2011高考二轮复习文科数学专题六：第二讲《椭圆、双曲线、抛物线》

专题六解析几何第二讲椭圆、双曲线、抛物线考点整合椭圆的定义与几何性质考纲点击1．了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用2．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)基础梳理一、椭圆1．椭圆的定义平面内的动点的轨迹是椭圆必须满足的两个条件．(1)到两个定点F1、F2的距离的________等于常数2a.(2)2a________|F1F2|.2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程图形y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)性质范围________≤x≤________________≤y≤______________≤x≤____________≤y≤______对称性对称轴：________对称中心：________顶点A1______，A2______B1______，B2______A1______，A2______B1______，B2______轴长长轴A1A2的长为________短轴B1B2的长为________焦距|F1F2|＝________离心率e＝∈________a，b，c的关系c2＝________ca答案：1.(1)和(2)＞2．－aa－bb－bb－aax轴，y轴原点(－a,0)(a,0)(0，－b)(0，b)(0，－a)(0，a)(－b,0)(b,0)2a2b(0,1)a2－b22a2－b2整合训练1．(1)(2009年佛山模拟)平面内到点A(0,1)、B(1,0)距离之和为2的点的轨迹为()A．椭圆B．一条射线C．两条射线D．一条线段(2)(2010年广东卷)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是()A.45B.35C.25D.15答案：(1)A(2)B考纲点击双曲线1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质．2．理解数形结合的思想3．了解圆锥曲线的简单应用基础梳理二、双曲线1．双曲线的定义平面内动点的轨迹是双曲线必须满足两个条件：(1)到两个定点F1，F2的距离的________等于常数2a.(2)2a________|F1F2|.2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程(a＞0，b＞0)(a＞0，b＞0)图形y2a2－x2b2＝1x2a2－y2b2＝1性质范围|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R对称性对称轴：________对称中心：________对称轴：________对称中心：________顶点顶点坐标A1________，A2________顶点坐标：A1________，A2________渐近线离心率e∈________，其中c＝________实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝________；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝________；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长.a、b、c的关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)xa±yb＝0xb±ya＝0e＝ca，3.等轴双曲线________等长的双曲线叫等轴双曲线，其标准方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，离心率e＝________，渐近线方程为________．答案：1.(1)差的绝对值(2)＜2．x轴，y轴原点x轴，y轴原点(－a,0)(a,0)(0，－a)(0，a)(1，＋∞)2a2b3．实轴和虚轴y＝±xa2＋b22整合训练2．(1)(2009年辽宁卷)已知F是双曲线的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．(2)(2010年浙江卷)设F1、F2分别为双曲线(a＞0，b＞0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为()A．3x±4y＝0B．3x±5y＝0C．4x＋3y＝0D．5x±4y＝0x24－y212＝1x2a2－y2b2＝1答案：(1)9(2)C考纲点击抛物线1．了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质．2．理解数形结合的思想．3．了解圆锥曲线的简单应用．基础梳理三、抛物线1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离________的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的________．2．抛物线的标准方程和几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)图形性质范围x≥0x≤0y≥0y≤0准线方程x＝_______x＝_______y＝________y＝_______焦点________________________________对称轴关于________对称关于________对称顶点(0,0)离心率e＝________答案：1.相等焦点准线x轴y轴12．－p2p2－p2p2p2，0－p2，00，p20，－p23．(1)(2009年湖南卷文)抛物线y2＝－8x的焦点坐标是()A．(2,0)B．(－2,0)C．(4,0)D．(－4,0)(2)(2010年湖南卷)设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()A．4B．6C．8D．12答案：(1)B(2)B整合训练曲线的方程与方程的曲线四、曲线的方程与方程的曲线若二元方程f(x，y)＝0是曲线C的方程，或曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线，则必须满足以下两个条件：(1)曲线上点的坐标都是________(纯粹性)．(2)以这个方程的解为坐标的点都是________(完备性)．