微积分知识证明不等式

学校代码专业代码本科毕业论文（设计）题目：关于用微积分理论证明不等式的方法学院：专业：学号：姓名：指导教师：2012年5月13日目录中文摘要················································································Ⅰ英文摘要················································································Ⅱ第一章用微积分理论证明不等式常见的几种方法·····························1第一节用可导函数的单调性证明不等式法································1第二节利用函数的最大值或最小值证明不等式法·······················2第三节用拉格朗日中值定理证明不等式法································3第四节用柯西中值定理证明不等式法······································4第五节上述几种方法小结·····················································6第二章用微积分理论证明不等式其他几种方法································7第一节用导数定义证明不等式法············································7第二节用函数的凹凸性证明不等式·········································8第三节用泰勒公式证明不等式法············································9第四节用幂级数展开式证明不等式法·····································10第五节用定积分理论来证明不等式法·····································11第六节引入参数证明不等式法··············································12第七节利用二重积分性质来证明不等式··································13参考文献················································································15致谢················································································16大学毕业论文（设计）I关于用微积分理论证明不等式的方法摘要：随着数学的发展，人们对数学的认识不断深化。高等数学中所涉及到的不等式，大致可分为两种：函数不等式(含变量)和数值不等式(不含变量)。对于前者，一般可直接或稍加变形构造一函数，从而可通过研究所构造函数的性质，进而证明不等式；对于后者，我们也可根据数值不等式的特点，巧妙的构造辅助函数，从而将数值不等式问题转化为函数的问题，研究方法正好与前者相似。微积分是高等数学中的重要内容，以它为工具能较好的研究函数的形态，有些常规方法难于证明的不等式，若能根据不等式的结构特征，巧妙的构造函数，将不等式问题转化为函数的问题，利用微积分理论研究函数的性质，应用函数的性质证明不等式。关键词：不等式；导数；拉格朗日中值定理；柯西中值定理；泰勒公式大学毕业论文（设计）IIMethodsforProvingInequalitybyUsingCalculusAbstract：Withthedevelopmentofmathematics,mathematicsismoreandmoreimportantinourlife.Highermathematicsinvolvedininequality,canberoughlydividedintotwotypes:functioninequality(includingvariables)andnumericalinequality(donotcontainvariables).Fortheformer,thegeneralcanbestraightorslightlydeformedtectonicfunction,therebythroughtheInstituteconstructornature,andthentoproveinequality;forthelatter,wecanalsoaccordingtothecharacteristicsofnumericalinequality,theingeniousstructureauxiliaryfunction,thusthenumericalinequalityproblemistransformedintoafunctionproblem,researchmethodissimilartotheformer.Calculusisanimportantpartofhighermathematics,takingitasatooltobetterstudythefunctionofform,someconventionalmethodstoproveinequality.Accordingtotheinequalitystructure,ingeniousconstructor,theinequalityproblemistransformedintoafunctionproblem,usingthecalculustheorytostudythenatureoffunction,applicationfunctiontoproveinequality.Keywords：Inequality;derivative;theLagrangemeanvaluetheorem;Cauchytheorem;Taylorformula大学毕业论文（设计）1第一章用微积分理论证明不等式常见的几种方法第一节用可导函数的单调性证明不等式法1.