函数的极值与导数

•1.理解极值的有关概念．•2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．•3.会用导数求函数的极大值和极小值.重点难点重点:利用导数知识求函数的极值难点:对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤观察图象中，点a和点b处的函数值与它们附近点的函数值有什么的大小关系？aboxyxfy一极值的定义•点a叫做函数y=f(x)的极小值点，函数值f（a）称为函数y=f(x)的极小值，•点b叫做函数y=f(x)的极大值点，函数值f（b）称为函数y=f(x)的极大值。•极大值点极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值注：极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值。观察函数y=f(x)的图像探究1、图中有哪些极值点？极值点唯一吗？2、极大值一定比极小值大么？yxfydefoghxC函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值，并对同一个函数来说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。结论:极值点处导数值为0yxfydefoghxC探究3：函数y=f(x)在极值点的导数值为多少?在极值点两侧的导数符号有什么规律？演示探究:极值点两侧导数符号有何规律?f(x)0yxOx1abyf(x)极大值点两侧极小值点两侧f(x)0f(x)0f(x)0x2练习：下图是导函数的图象,试找出函数的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点.)(xfy)(xfyabxyx1Ox2x3x4x5x6)(xfy探究4:导数值为0的点一定是函数的极值点吗？归纳二函数在某点取得极值的必要条件和充分条件分别是什么？三．求函数极值的步骤如何列表，列表中的基本元素有哪些？区间分配依据是什么？各区间对应导数的符号如何判定图像例1求函数的极值.4431)(3xxxf•(1)确定函数的定义域，求导数•(2)求方程的根•(3)用方程的根，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.•(4)检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值。f(x)f(x)=0f(x)=0f(x)求解函数极值的一般步骤例2．已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1与x＝－23时都取得极值．(1)求a，b的值；(2)若f(－1)＝32，求f(x)的单调区间和极值．1．函数y＝1＋3x－x3有()A．极小值－2，极大值2B．极小值－2，极大值3C．极小值－1，极大值1D．极小值－1，极大值3检测提升1f()xxx求函的极值23．已知关于x的函数f(x)＝－13x3＋bx2＋cx＋bc，如果函数f(x)在x＝1处取极值－43，则b＝________，c＝________.4、已知f(x)=2x3-3x2+a的极大值为6，那么a等于()(A)6(B)0(C)5(D)1归纳小结1、极值的定义。2、判定极值的方法。３、求极值的步骤。思想方法总结：观察、转化、数形结合。直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是________．解析：令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，可求得f(x)的极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2，如图所示，－2a2时，恰有三个不同公共点．答案：(－2,2)