微积分求极限的方法(2・完整版)

专题一求极限的方法【考点】求极限1、近几年来的考试必然会涉及求极限的大题目，一般为2-3题12-18分左右，而用极限的概念求极限的题目已不会出现。一般来说涉及到的方法主要涉及等价量代换、洛必达法则和利用定积分的概念求极限，使用这些方法时要注意条件，如等价量代换是在几块式子乘积时才可使用，洛必达法则是在0比0，无穷比无穷的情况下才可使用，运用极限的四则运算时要各部分极限存在时才可使用等。2、极限收敛的几个准则：归结准则（联系数列和函数）、夹逼准则（常用于数列的连加）、单调有界准则、子数列收敛定理（可用于讨论某数列极限不存在）3、要注意除等价量代换和洛必达法则之外其他辅助方法的运用，比如因式分解，分子有理化，变量代换等等。4、两个重要极限0sinlim1xxx101lim(1)lim(1)xxxxxex，注意变形，如将第二个式子10lim(1)xxxe中的x变成某趋向于0的函数()fx以构造“1”的形式的典型求极限题目。5、一些有助于解题的结论或注意事项需要注意总结，如：（1）利用归结原则将数列极限转化为函数极限（2）函数在某点极限存在的充要条件是左右极限存在且相等。有时可以利用这点进行解题，如111limxxe因左右极限不相等而在这点极限不存在。（当式子中出现绝对值和e的无穷次方的结构时可以考虑从这个角度出发）（3）遇到无限项和式求极限时想三种方法：①看是否能直接求出这个和式(如等比数列求和)再求极限②夹逼定理③用定积分的概念求解。（4）如果f(x)/g(x)当x→x0时的极限存在，而当x→x0时g(x)→0，则当x→x0时f(x)也→0（5）一个重要的不等式：sinxx（0x）*其中方法②③考到的可能性较大。6、有关求极限时能不能直接代入数据的问题。7、闭区间上连续函数的性质（最值定理、根的存在性定理、介值定理）8、此部分题目属于基本题型的题目，需要尽量拿到大部分的分数。【例题精解·求极限的方法】方法一：直接通过化简，运用极限的四则运算进行运算。【例1】求极限11lim1mnxxx解1212111(1)()limlim1(1)()mmmnnnxxxxxxxxxx…1…1=mn注：此题通过洛必达法则进行求解也非常方便。还可通过变量代换构造等价量。【例2】求极限22lim(1)xxxx解222211lim(1)lim21xxxxxxxxx注：1、遇到“根号加减根号”基本上有两种方法——有理化和采取倒变量的方法。2、一个最基本的多项式极限112112limnnnmmxnaxaxabxbxb……(系数均不为0)：①若nm，则极限为正无穷；②若nm，则极限为0；③若n=m，则极限为11ab。（本质为比较次数）要注意的是x是趋向于正无穷，而且分子分母遇到根号时要以根号里x的最高次的12次来计算，如21x的次数为1。方法二：利用单调有界准则来证明极限存在并求极限【例3】设112u，112(1,2,...)nnuun,证明limnnu存在并求之方法三：利用夹逼定理——适用于无限项求极限时可放缩的情况。【例4】求极限1lim123...nnnnnn解因1111=123...=nnnnnnnnnnnnn而lim1=lim=1nnnn故由夹逼定理1lim123...nnnnnn=1方法四&方法五：等价量代换、洛必达法则——未定式极限。（化加减为乘除！）【例5】求极限tan0limtanxxxeexx解原式=tan00(1)(tan)limlim1tantanxxxxxxeeexxxxxx【例6】求极限1121lim()xxxxaa解111111222(1)111lim()=lim(1)lim1(1)xxxxxxxxxxxaaxaaxa=21lim1lnln(1)xxaaxx【例7】求极限224031+tan1sinlimsin((1)1)xxxxxx解原式=22403(1+tan1sin)(1+tan1sin)limsin((1)1)(1+tan1sin)xxxxxxxxxx=022tansinlim4sin23xxxxxx=02tan(1cos)limsin423xxxxxxxx=302132lim416123xxxx【例8】求极限01coscos2cos3lim1cosxxxxx解：直接运用洛必达法则和等价量代换可得01coscos2cos3lim1cosxxxxx=000sincos2cos34cossin2cos39coscos2sin3limlimlim23xxxxxxxxxxxxxxx=000sincos2cos32cossin2cos33coscos2sin3limlimlimsinsinsinxxxxxxxxxxxxxxx=000sincos2cos32cossin2cos33coscos2sin3limlimlimxxxxxxxxxxxxxxx=000sincos2cos34cossin2cos39coscos2sin3limlimlim23xxxxxxxxxxxxxxx=1+4+9=14【例9】求极限limlog()abxxxx解：由换底公式，=ln()limlnabxxxx()=limababxaxbxxx=limababxaxbxxx若ab，则极限为a；若ab，则极限为b，综上，极限为max{,}ab方法六：幂指函数求极限——取对数再取指数。