10章1课时空间几何体的结构和三视图

第十章立体几何（必修2选修2-1）2011高考导航考纲解读1.空间几何体(1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．(2)能画出简单空间图形的三视图，能识别三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．2011高考导航考纲解读(3)会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．(4)会画某些建筑物的三视图与直观图．(5)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆)．2011高考导航考纲解读2．点、直线、平面之间的位置关系(1)理解空间直线、平面位置关系的定义．了解可以作为推理依据的公理和定理．(2)能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．2011高考导航考纲解读(3)通过直观感知，操作确认，归纳出直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理和性质定理，并对性质定理加以证明．(4)以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2011高考导航考纲解读3.空间向量及其运算(1)了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．(2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．(3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．2011高考导航考纲解读4．空间向量的应用(1)理解直线的方向向量与平面的法向量．(2)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．(3)能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．(4)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的作用．2011高考导航命题探究1.纵观近几年高考试题可知，高考命题形式比较稳定，主要考查形式有：(1)以几何体为依托考查空间异面直线的判断，考查两条异面直线所成的角和距离，很可能将角和距离融合到同一道试题中，一个为已知，另一个为所求．2011高考导航命题探究(2)直线与平面的平行与垂直的判定、线面间距离的计算作为考查的重点，尤其以多面体为载体的线面位置关系的论证，更是年年考，并在难度上也始终以中等题为主．(3)判断并证明两个平面的垂直关系，通常是在几何体中出现．(4)高考中多以一小一大形式出现，分值为17分左右，试题难度较小．2011高考导航命题探究2．预计2011年高考命题主要以客观题的形式考查几何体的结构特征，几何体的三视图、直观图、表面积与体积，线面位置关系的判定，以特殊几何体为载体，考查异面直线所成的角、线面角和二面角的求法，题型在选择题、填空题、解答题中均有出现，且多以中档题出现．第1课时空间几何体的结构和三视图1．空间几何体的结构特征基础知识梳理多面体(1)棱柱的侧棱都，上下底面是的多边形．(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个的三角形．(3)棱台可由的平面截棱锥得到，其上下底面是多边形．平行且相等全等公共点平行于底面相似基础知识梳理旋转体(1)圆柱可以由绕其任一边旋转得到．(2)圆锥可以由直角三角形绕其旋转得到．(3)圆台可以由直角梯形绕或等腰梯形绕旋转得到，也可由的平面截圆锥得到．(4)球可以由半圆或圆绕旋转得到.矩形直角腰直角边上下底中点连线平行于底面直径2.三视图与直观图(1)三视图：空间几何体的三视图是用得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是的，三视图包括、、．(2)直观图：空间几何体的直观图常用画法来画，基本步骤是：基础知识梳理正投影完全相同正视图侧视图俯视图斜二测①画几何体的底面在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝，已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度，平行于y轴的线段，长度变为．基础知识梳理保持不变原来的一半45°(或135°)②画几何体的高在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度．基础知识梳理不变基础知识梳理空间几何体的三视图和直观图有什么区别？【思考·提示】(1)观察角度：三视图是从三个不同位置观察几何体而画出的图形；直观图是从某一点观察几何体而画出的图形．(2)效果：三视图是正投影下的平面图形，直观图是在平行投影下画出的图形．1．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是()A．圆柱B．圆锥C．球体D．圆柱，圆锥，球体的组合体答案：C三基能力强化2．(教材习题改编)已知某物体的三视图如图所示，那么这个物体的形状是()A．六棱柱B．四棱柱C．圆柱D．五棱柱三基能力强化三基能力强化答案：A三基能力强化3.关于如图所示几何体的正确说法为()①这是一个六面体②这是一个四棱台③这是一个四棱柱④这是一个四棱柱和三棱柱的组合体⑤这是一个被截去一个三棱柱的四棱柱A．①②③④⑤B．①③④⑤C．①④⑤D．①③④答案：A三基能力强化4．(2009年高考辽宁卷改编)如果把地球看成一个球体，则地球上北纬30°纬线长和赤道线长的比值为__________．三基能力强化答案：325.右图为水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为.三基能力强化答案：221．几种特殊的四棱柱平行六面体、长方体、正方体、直四棱柱等都是一些特殊的四棱柱，要特别注意．(1)直四棱柱不一定是直平行六面体．(2)正四棱柱不一定是正方体．(3)长方体不一定是正四棱柱．课堂互动讲练考点一空间几何体的结构特征2．