高等数学讲义---一元函数积分学

49第三章一元函数积分学§3.1不定积分（甲）内容要点一、基本概念与性质1、原函数与不定积分的概念设函数f(x)和F(x)在区间I上有定义，若Fx=f(x)在区间I上成立。则称F(x)为f(x)在区间I的原函数，f(x)在区间I中的全体原函数成为f(x)在区间I的不定积分，记为f(x)dx。其中称为积分号，x称为积分变量，f(x)称为被积分函数，f(x)dx称为被积表达式。2、不定积分的性质设f(x)dx＝F(x)＋C,其中F(x)为f(x)的一个原函数，C为任意常数。则(1)dxxF＝F(x)＋C或)x(dF＝F(x)＋C(2)f(x)dx=f(x)或df(x)dx＝f(x)dx(3)dx)x(kf＝kdx)x(f(4)dx)x(g)x(f=dx)x(gdx)x(f3、原函数的存在性设f(x)在区间I上连续，则f(x)在区间I上原函数一定存在，但初等函数的原函数不一定是初等函数，例如dx)sin(x2，dx)x(cos2，dxxsinx，dxxcosx，lnxdx，dxe2x－等被积函数有原函数，但不能用初等函数表示，故这些不定积分均称为积不出来。二、基本积分表（略）三、换元积分法和分部积分法1、第一换元积分法（凑微分法）设f(u)duF(u)+C,x又可导，fxxdxfxdx则＝xu＝令duu)(f=F(u)+C=F[x]+C这里要求读者对常用的微分公式要“倒背如流”，也就是非常熟练地凑出微分。2、第二换元积分法50设x＝t可导，且t0，若CG＋＝tdtttf，则txdxxf＝令CxGCG1tdtttf＝）＋（＝其中t＝x1为x＝t的反函数。3、分部积分法设u(x)，v(x)均有连续的导数，则)(dv)(uxx＝u(x)v(x)－)(du)x(xv或dx)x(v)x(u＝u(x)v(x)－dxx)(v)x(u（1）Pn(x)eax，Pn(x)sinax，Pn(x)cosax情形，Pn(x)为n次多项式，a为常数。要进行n次分部积分法，每次均取eax，sinax，cosax为xv；多项式部分为u（x）。（2）Pn(x)lnx，Pn(x)arcsinx，Pn(x)arctanx情形，Pn(x)为n次多项式取Pn(x)为xv，而lnx，arcsinx，arctanx为u（x），用分部积分法一次，被积函数的形式发生变化，再考虑其它方法。（乙）典型例题例1、求下列不定积分（测试题，限15分钟）（1）x12exdx（2）32xlnxlnx1dx＋（3）22ln(xx15dxx1＋＋)＋＋（4）dxlnxxlnx12＋－（5）dxcosxe1cosxsinxxcossinx2＋－（6）dxxsinbxcosax2sin2222＋（常数22ab）例2、求下列不定积分（1）dx4932xxxx－（2）22bxaxdx＋＋（ab）（3）2222bxaxdx＋＋（ba）（4）dx1x1x42＋＋解：（1）dx4932xxxx－＝dx12323x2x－＝12323d23ln1x2x－＝C＋＋－－123123ln2ln3ln21xx=C＋＋－－xxxx2323ln2ln3ln2151（2）22bxaxdx＋＋＝21badxbxax211＝21badxbxaxbxax21122＝21badxbxaxbabxax112113＝－Cbxaxbabxaxbaaxln2b232＋（3）2222bxaxdx＋＋=dxbxaxab222222111=Cbxbaxaab)arctan1arctan1(122（4）dx1x1x42＋＋=222111xdxxx=2112xxxxd＝Cxx21arctan21例3、求3xxdx解：3xxdx6tx＝令235ttdtt6＋＝6dt1tt3＝6dttt1113＝6dtttt1112＝23tCttt1ln6632=2x-3Cxxx1ln66663例4、求dxxx2241解一：dxxx2241＝2222tan112224tancoscoscosxtdtdtttdxtt＝dttt2sin4cos＝－C＋sint41=-C＋＋x4x42(这里已设x0)解二：倒代换52dxxx2241＝dxx2341x1dxx31＝－2121xd原式＝－811441122xdx＝Cx14412=Cx4x42(x0)例5、求2(arcsin)xdx解一：dxx2arcsin）（＝x(arcsinx)2—2arcsinxdx=x2arcsinx—2dxxxx21arcsin=x2arcsinx+221arcsinxxd=x2arcsinx+2xdxxxarcsin1arcsin122=x2arcsinx+2dxxxarcsin12=x2arcsinx+221xarcsinx－2x+C解二：令arcsinx＝t，则x＝sint，dxx2arcsin）（＝tsintdt2sinttdsintt22－＝＝ttdtcos2sint2＝costdt2cos2sin2－tttt＝tsint2＋2tcost－2sint+C=x2arcsinx+2C＋－－x2arcsinxx12例6、设f（x）的一个原函数F（x）＝1xxln22＋＋，求I＝dxxfx解：I＝xxdf＝xf（x）－dxx)(f＝xCxFxF=1xxln1xx222＋＋＋－1xxln22＋＋＋C例7、设xfx＝F，当x0时f(x)F(x)＝2xx12xe＋，又F(0)＝1，F(x)0，求f（x）（x）053解：2dxxxf）（）（F＝2）（）（xdxFF＝12xCF＋而dxx1xe2x＋＝dxx1e11x2x＋－＋＝dxx1ex1de2xx＋－＋=xx1e+dxxex21－dxxex21＝x＋1ex＋2CxF2＝xex1＋C，01F，C=0，又0xF，因此xexexFxx112则f（x）＝xF＝22232111x221121xxxeexexxx＋例8、设x2sinf＝xxsin，求I＝dxxfxx1解一：令u=xsin2，则sinx＝u，x＝arcsinu，f(u)=uuarcsin则I＝dxxx1arcsin＝－xdxx11arcsin＝－2xdx1arcsin＝－2xarcsinx1－＋2xdx11x1－－＝－2xarcsinx1－＋x2＋C解二：令x＝tsin2，则costsintx1x＝－，dx＝2costsintdt，则I＝tdcost2sintcostdt2sinttcostsint＝－＝－2tcost＋2costdt＝－2tcost＋2sint＋C＝－2xarcsinx1－＋2x＋C54§3.2定积分和广义积分的概念与计算方法（甲）内容要点一、定积分的概念与性质1、定积分的定义及其几何意义2、定积分的性质中值定理，设f（x）在b,a上连续，则存在ba,使得)()()(abfdxxfba定义：我们称badxxfab)(1为f（x）在ba,上的积分平均值。二、基本定理1、变上限积分的函数定理：设f（x）在b,a上连续，则x)()x(adttfF＝在b,a上可导，且)()(xfxF推广形式，设)x(F＝xxdttf21)(，xx21,可导，f(x)连续，则)(xF＝2211fxxfxx2、牛顿－莱布尼兹公式设f（x）在b,a上可积，)x(F为f（x）在b,a上任意一个原函数，则有badxxf)(＝)x(Fba＝)a()b(FF－三、定积分的换元积分法和分部积分法1、badxxf)(＝dtttf（x＝t在，上有连续导数，单调，ba＝，＝）2、bababdxxuxvxvxudxxvxu)()()()(a四、广义积分定积分badxxf)(的积分区间b,a是有限区间，又f（x）在b,a上是有界的，如果积分区间推广到无穷区间或f（x）推广到无界函数就是两种不同类型的广义积分。1、无穷区间上的广义积分定义：baabdxxflimdxxf）（＝）（＋＋若极限存在，则称广义积分＋）（adxxf是收敛的，它的值就是极限值；若极限不存在，则称广义积分＋）（adxxf是发散的。而发散的广义积分没有值的概念。55bdxxf－）（＝baadxxflim）（－同样有收敛和发散的概念，收敛的广义积分有值的概念。＋－）（dxxf＝cdxxf－）（＋＋）（cdxxf＝caadxxflim）（－＋bcbdxxflim）（＋2、无界函数的广义积分（瑕积分）(1)设f（x）在ba，内连续，且）＝（－xflimbx，则称b为f（x）的瑕点。定义－）（＝）（＋baba0dxxflimdxxf若极限存在，则称广义积分badxxf）（收敛，且它的值就是极限值，若极限不存在，则称广义积分badxxf）（发散。发散的广义积分没有值的概念。(2)设f（x）在ba，内连续，且）＝（＋xflimax，则称a为f（x）的瑕点定义badxxf）（＝ba0dxxflim＋）（＋若极限存在，则称广义积分badxxf）（收敛，且它的值就是极限值，若极限不存在，则称广义积分badxxf）（发散，它没有值。（3）设f（x）在ca，和bc，皆连续，且）＝（xflimcx，则称C为f（x）的瑕点定义badxxf）（＝cadxxf）（＋bcdxxf）（＝11ca0dxxflim－）（＋＋bc022dxxflim＋）（＋（乙）典型例题一、一般方法例1、计算下列定积分（1）e1elnxdx＝11e-lnxdx＋e1lnxdx＝1e1xxlnx＋－＋（xlnx－x）e1＝2e11－（2）32-2min1,xdx＝12dx－－＋112dxx－＋31dx＝311（3）222maxxxdx－，＝022dxx－＋10xdx＋221xdx＝211（4）201sin2xdx－＝220sinxcosxdx－＝20sinxcosxdx－56＝20sinxcosxdx－＝2404dxcosxsinxdxsinxcosx－＋－＝24二、用特殊方法计算定积分例1、计算下列定积分（1）I＝20dxcosxfsinxfsinxf）（）＋（）（（f为连续函数，f（sinx）＋f（cosx）0）（2）I＝40dxtanx1ln＋（3）I＝20atanx1dx＋（a常数）（1tanxa－）（4）I＝42ln9xdx