小学数学图形计算例题大汇总

1第一讲不规则图形面积的计算（一）我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算.如下表：实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算.一般我们称这样的图形为不规则图形。那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决了。例1如右图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米.求阴影部分的面积。解：阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白”三角形（△ABG、△BDE、△EFG）的面积之和。2又因为S甲+S乙=12×12+10×10=244，所以阴影部分面积=244-（50+132+12）=50（平方厘米）。例2如右图，正方形ABCD的边长为6厘米，△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积.解：因为△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，所以四边形AECF的面积与△ABE、△ADF的面积都等于正方形ABCD在△ABE中，因为AB=6.所以BE=4，同理DF=4，因此CE=CF=2，∴△ECF的面积为2×2÷2=2。所以S△AEF=S四边形AECF-S△ECF=12-2=10（平方厘米）。例3两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是10厘米和6厘米。如右图那样重合.求重合部分（阴影部分）的面积。解：在等腰直角三角形ABC中∵AB=103∵EF=BF=AB-AF=10-6=4，∴阴影部分面积=S△ABG-S△BEF=25-8=17（平方厘米）。例4如右图，A为△CDE的DE边上中点，BC=CD，若△ABC（阴影部分）面积为5平方厘米.求△ABD及△ACE的面积.解：取BD中点F，连结AF.因为△ADF、△ABF和△ABC等底、等高，所以它们的面积相等，都等于5平方厘米.所以△ACD的面积等于15平方厘米，△ABD的面积等于10平方厘米。又由于△ACE与△ACD等底、等高，所以△ACE的面积是15平方厘米。例5如下页右上图，在正方形ABCD中，三角形ABE的面积是8平方厘解：过E作BC的垂线交AD于F。在矩形ABEF中AE是对角线，所以S△ABE=S△AEF=8.在矩形CDFE中DE是对角线，所以S△ECD=S△EDF。例6如右图，已知：S△ABC=1，4解：连结DF。∵AE=ED，∴S△AEF=S△DEF；S△ABE=S△BED，例7如下页右上图，正方形ABCD的边长是4厘米，CG=3厘米，矩形DEFG的长DG为5厘米，求它的宽DE等于多少厘米？解：连结AG，自A作AH垂直于DG于H，在△ADG中，AD=4，DC=4（AD上的高）.∴S△AGD=4×4÷2=8，又DG=5，∴S△AGD=AH×DG÷2，∴AH=8×2÷5=3.2（厘米），∴DE=3.2（厘米）。例8如右图，梯形ABCD的面积是45平方米，高6米，△AED的面积是5平方米，BC=10米，求阴影部分面积.5解：∵梯形面积=（上底+下底）×高÷2即45=（AD+BC）×6÷2，45=（AD+10）×6÷2，∴AD=45×2÷6-10=5米。∴△ADE的高是2米。△EBC的高等于梯形的高减去△ADE的高，即6-2=4米，例9如右图，四边形ABCD和DEFG都是平行四边形，证明它们的面积相等.证明：连结CE，ABCD的面积等于△CDE面积的2倍，而DEFG的面积也是△CDE面积的2倍。∴ABCD的面积与DEFG的面积相等。习题一一、填空题（求下列各图中阴影部分的面积）：6二、解答题：1.如右图，ABCD为长方形，AB=10厘米，BC=6厘米，E、F分别为AB、AD中点，且FG=2GE.求阴影部分面积。2.如右图，正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为12厘米和6厘米.求四边形CMGN（阴影部分）的面积.3.如右图，正方形ABCD的边长为5厘米，△CEF的面积比△ADF的面积大5平方厘米.求CE的长。4.如右图，已知CF=2DF，DE=EA，三角形BCF的面积为2，四边形BEDF的面积为4.求三角形ABE的面积.75.如右图，直角梯形ABCD的上底BC=10厘米，下底AD=14厘米，高CD＝5厘米.又三角形ABF、三角形BCE和四边形BEDF的面积相等。求三角形DEF的面积.6.如右图，四个一样大的长方形和一个小的正方形拼成一个大正方形，其中大、小正方形的面积分别是64平方米和9平方米.求长方形的长、宽各是多少？7.如右图，有一三角形纸片沿虚线折叠得到右下图，它的面积与原三角形面积之比为2：3，已知阴影部分的面积为5平方厘米.求原三角形面积.8.如右图，ABCD的边长BC=10，直角三角形BCE的直角边EC长8，已知阴影部分的面积比△EFG的面积大10.求CF的长.习题一解答一、填空题：8二、解答题：3．CE=7厘米．可求出BE=12．所以CE=BE-5=7厘米．4．3．提示：加辅助线BD9∴CE=4，DE=CD-CE=5-4=1。同理AF=8，DF=AD-AF=14-8=6，6．如右图，大正方形边长等于长方形的长与宽的和.中间小正方形的边长等于长方形的长与宽的差.而大、小正方形的边长分别是8米和3米，所以长方形的宽为（8-3）÷2=2.5（米），长方形的长为8-2.5=5.5（米）.7．15平方厘米．解：如右图，设折叠后重合部分的面积为x平方厘米，x=5．所以原三角形的面积为2×5+5=15平方厘米．∴阴影部分面积是：10x-40＋S△GEF由题意：S△GEF＋10=阴影部分面积，∴10x-40=10，x＝5（厘米）.10第五讲同余的概念和性质你会解答下面的问题吗？问题1：今天是星期日，再过15天就是“六·一”儿童节了，问“六·一”儿童节是星期几？