二次函数复习重点以及根的分布问题

初三数学培优卷：二次函数考点分析★★★二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点．★★二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）一般式：y=ax2+bx+c，三个点顶点式：y=a（x－h）2+k，顶点坐标对称轴顶点坐标（－2ba，244acba）．顶点坐标（h，k）★★★abc作用分析│a│的大小决定了开口的宽窄，│a│越大，开口越小，│a│越小，开口越大，a，b的符号共同决定了对称轴的位置，当b=0时，对称轴x=0，即对称轴为y轴，当a，b同号时，对称轴x=－2ba0，即对称轴在y轴左侧，当a，b异号时，对称轴x=－2ba0，即对称轴在y轴右侧，（左同右异y轴为0）c的符号决定了抛物线与y轴交点的位置，c=0时，抛物线经过原点，c0时，与y轴交于正半轴；c0时，与y轴交于负半轴，以上a，b，c的符号与图像的位置是共同作用的，也可以互相推出．交点式：y=a(x-x1)(x-x2)，（有交点的情况）与x轴的两个交点坐标x1，x2对称轴为221xxh一元二次方程02cbxax根的分布情况设方程200axbxca的不等两根为12,xx且12xx，相应的二次函数为20fxaxbxc，方程的根即为二次函数图象与x轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0120,0xx两个正根即两根都大于0120,0xx一正根一负根即一个根小于0，一个大于0120xx大致图象（0a）得出的结论00200baf00200baf00f大致图象（0a）得出的结论00200baf00200baf00f综合结论（不讨论a）00200baaf00200baaf00fa表二：（两根与k的大小比较）分布情况两根都小于k即kxkx21,两根都大于k即kxkx21,一个根小于k，一个大于k即21xkx大致图象（0a）得出的结论020bkafk020bkafk0kf大致图象（0a）得出的结论020bkafk020bkafk0kf综合结论（不讨论a）020bkaafk020bkaafk0kfakkk表三：（根在区间上的分布）分布情况两根都在nm,内两根有且仅有一根在nm,内（图象有两种情况，只画了一种）一根在nm,内，另一根在qp,内，qpnm大致图象（0a）得出的结论0002fmfnbmna0nfmf0000fmfnfpfq或00fmfnfpfq大致图象（0a）得出的结论0002fmfnbmna0nfmf0000fmfnfpfq或00fmfnfpfq综合结论（不讨论a）——————0nfmf00qfpfnfmf根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间nm,外，即在区间两侧12,xmxn，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a时，00fmfn；（2）0a时，00fmfn对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：（1）两根有且仅有一根在nm,内有以下特殊情况：1若0fm或0fn，则此时0fmfn不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m或n，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间nm,内，从而可以求出参数的值。如方程2220mxmx在区间1,3上有一根，因为10f，所以22212mxmxxmx，另一根为2m，由213m得223m即为所求；2方程有且只有一根，且这个根在区间nm,内，即0，此时由0可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程24260xmxm有且一根在区间3,0内，求m的取值范围。分析：①由300ff即141530mm得出15314m；②由0即2164260mm得出1m或32m，当1m时，根23,0x，即1m满足题意；当32m时，根33,0x，故32m不满足题意；综上分析，得出15314m或1m例1、已知二次方程221210mxmxm有一正根和一负根，求实数m的取值范围。例2、已知方程2210xmxm有两个不等正实根，求实数m的取值范围。例3、已知二次函数222433ymxmxm与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围。例4、已知二次方程22340mxmx只有一个正根且这个根小于1，求实数m的取值范围。1.解：由2100mf即2110mm，从而得112m即为所求的范围。2解：由0102200mf218010mmmm3223220mmm或0322m或322m即为所求的范围。3解：由210mf即2210mm122m即为所求的范围。4解：由题意有方程在区间0,1上只有一个正根，则010ff4310m13m即为所求范围。（注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在0,1内，由0计算检验，均不复合题意，计算量稍大）