正弦型函数图像复习公开课

基础诊断考点突破课堂总结第4讲函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用基础诊断考点突破课堂总结最新考纲1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响；2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.基础诊断考点突破课堂总结1.“五点”作图法：五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点y0xπ2π1-13π4πx02sinx010-10223基础诊断考点突破课堂总结2.“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的简图的一般步骤为：(1)定点：如下表所示.x—————————————————————————————ωx＋φ—————————————————————————y＝Asin(ωx＋φ)0A0－A0－φωπ2－φωπ－φω3π2－φω2π－φω0π2π3π22π基础诊断考点突破课堂总结(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象.(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝Asin(ωx＋φ)在R上的图象.2.函数y＝Asin(ωx＋φ)中各量的物理意义当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示简谐振动时，几个相关的概念如下表：简谐振动振幅周期频率相位初相y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)AT＝—f＝1T————2πωωx＋φφ基础诊断考点突破课堂总结3.函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径|φ|φω基础诊断考点突破课堂总结考点一函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换【例1】设函数f(x)＝sinωx＋3cosωx(ω＞0)的周期为π.(1)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(2)说明函数f(x)的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的变换而得到.解f(x)＝sinωx＋3cosωx＝212sinωx＋32cosωx＝2sinωx＋π3，又∵T＝π，∴2πω＝π，即ω＝2，∴f(x)＝2sin2x＋π3.基础诊断考点突破课堂总结(1)令z＝2x＋π3，则y＝2sin2x＋π3＝2sinz.列表，并描点画出图象：x－π6π12π37π125π6z0π2π3π22πy＝sinz010－10y＝2sin2x＋π3020－20基础诊断考点突破课堂总结【训练1】设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)ω＞0，－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且fπ4＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象.32cos32xxf，基础诊断考点突破课堂总结解(1)∵T＝2πω＝π，ω＝2，又fπ4＝cos2×π4＋φ＝32，∴sinφ＝－32，又－π2＜φ＜0，∴φ＝－π3.(2)由(1)得f(x)＝cos2x－π3，列表：2x－π3－π30π2π32π53πx0π6512π23π1112ππf(x)1210－1012基础诊断考点突破课堂总结描点画出图象(如图).基础诊断考点突破课堂总结(2)法一把y＝sinx的图象上所有的点向左平移π3个单位，得到y＝sinx＋π3的图象；再把y＝sinx＋π3的图象上的点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y＝sin2x＋π3的图象；最后把y＝sin2x＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin2x＋π3的图象.基础诊断考点突破课堂总结1-１2-2oxy3-326536335y=sin(2x+)3y=2sin(2x+)3方法1：),,(顺序变换按Ay=sin(x+)3y=sinx61276732基础诊断考点突破课堂总结法二将y＝sinx的图象上每一点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到y＝sin2x的图象；再将y＝sin2x的图象向左平移π6个单位，得到y＝sin2x＋π6＝sin2x＋π3的图象；再将y＝sin2x＋π3的图象上每一点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到y＝2sin2x＋π3的图象.