【例10】21limsinnnnn(1)解2221011sinlimsin=limsinlimnxtnxttnxnxt2sin1sin0sinlim11tttttttttt3200sin0cos11limlim036ttttttteee【例11】1ln+limarctan2xxx0(0)解+1lnarctan2lnlim()ln+limarctan=2xxxxxxe2211()1()arctan021limlim()10arctan2xxxxxxxxee221lim11xxxee【例12】求极限cot1limarcxxxex❉注意x是趋向正无穷，此时需要先分析底数和指数分别趋向于多少，分析底数易知底数趋向于正无穷。但是指数arccotx这个函数不是很熟，可以通过图像先分析cotx再分析arccotx趋向于多少，最后得出结论是指数趋于0。故是一个“0”型，所以要用“先取对数再取指数”的方法。对于之后arccotx的处理，若用罗比达对其求导则会发现再接下来比较难做，这里给出一个转化为熟悉的，可等加量代换的式子的方法，方法较灵活，需要对三角函数之间的转换有很深的熟悉度。解原式=1arccotlnlimxexxxe=1limarccotlnxxexxe=11limarctanlnxxexxe=ln1lnlimxxexxe=1lim1xxxexee=e❉关于第三个等号左右的变化：令cotyarcx，则1cottanxyy，故1tanyx，1arctanyx，综上，1cottanarcxarcx方法七：运用泰勒定理求极限——适用于直接洛必达不好算时考虑的方法。【例13】求极限22220221lim(cos)xxxxxxe解24241+1()28xxxox0x，,23cos1()02!xxoxx，2221()0xexoxx，代入原式可得，原式=422420232222()4lim1()1()2!xxxxoxxxoxxox=44044()4lim3()2xxoxxox=16方法八：通过定积分的概念来求极限【例14】求22222lim(...)149nnnnnnnnnn解由于此题无法直接对式子进行化简，也无法用夹逼定理，故想到用定积分的概念来求解，即原式=2222222221lim(...)149nnnnnnnnnnn=222211111lim...1231111nnnnnnn=2111lim1nninin此时由定积分的概念可将上面的和式看成被积函数21()1fxx在[0,1]上的定积分，故22222lim(...)149nnnnnnnnnn=12011dxx=4【例15】求极限1111limln1[(1)(2)...21]lim(!)=limnniinnnnnnnnnnenn解1111[(1)(2)...21](1)(2)...21lim(!)=limlimnnnnnnnnnnnnnnnnn11231lim(...)nnnnnnnnn11231limln(...)nnnnnnnnne11limlnnniinne10lnxdxe10(ln)|1xxxee【例16】2222221sinsinlimlnnnkkknkknn【分析】此题看似复杂，其实仔细观察可以发现本质仍为无限项的和式求极限，故再次想到用定积分的概念求解。故我们需要找到定积分概念中和式极限的“1n”和“()if”。“1n”我们可以类似【例5】，自己把这一项构造出来，而()if这一项不同于我们以往做过的题目中()if经常取小区间的左端点1in或右端点in，而是取了中间一个点，但是无论如何，由于“取点的任意性”，只要能表示成1(),(),()iiifffnn中的一种即可看作为0到1上()fx的定积分。解：原式=22222211sinsinlimln1nnkkkkknnn1121000lnln(ln)xxdxxxxxxdx110012ln2xxdxxdx故原式=101ln4xxdx【一些核心问题&问的很多的题目】1、求极限的时候到底什么时候可以直接代进去？【例子1】021sincoslimsin2xxxxx【例子2】01coscos2cos3lim1cosxxxxx【例子3】224031+tan1sinlimsin((1)1)xxxxxx【例子4】2201limln1xaaaxxx,0a2、苏德矿版微积分P104T107令sinxt，化简方程22210dydyxxydxdx【一些练习题，有点难度，可做可不做】1、12lim...2!3!(1)!nnn2、1u=1，2u=2，3n，12nnnuuu，求1limnnu3、31111...1lim1nnxxxxx答案：1、12、03、1!n