几种常见的多面体的结构特征(1)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱．特别地，当底面是正多边形时，叫正棱柱(如正三棱柱，正四棱柱)．(2)正棱锥：指的是底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面中心的棱锥．特别地，各条棱均相等的正三棱锥又叫正四面体．(3)平行六面体：指的是底面为平行四边形的四棱柱．课堂互动讲练课堂互动讲练例1给出以下命题：①底面是矩形的四棱柱是长方体；②直角三角形绕着它的一边旋转一周形成的几何体叫做圆锥；③四棱锥的四个侧面可以都是直角三角形．其中说法正确的是__________．【思路点拨】根据几何体的结构特征，借助熟悉的几何体模型进行判定．课堂互动讲练【解析】命题①不是真命题，因为底面是矩形，若侧棱不垂直于底面，这时四棱柱是斜四棱柱；命题②不是真命题，直角三角形绕着它的一条直角边旋转一周形成的几何体叫做圆锥，如果绕着它的斜边旋转一周，形成的几何体则是两个具有共课堂互动讲练同底面的圆锥；命题③是真命题，如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，则可以得到四个侧面都是直角三角形．故填③.【答案】③课堂互动讲练【名师点评】熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变动模型中的线面位置关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定，是解决这类题目的基本思考方法．课堂互动讲练1．画几何体的三视图时，可以把垂直投射面的视线想象成平行光线，体会可见的轮廓线(包括被遮挡住，但可以经过想象透视到的光线)的投影就是要画出的视图，可见的轮廓线要画成实线，不可见的轮廓线要画成虚线．课堂互动讲练考点二几何体的三视图2．对于简单几何体的组合体的三视图，首先要确定正视、侧视、俯视的方向，其次要注意组合体由哪些几何体组成，弄清它们的生成方式，特别应注意它们的交线的位置．课堂互动讲练课堂互动讲练例2如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角后所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm)．在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图．课堂互动讲练【思路点拨】根据正视图和侧视图可确定出点G、F的位置，从而可以画出俯视图．课堂互动讲练【解】如图课堂互动讲练【思维总结】几何体的三视图的排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样，侧视图放在正视图右面，高度与正视图一样，宽度与俯视图一样，即“长对正，高平齐，宽相等”，注意虚、实线的区别．课堂互动讲练把本例中的几何体上下颠倒后如图，试画出它的三视图．课堂互动讲练互动探究解：三视图如图所示：课堂互动讲练画几何体的直观图一般采用斜二测画法，步骤清晰易掌握，其规则可以用“斜”(两坐标轴成45°或135°)和“二测”(平行于y轴的线段长度减半，平行于x轴和z轴的线段长度不变)来掌握，在高考中常借助于求平面图或直观图的面积来考查画法中角度和长度的变化．课堂互动讲练考点三几何体的直观图课堂互动讲练例3如图所示，ABCD是一平面图形的水平放置的斜二测直观图，在斜二测直观图中，ABCD是一直角梯形，AB∥CD，AD⊥CD，且BC与y轴平行，若AB=6，DC=4，AD=2，则这个平面图形的实际面积是.【思路点拨】由∠BCx=45°，先计算BC的长度．课堂互动讲练变，仍为6和4，高CB为42，故面积为12(6＋4)×42＝202.【答案】202【解析】由斜二测直观图画法规则知该平面图形是梯形，且AB与CD的长度不【误区点评】梯形的高容易误认为AD，而实际是BC.课堂互动讲练解决这类问题的关键是准确认识几何体的结构特征，特别对组合体问题，要发挥自己的空间想象能力，把立体图和截面图对照分析，有机结合，找出几何体中的数量关系，为了增加图形的直观性，解题时常常画一个截面起衬托作用．课堂互动讲练考点四截面中的计算问题课堂互动讲练例4(解题示范)(本题满分12分)棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图所示，求图中三角形(正四面体的截面)的面积．【思路点拨】截面过正四面体的两顶点及球心，则必过对边的中点．课堂互动讲练【解】如图，△ABE为题中三角形，课堂互动讲练课堂互动讲练由已知得AB＝2，BE＝2×32＝3，4分BF＝23BE＝233，∴AF＝AB2－BF2＝4－43＝83，8分∴△ABE的面积为S＝12×BE×AF＝12×3×83＝2.12分【名师点评】在解答过程中易出现计算错误，导致错误的原因是认为截面图是一个圆内接三角形．课堂互动讲练(本题满分8分)圆台的一个底面的周长是另一个底面的周长的3倍，轴截面的面积等于392cm2，母线与轴的夹角为45°，求这个圆台的高、母线长、底面半径．课堂互动讲练高考检阅解：如图，画出圆台的轴截面，设O′、O分别是上、下底面的中心，作AE⊥DC，则有∠DAE＝45°，由于下底面周长是上底面周长的3倍，所以下底面半径是上底面半径的3倍．若设AE＝x，则DE＝x，AB＝x，课堂互动讲练CD＝3x，AD＝2x，4分课堂互动讲练于是轴截面的面积为：12·x·(3x＋x)＝392，解得x＝14，则圆台的高等于14cm，母线长为142cm，两底面半径分别为7cm和21cm.8分1．几种常见的多面体规律方法总结2．要注意物体的三视图和直观图的关系，注意两者之间的转化，会由物体的三视图作出物体的直观图，同样也应会由物体的直观图画出物体的三视图．(1)由三视图想象几何体时也要根据“长对正、高平齐、宽相等”的基本特征，想象视图中每部分对应的实物部分的形象，应特别注意几何体中与投影面垂直或平行的线及面的位置．规律方法总结(2)对于简单几何体的组合体，首先要分清它是由哪些简单几何体组成的，然后再画出它的三视图．(3)关于空间图形直观图的画法，在中学，主要学习画柱、锥、台、球等几种特殊的几何体的直观图方法．要掌握这些画法的基础，必须充分地理解和掌握在水平面上画平面图形的直观图的方法或规则．规律方法总结随堂即时巩固点击进入课时活页训练点击进入