答案：(1)二元方程f(x，y)＝0的解(2)曲线C上的点高分突破圆锥曲线的定义、几何性质与标准方程问题(2010年北京卷)已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是离心率是，直线y＝t与椭圆C交与不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆P，圆心为P.(1)求椭圆C的方程；(2)若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；(3)设Q(x，y)是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值．(－2，0)，(2，0)，63解析：(1)因为ca＝63，且c＝2，所以a＝3，b＝a2－c2＝1，所以椭圆C的方程为x23＋y2＝1.(2)由题意知P(0，t)(－1＜t＜1)由y＝tx23＋y2＝1得x＝±31－t2.所以圆P的半径为31－t2.当圆P与x轴相切时，|t|＝31－t2.解得t＝±32，所以点P的坐标是0，±32.(3)由(2)知，圆P的方程为x2＋(y－t)2＝3(1－t2)．因为点Q(x，y)在圆P上．所以y＝t±31－t2－x2≤t＋31－t2.设t＝cosθ，θ∈(0，π)，则t＋31－t2＝cosθ＋3sinθ＝2sinθ＋π6.当θ＝π3，即t＝12，且x＝0时，y取最大值2.跟踪训练1．设m∈R，在平面直角坐标系中，已知向量a＝(mx，y＋1)，向量b＝(x，y－1)，a⊥b，动点M(x，y)的轨迹为E.(1)求轨迹E的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；(2)已知m＝.证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A，B，且(O为坐标原点)，并求出该圆的方程；(3)已知m＝.设直线l与圆C：x2＋y2＝R2(1＜R＜2)相切于A1，且l与轨迹E只有一个公共点B1，当R为何值时，|A1B1|取得最大值？并求最大值．14OA→⊥OB→14解析：(1)因为a⊥b，a＝(mx，y＋1)，b＝(x，y－1)，所以a·b＝mx2＋y2－1＝0，即mx2＋y2＝1.当m＝0时，方程表示两直线，方程为y＝±1；当m＝1时，方程表示的是圆；当m＞0且m≠1时，方程表示的是椭圆；当m＜0时，方程表示的是双曲线．(2)当m＝时，轨迹E的方程为设圆心在原点的圆的一条切线为y＝kx＋t，解方程组得x2＋4(kx＋t)2＝4，即(1＋4k2)x2＋8ktx＋4t2－4＝0，要使切线与轨迹E恒有两个交点A，B，则使Δ＝64k2t2－16(1＋4k2)(t2－1)＝16(4k2－t2＋1)＞0，即4k2－t2＋1＞0，即t2＜4k2＋1，且，14y＝kx＋tx24＋y2＝1x24＋y2＝1，x1＋x2＝－8kt1＋4k2x1x2＝4t2－41＋4k2y1y2＝(kx1＋t)(kx2＋t)＝k2x1x2＋kt(x1＋x2)＋t2所以5t2－4k2－4＝0，即5t2＝4k2＋4且t2＜4k2＋1，即4k2＋4＜20k2＋5恒成立．又因为直线y＝kx＋t为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为r＝，|t|1＋k2r2＝t21＋k2＝451＋k21＋k2＝45，所求的圆为x2＋y2＝45.＝k24t2－41＋4k2－8k2t21＋4k2＋t2＝t2－4k21＋4k2，要使OA→⊥OB→，需使x1x2＋y1y2＝0，即4t2－41＋4k2＋t2－4k21＋4k2＝5t2－4k2－41＋4k2＝0，当切线的斜率不存在时，切线为x＝±255，与x24＋y2＝1交于点255，±255或－255，±255也满足OA→⊥OB→.综上，存在圆心在原点的圆x2＋y2＝45，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且(3)当m＝时，轨迹E的方程为＋y2＝1，设直线l的方程为y＝kx＋t，因为直线l与圆C：x2＋y2＝R2(1＜R＜2)相切于A1，由(2)知R＝即t2＝R2(1＋k2)①因为l与轨迹E只有一个公共点B1，由(2)知得x2＋4(kx＋t)2＝4，OA→⊥OB→.x24|t|1＋k2，y＝kx＋tx24＋y2＝1即(1＋4k2)x2＋8ktx＋4t2－4＝0有唯一解则Δ＝64k2t2－16(1＋4k2)(t2－1)＝16(4k2－t2＋1)＝0，即4k2－t2＋1＝0，②由①②得此时A，B重合为B1(x1，y1)点，t2＝3R24－R2k2＝R2－14－R2，由x1＋x2＝－8kt1＋4k2x1x2＝4t2－41＋4k2中x1＝x2，所以，x21＝4t2－41＋4k2＝16R2－163R2，点B1(x1，y1)在椭圆上，所以y21＝1－14x21＝4－R23R2，所以|OB1|2＝x21＋y21＝5－4R2，在直角三角形OA1B1中，|A1B1|2＝|OB1|2－|OA1|2＝5－4R2－R2＝5－4R2＋R2，因为4R2＋R2≥4当且仅当R＝2∈(1,2)时取等号，所以|A1B1|2≤5－4＝1，即当R＝2∈(1,2)时|A1B1|取得最大值，最大值为1.最值和定值问题已知，椭圆C过点A两个焦点为(－1,0)(1,0)．(1)求椭圆C的方程；(2)E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．1，32，解析：(1)由题意，c＝1，可设椭圆方程为x21＋b2＋y2b2＝1.因为A在椭圆上，所以11＋b2＋94b2＝1，解得b2＝3，b2＝－34(舍去)．所以椭圆方程为x24＋y23＝1.(2)设直线AE方程：y＝k(x－1)＋32，代入x24＋y23＝1得(3＋4k2)x2＋4k(3－2k)x＋432－k2－12＝0设E(xE，yE)，F(xF，yF)．因为点A1，32在椭圆上，所以1·xE＝xE＝432－k2－123＋4k2，yE＝kxE＋32－k.又直线AF的斜率与AE的斜率与为相反数，在上式中以－k代k，可得xF＝432＋k2－123＋4k2，yF＝－kxF＋32＋k.所以直线EF的斜率kEF＝yF－yExF－xE＝－kxF＋xE＋2kxF－xE＝12.即直线EF的斜率为定值，其值为12.跟踪训练2．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且(λ＞0)．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.(1)证明为定值；(