高等数学下试题及答案

高等数学（II）试题（A）一填空（每小题3分共15分）1曲面221zxy在点(2,1,4)的切平面的方程为___________。2设隐函数(,)zzxy是由方程2zyexze确定的，则_________0,0zxyx。3设是平面1xyz在第一卦限部分，则()__________xyzdS。4设()fx周期为2，且,0(),0xexfxxx，()sx是()fx的Fourier级数的和函数，则(0)s______________。5设幂级数1nnnax在2x处条件收敛，则幂级数13nnnnax的收敛半径______R。二选择（每小题2分共10分）1设D是平面区域，则下面说法正确的是（）（A）若(,)fxy在D上可微，则(,)fxy的一阶偏导在D上一定连续；（B）若(,)fxy在D上一阶偏导存在，则(,)fxy在D上一定可微；（C）若(,)fxy在D上一阶偏导存在，则(,)fxy在D上一定连续；（D）若在D上xyf与yxf均连续，则(,)(,)xyyxfxyfxy。2下列级数中绝对收敛的级数是（）（A）1(1)2nnnn；（B）11ln(1)nn;（C）11(1)sinnnn;（D）1(1)1nnnn。3直线过点(0,0,3)且与直线xyz垂直相交，则交点的坐标是（）（A）(2,2,1)；（B）(1,1,1)；（C）(1,1,2)；（D）(0,0,0)。4方程22480yzx表示。(A)单叶双曲面；（B）双叶双曲面；（C）锥面；（D）旋转抛物面。5一阶微分方程233()0xydxxydy的类型是（）（A）全微分方程；（B）可分离变量方程；（C）齐次方程；（D）一阶线性微分方程。三（6分）设()ufr是具有二阶连续导数的函数，222rxyz，求22ux。四（7分）计算22DxIdy，其中D是直线2,xyx及双曲线1xy所围区域。五（7分）修建一个容积为V的长方体地下仓库，已知仓顶和墙壁每单位面积造价分别是地面每单位面积造价的3倍和2倍，问如何设计仓库的长、宽和高，可使它的造价最小。六（7分）求微分方程2'(3)xyyex的通解。七（7分）计算Izdv，其中是由曲面224zxy及223xyz所围的空间区域。八（7分）求22()()Lxydxxydyxy，其中L是曲线221xy，取逆时针方向。九（7分）计算曲面积分222(coscoscos)yxzdS，其中是锥面22zxy介于0,1zz之间的部分，而cos,cos,cos是在(,,)xyz处的外法线向量的方向余弦。十（7分）已知如下命题成立：设{}na是单调减少的正数列，级数1nna收敛当且仅当212kkka收敛。1）请用此命题证明11pnn当01p时发散，而当1p时收敛；2）证明所给的命题。答案一填空（每小题3分共15分）14260xyz；20；332；412；56。二选择（每小题2分共10分）DABDC三（6分）解'()uxfrxr……………………………42222321()'()()uxxfrfrxrrr………………………….2四（7分）解1:12,Dxyxx。………………2221211xxIxdxdyy………………………………………22211()xxdxx……………………………………………294……………………………………………………………1五（7分）解设地面每个单位造价为1，则墙壁和仓顶分别为2，3。设长宽高分别为,,xyz。则现在的要求是(,,)444fxyzxyxzyz在xyzv约束下的极值。……………………………………………………………1考虑(,,)()Fxyzxyxzyzxyzv，……………………..1则条件极值点满足一下方程0000xyzFyzyzFxzxzFxyxyxyzv…………………………………………………..3由上述方程组可解得333(,,)(,,)xyzvvv根据实际情况可知，此时造价最小。………………………………………2六（7分）解特征方程为212200,2.rrrr对应的齐次方程的通解为212xYcce…………………………..2()(3),1xfxex不是特征根，于是可设特解为*()xyeaxb…………………………….2代入到原方程化简可3axbx于是*(3)xyex…………………………………………2所求的通解为212(3)xxYcceex……………1七（7分）解由224zxy及223xyz，得223xy，…………………………………………………..2于是22234003Izdvddzdz…………….3134……………………………………………………2八（7分）解原式＝()()Lxydxxydy…………………..3设D的边界是L，根据格林公式，原式＝(11)0Ddxdy…………………………………………….4九（7分）解原式＝222ydydzxdzdxzdxdy，取外侧，………1设2211,1zxy，取上侧，则12222ydydzxdzdxzdxdyzdv…………………………2＝2110022ddzdz………………………………………..2而11222ydydzxdzdxzdxdydxdy……………………1于是原式＝22。………………………………………….1十（7分）1设1npan，则122(2)kkpka，于是由已知11pnn的敛散性与等比数列11(2)pkk敛散性一致。…………………………………………1因此当01p时原级数发散，而当1p时收敛；……………………12令1221kkkiiba，当设{}na是单调减少的正数列时，有1112222kkkkkaba……………………………………….3由比较判别法1kkb收敛当且仅当212kkka收敛，即1nna收敛当且仅当212kkka收敛。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2。