高等数学上(同济版)第一章第四节课件

1二、无穷大三、无穷小与无穷大的关系一、无穷小第四节无穷小与无穷大第一章函数与极限2当一、无穷小例如:函数当时为无穷小;函数时为无穷小;函数当)x(或定义1.若时,函数则称函数为时的无穷小.时为无穷小.)x(或3说明:除0以外任何很小的常数都不是无穷小!因为当时,显然C只能是0!CC时,函数(或)x则称函数为定义1.若(或)x则时的无穷小.4注意：1.无穷小就是(自变量在某个变化过程中极限为零的)函数.2.函数是否为无穷小依赖于自变量的变化过程.3.无穷小不是非常小的数,常数零是唯一可以作为无穷小的数,并且不依赖于自变量的变化过程.4.几何上,无穷小的函数,其图像随着自变量的变化过程会无限地接近于x轴或与x轴相交.5其中为0xx时的无穷小量.定理1.(无穷小与函数极限的关系)Axfxx)(lim0Axf)(,证:Axfxx)(lim0,0,0当00xx时,有Axf)(Axf)(0lim0xx对自变量的其它变化过程类似可证.6二、无穷大定义2.若任给M0,一切满足不等式的x,总有则称函数当时为无穷大,使对若在定义中将①式改为①则记作0()(lim())xxxfx()xX)(x))(lim(xfx(正数X),记作总存在(()),fxM7注意:1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.2.函数为无穷大,必定无界.但反之不真!例如,函数当但所以时,不是无穷大!8例.证明证:任给正数M,要使即只要取,1M则对满足的一切x,有所以若则直线0xx为曲线的铅直渐近线.说明:渐近线9三、无穷小与无穷大的关系若为无穷大,)(1xf为无穷小;若为无穷小,且,0)(xf则)(1xf为无穷大.则据此定理,关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.定理2.在自变量的同一变化过程中,说明:10内容小结1.无穷小与无穷大的定义2.无穷小与函数极限的关系Th13.无穷小与无穷大的关系Th2思考与练习P42题1,*3P42题*3提示:作业P42*2(2);4(1);8