证明方法根据：可导函数的一阶导数符号与函数单调性关系定理定理一：若函数)(xf在),(ba可导，则)(xf在),(ba内递增（递减）的充要条件是：),(),0)((0)(baxxfxf。定理二：设函数)(xf在],[ba连续，在),(ba内可导，如果在),(ba内0)(xf（或0)(xf），那么)(xf在],[ba上严格单调增加（或严格单调减少）。定理三：设函数)(xf在),(ba内可导，若0)(xf（或0)(xf），则)(xf在),(ba内严格递增（或严格递减）。上述定理反映了可导函数的一阶导数符号与函数单调性的关系，因此可用一阶导数研究函数在所讨论区间上的单调性。2.证明方法：（1）构造辅助函数)(xf，取定闭区间],[ba；（构造辅助函数方法：①利用不等式两边之差构造辅助函数；②利用不等式两边相同“形式”的特征构造辅助函数；③若所证的不等式涉及到幂指数函数，则可通过适当的变形将其化为易于证明的形式，再如前面所讲那样，根据不等式的特点，构造辅助函数。）(2)研究)(xf在],[ba上的单调性，从而证明不等式。3.例：求证：当x0时，22(1)ln(1)xxx证明：令22()(1)ln(1)fxxxx，则2'()2ln(1)2ln(1)fxxxx，ln(1)22''()22ln(1)111xfxxxxxx因201+x，所以''()fx与ln(1)xx大学毕业论文（设计）2同号。由于()ln(1)Gxxx满足1(0)0,'()10(0)11xGGxxxx，可见()0Gx，于是''()0fx。由此可得'()fx在x0单调增加，又'(0)0f，于是'()0(0)fxx所以()fx在x0单调增加，又(0)0f，故()0fx当x0时成立，即22(1)ln(1)(0)xxxx4.适用范围：利用函数单调性证明不等式，不等式两边的函数必须可导；对所构造的辅助函数)(xf应在某闭区间上连续，开区间内可导，且在闭区间的某端点处)(xf的值为0，然后通过在开区间内)(xf的符号来判断)(xf在闭区间上的单调性。第二节利用函数的最大值或最小值证明不等式法1．证明方法根据：极值的充分条件定理定理四（极值的第一充分条件）：设)(xf在0x连续，在),(00x内可导，（I）若当),(00xxx时，0)(xf,当),(00xxx时，0)(xf,则)(xf在0x取得极大值;(II)若当),(00xxx时，0)(xf,当),(00xxx时，0)(xf,则)(xf在0x取得极小值。定理五（极值的第二充分条件）：设)(xf在的某领域),(0x内一阶可导，在0xx处二阶可导，且0)(0xf，0)(0xf,(i)若0)(0xf，则)(xf在0x取得极大值；(ii)若0)(0xf，则)(xf在0x取得极小值。极值和最值是两个不同的概念，极值仅是在某点的邻域内考虑，而最值是在某个区间上考虑。若函数在一个区间的内部取得最值，则此最值也是极值。极值的充分条件定理反映了可导函数的一阶导数符号或二阶导数在可疑点上的导数符号与函数极值的关系。2.证明方法：大学毕业论文（设计）3（1）构造辅助函数)(xf，并取定区间；（构造辅助函数的方法：①当不等式两边均含有未知数时，可利用不等式两边之差构造辅助函数；②当不等式两边含有相同的“形式”时，可利用此形式构造辅助函数；③当不等式形如axg)(（或axg)(）（a为常数）时，可设)(xg为辅助函数）(2)求出)(xf在所设区间上的极值与最大、最小值。（极值与最大、最小值的求法：①极值求法：（1）求出可疑点，即稳定点与不可导的连续点；（2）按极值充分条件判定可疑点是否为极值点。②最大、最小值的求法：（1）闭区间],[ba上连续函数的最大、最小值的求法：先求出可疑点，再将可疑点处的函数值与端点ba,处的函数值比较，最大者为最大值，最小者为最小值。（2）开区间),(ba内可导函数的最大值、最小值的求法：若)(xf在),(ba内可导，且有唯一的极值点，则此极值点即为最大值点或最小值点）3.例：证明：当0x，n为自然数时2201()sin(22)(23)xntttdtnn证明：构造辅助函数220()()sinxnfxtttdt，则'22()()sinnfxxxx当0x1时，'()0fx；当x1时，除(1,2,3,)xkk时'()0fx外，均有'()0fx，故()fx在01x单调上升，在1x单调减小，因此()fx在[0,)上取最大值(1)f。于是有11222200111()(1)()sin()(0)2223(22)(23)nnfxftttdttttdtxnnnn4.适用范围:若()fx在区间I上达到最大值M，则()()fxMxI。若()fx在区间I上达到最小值m，则()()fxMxI。第三节用拉格朗日中值定理证明不等式法1.证明方法根据：拉格朗日中值定理大学毕业论文（设计）4拉格朗日中值定理：若函数)(xf满足下列条件：（I）)(xf在闭区间],[ba上连续；（II）)(xf在开区间),(ba内可导，则在),(ba内至少存在一点，使得abafbff)()()(。拉格朗日中值定理反映了函数或函数增量和可导函数的一阶导数符号之间的关系。2.证明方法：①构造辅助函数)(xf，确定)(xf适用拉格朗日中值定理的区间],[ba；②对)(xf在],[ba上施用拉格朗日中值定理；