这个问题并不难答.因为，一个星期有7天，而15÷7=2…1，即15＝7×2+1，所以“六·一”儿童节是星期一。问题2：1993年的元旦是星期五，1994年的元旦是星期几？这个问题也难不倒我们.因为，1993年有365天，而365=7×52+1，所以1994年的元旦应该是星期六。问题1、2的实质是求用7去除某一总的天数后所得的余数.在日常生活中，时常要注意两个整数用某一固定的自然数去除，所得的余数问题.这样就产生了“同余”的概念.如问题1、2中的15与365除以7后，余数都是1，那么我们就说15与365对于模7同余。同余定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b（modm）.（*）上式可读作：a同余于b，模m。同余式（*）意味着（我们假设a≥b）：a-b=mk，k是整数，即m｜（a-b）.例如：①15≡365（mod7），因为365-15=350=7×50。②56≡20（mod9），因为56-20=36＝9×4。③90≡0（mod10），因为90-0＝90=10×9。由例③我们得到启发，a可被m整除，可用同余式表示为：a≡0（modm）。例如，表示a是一个偶数，可以写a≡0（mod2）11表示b是一个奇数，可以写b≡1（mod2）补充定义：若m（a-b），就说a、b对模m不同余，用式子表示是：ab（modm）我们书写同余式的方式，使我们想起等式，而事实上，同余式与等式在其性质上相似.同余式有如下一些性质（其中a、b、c、d是整数，而m是自然数）。性质1：a≡a（modm），（反身性）这个性质很显然.因为a-a=0=m·0。性质2：若a≡b（modm），那么b≡a（modm），（对称性）。性质3：若a≡b（modm），b≡c（modm），那么a≡c（modm），（传递性）。性质4：若a≡b（modm），c≡d（modm），那么a±c≡b±d（modm），（可加减性）。性质5：若a≡b（modm），c≡d（modm），那么ac≡bd（modm）（可乘性）。性质6：若a≡b（modm），那么an≡bn（modm），（其中n为自然数）。性质7：若ac≡bc（modm），（c，m）=1，那么a≡b（modm），（记号（c，m）表示c与m的最大公约数）。注意同余式性质7的条件（c，m）＝1，否则像普通等式一样，两边约去，就是错的。例如6≡10（mod4），而35（mod4），因为（2，4）≠1。请你自己举些例子验证上面的性质。同余是研究自然数的性质的基本概念，是可除性的符号语言。例1判定288和214对于模37是否同余，74与20呢？解：∵288-214=74=37×2。∴288≡214（mod37）。∵74-20=54，而3754，∴7420（mod37）。例2求乘积418×814×1616除以13所得的余数。12分析若先求乘积，再求余数，计算量太大.利用同余的性质可以使“大数化小”，减少计算量。解：∵418≡2（mod13），814≡8（mod13），1616≡4（mod13），∴根据同余的性质5可得：418×814×1616≡2×8×4≡64≡12（mod13）。答：乘积418×814×1616除以13余数是12。例3求14389除以7的余数。分析同余的性质能使“大数化小”，凡求大数的余数问题首先考虑用同余的性质化大为小.这道题先把底数在同余意义下变小，然后从低次幂入手，重复平方，找找有什么规律。解法1：∵143≡3（mod7）∴14389≡389（mod7）∵89＝64+16+8+1而32≡2（mod7），34≡4（mod7），38≡16≡2（mod7），316≡4（mod7），332≡16≡2（mod7），364≡4（mod7）。∵389≡364·316·38·3≡4×4×2×3≡5（mod7），∴14389≡5（mod7）。答：14389除以7的余数是5。解法2：证得14389≡389（mod7）后，36≡32×34≡2×4≡1（mod7），∴384≡（36）14≡1（mod7）。∴389≡384·34·3≡1×4×3≡5（mod7）。13∴14389≡5（mod7）。例4四盏灯如图所示组成舞台彩灯，且每30秒钟灯的颜色改变一次，第一次上下两灯互换颜色，第二次左右两灯互换颜色，第三次又上下两灯互换颜色，…，这样一直进行下去.请问开灯1小时四盏灯的颜色如何排列？分析与解答经观察试验我们可以发现，每经过4次互换，四盏灯的颜色排列重复一次，而1小时=60分钟=120×30秒，所以这道题实质是求120除以4的余数，因为120≡0（mod4），所以开灯1小时四盏灯的颜色排列刚好同一开始一样。十位，…上的数码，再设M=a0＋a1＋…＋an，求证：N≡M（mod9）。分析首先把整数N改写成关于10的幂的形式，然后利用10≡1（mod9）。又∵1≡1（mod9），10≡1（mod9），102≡1（mod9），…10n≡1（mod9），上面这些同余式两边分别同乘以a0、a1、a2、…、an，再相加得：a0＋a1×10+a2×102+…+an×10n≡a0＋a1＋a2＋…＋an（mod9），即N≡M（mod9）.这道例题证明了十进制数的一个特有的性质：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。14以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。例如，求1827496被9除的余数，只要先求（1+8＋2＋7＋4＋9＋6），再求和被9除的余数。再观察一下上面求和式.我们可以发现，和不一定要求出.因为和式中1＋8，2+7，9被9除都余0，求余数时可不予考虑.这样只需求4＋6被9除的余数.因此，1827496被9除余数是1。有人时常利用十进制数的这个特性检验几个数相加、相减、相乘的结果对不对，这种检查方法叫：弃九法。弃九法最经常地是用于乘法.我们来看一个例子。用弃九法检验乘式5483×9117≡49888511是否正确？因为5483≡5＋4＋8＋3≡11≡2（mod9），9117≡9＋1＋1＋7≡0（mod9），所以548