基础诊断考点突破课堂总结1-１2-2oxy3-32653635y=sin(2x+)3y=sinxy=sin2xy=2sin(2x+)3方法1：),,(顺序变换按A3基础诊断考点突破课堂总结3.3.6.6.2sin,)62sin(.1向左平移向右平移向左平移向右平移的图象可由的图象要得到函数巩固练习：DCBAxyxyC3.(2016·全国Ⅰ卷)若将函数y＝2sin2x＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为()A.y＝2sin2x＋π4B.y＝2sin2x＋π3C.y＝2sin2x－π4D.y＝2sin2x－π32.D基础诊断考点突破课堂总结21212121211221.621.122.62.,322sin:,cos2017.3CCDCCCCCBCCAxyCxyC个单位长度，得到曲线向左平移得到的曲线倍，纵坐标不变，再把原来的上各点的横坐标缩短到把个单位长度，得到曲线向右平移得到的曲线倍，纵坐标不变，再把原来的上各点的横坐标缩短到把个单位长度，得到曲线向左平移得到的曲线倍，纵坐标不变，再把原来的上各点的横坐标伸长到把个单位长度，得到曲线向右平移得到的曲线倍，纵坐标不变，再把原来的上各点的横坐标伸长到把则下面正确的是：已知曲线全国D基础诊断考点突破课堂总结考点二由图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式【例2】(1)将函数f(x)＝sin(2x＋θ)－π2θπ2的图象向右平移φ(0＜φ＜π)个单位长度后，得到函数g(x)的图象，若f(x)，g(x)的图象都经过点P0，32，则φ的值为________.(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为________.2例基础诊断考点突破课堂总结又π3，0对应五点法作图中的第三个点，因此2×π3＋φ＝π，所以φ＝π3，故f(x)＝2sin2x＋π3.法二以π3，0为第二个“零点”，7π12，－2为最小值点，列方程组ω·π3＋φ＝π，ω·7π12＋φ＝3π2，解得ω＝2，φ＝π3，故f(x)＝2sin2x＋π3.答案(1)5π6(2)f(x)＝2sin2x＋π3(2)由题图可知A＝2，法一T4＝7π12－π3＝π4，所以T＝π，故ω＝2，因此f(x)＝2sin(2x＋φ)，基础诊断考点突破课堂总结【训练2】(2016·全国Ⅱ卷)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则()A.y＝2sin2x－π6B.y＝2sin2x－π3C.y＝2sinx＋π6D.y＝2sinx＋π3A基础诊断考点突破课堂总结巩固练习：(教材改编)如图，某地一天，从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)，则这段曲线的函数解析式为________.答案y＝10sinπ8x＋3π4＋20，x∈[6，14]基础诊断考点突破课堂总结代入已知点求得小结：TyykyyA222minmaxminmax基础诊断考点突破课堂总结考点三y＝Asin(ωx＋φ)图象与性质的综合应用【例4】(2017·青岛质检)已知函数f(x)＝4cosωx·sinωx＋π6＋a(ω0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求a和ω的值；(2)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间.解(1)f(x)＝4cosωx·sinωx＋π6＋a＝4cosωx·32sinωx＋12cosωx＋a＝23sinωxcosωx＋2cos2ωx－1＋1＋a例3基础诊断考点突破课堂总结＝3sin2ωx＋cos2ωx＋1＋a＝2sin2ωx＋π6＋1＋a.当sin2ωx＋π6＝1时，f(x)取得最大值2＋1＋a＝3＋a.又f(x)最高点的纵坐标为2，∴3＋a＝2，即a＝－1.又f(x)图象上相邻两个最高点的距离为π，∴f(x)的最小正周期为T＝π，∴2ω＝2πT＝2，ω＝1.基础诊断考点突破课堂总结(2)由(1)得f(x)＝2sin2x＋π6，由π2＋2kπ≤2x＋π6≤3π2＋2kπ，k∈Z，得π6＋kπ≤x≤2π3＋kπ，k∈Z.令k＝0，得π6≤x≤2π3.∴函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间为π6，2π3.基础诊断考点突破课堂总结课堂小结：五点作图法.1图像变换.2已知图象求解析式.3倍角公式的综合应用利用图象、性质及和差.4基础诊断考点突破课堂总结【训练4】已知函数f(x)＝23sinx2＋π4·cosx2＋π4－sin(x＋π).(1)求f(x)的最小正周期；(2)若将f(x)的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值.解(1)f(x)＝23sinx2＋π4·cosx2＋π4－sin(x＋π)＝3cosx＋sinx＝2sinx＋π3，于是T＝2π1＝2π.基础诊断考点突破课堂总结(2)由已知得g(x)＝fx－π6＝2sinx＋π6，∵x∈[0，π]，∴x＋π6∈π6，7π6，∴sinx＋π6∈－12，1，∴g(x)＝2sinx＋π6∈[－1，2]，故函数g(x)在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.