2010年.北京)已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a(II)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值．解：(II)因为f(－2)＝8＋12-18＋a=2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，所以f(2)f(－2)．因为在(－1,3)上f'(x)0,所以f(x)在[－1,2]上单调递增，又由于f(x)在[－2,－1]上单调递减，因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值。于是有22＋a＝20,解得a＝－2.故f(x)=－x3＋3x2＋9x－2。因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7．例题讲解[解析]函数f(x)的定义域为(0,2)，11'()2fxaxx(1)当a＝1时，f′(x)＝，22(2)xxx12练习2.(2010·江西理)设函数f(x)＝lnx＋ln(2－x)＋ax(a0)．(1)当a＝1时,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为,求a的值．22所以f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，2)；例题讲解(2)当x∈(0,1]时，f′(x)＝＋a0，22(2)xxx即f(x)在(0,1]上单调递增，12练习2.(2010.江西理)设函数f(x)＝lnx＋ln(2－x)＋ax(a0)．(1)当a＝1时,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为,求a的值．故f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)＝a,12因此a＝.2122221021xx.afxexa,xR,alnxxafxex.求的单调区例3设为实数，函数求证：当且间与；时极值1202/x//fxe,xRfxxlnxfxfx令得于是，当变化时，，的变化解：情况如下表：xf(x)-0+f’(x)-ln，2ln2ln,2极小值fx-ln,ln+fxx=lnfln=-lna2222212故的单调递减区间是，单调递增区间是，，在处取得极小值，极小值为2221221021xx.afxexa,xalnR,fax.xxex例3设为实数，函数求的单调区间与极值求证：当时；且22221221212212002102000100xxminxgxexax,xRgx=e-x+a,xRaln-gxgln-lnaxRgx,gxRaln-x.+gxgg=x.+gxexax.设于是‘由知当时，‘‘对都有‘在上单调递增当时，对，都有而，从而对，即解：3311100201233013xfxlnxyfxfxx,fxxxkfxkxx,k.已知函数求曲线在点，处的切线方程；求证：当时，；设实数使得对思考：恒成立，求的最大值练习1.函数y=x·e–x在x∈[0,4]的最小值为（）242.D4.C1.B0.AeeeA3612yxxa,a22.23[2]154已知函数在上的最大值为，则xyxyxy23.0,0,39,已知则的最大值为mxfxexmx.fx-+x,x,,fx-fxe,m.212121002111设函数证明：在，单调递减，在课后思考2015.新，单调递增；若对都有求的取课Ⅱ：值范围标课堂小结1.已知函数解析式,确定可导函数在区间[a,b]上最值的方法；2.已知函数最值,求参数的值作业：P326(1)、(4)