微积分综合练习题及其参考答案

周世国：微积分综合练习题及其参考答案1《微积分》期末考试综合题参考习题一．设neann111，证明：nnna111条件收敛证明：（1）设.0,1xxexfx则0.01xexfx因此xexfx1在,0单调增加.故：,111nfnf即.1nnaa又显然.01limlimlim00xexfaxxxnn因此由莱布尼兹定理知nnna111收敛.（2）再考察111|1|nnnnnaa因为.2120lim210lim10lim111lim1lim0021xxxxxxnnnnexexxennena故111|1|nnnnnaa发散.综合（1）、（2）知：nnna111条件收敛.二．设xf在0x的某一邻域内具有二阶连续导数，且0lim0xxfx.证明：级数nfnn11绝对收敛.证明：因为xf在0x处具有二阶连续导数，且0lim0xxfx，根据可导必连续，有：xffx0lim0=0，0lim00lim000xxfxfxffxx.由麦克劳林展式：对0x，222!2100xfxfxffxf，周世国：微积分综合练习题及其参考答案2（)0x.因此，.0lim,10212nnnfnf，因此，2321nfnfn所以，.|021|21lim1|1|lim23ffnnfnnn且1231nn收敛，所以，nfnn11绝对收敛.三．已知xfn满足nexxfxfxnnn(1为正整数）.且,1nefn求级数1nnxf之和.解：（1）解一阶线性微分方程xnnnexxfxf1，得其通解：CnxeCdxexeexfnxxndxdxn111代入初始条件,1nefn得.0C故.nxexfnxn.（2）原级数即为11nnxnnnxexf令1,1,1xnxxsnn.当1,1x时，由逐项求导公式，有：.11111xxnxxsnnnn，故.1,1,1ln1100xxdxxsxsx所以，xexsenxexfxxnnxnn1ln111,1,x.四．设,,...2,1,0cossin40nxdxxInn求.0nnI周世国：微积分综合练习题及其参考答案3解：（1）xdxxxnxxxdInnnnsin.cossinsinsinsin40140140|分部nnnI121（兜圈子），故.2111nnnI即.211011nnnnnI.（2）令,1,1,101xnxxsnn当1,1x时，由逐项求导公式，有：.111001xxnxxsnnnn，故.1,1,1ln1100xxdxxsxsx故：.22ln211ln21211011snnnnnI五．已知函数yxfz,的全微分,22ydyxdxdz并且,21,1f求yxf,在椭圆域14|,22yxyxD上的最值.解：（1）由,2222Cyxdydyxdxdz得：.,22Cyxyxfz又,21,1f故,2C所以，.2,22yxyxfz（2）下面求.2,22yxyxf在椭圆域14|,22yxyxD上的最值.（i）令.02,02yyzxxz，得驻点0,01P，.20,0f.02,02yyzxxz（ii）在椭圆1422yx上，由椭圆的参数方程：2,0.sin2,cosyx，222cos1422cos12sin4cos,22gyxf2232cos5.周世国：微积分综合练习题及其参考答案4所以，30,maxgyxf，22,mingyxf综合(i),(ii)知，3,maxyxf，2,minyxf.六．在椭球面122222zyx上求一点，使得222,,zyxzyxf沿着点A(1,1,1)到点B(2,0,1)的方向导数具有最大值.解：（1）记0,21,21,0,1,10hABh，则222,,zyxzyxf沿椭球面122222zyx上任意一点处的方向导数为yxzyxhfffzyxfDzyxh20,21,21.2,2,2.,,,,0.（2）问题转化为求函数yx2在条件0122222zyx下的极值，下用拉格朗日乘数法解之.令1222,,,222zyxyxzyxL由)4(0122.010)3(02)2(042)1(042222zyxLzzLyxyLxLzyx，或）不符舍，因与（解上述方程组，得：.0,21,21zyx或.0,21,21zyx因此有两个驻点0,21,211P及0,21,212P（3）因为20,21,21fDh，.20,21,21fhD所以，222,,zyxzyxf在椭球面上点0,21,211P处沿着点A(1,1,1)到点B(2,0,1)周世国：微积分综合练习题及其参考答案5的方向导数具有最大值2.七．证明：曲面224yxz上任意一点处的切平面与曲面22yxz所围成的立体体积为定值.证明：（1）令zyxzyxF224,,，则曲面224yxz上任意一点000,,zyxM处的切平面的法向量为：1,2,2,,00yxMFMFMFzyx，从而点M处的切平面方程为：02200000zzyyyxxx，化简得：0422202000yxzyyxx.（2）联立22202000,0422yxzyxzyyxx，消去z，得立体向xoy面上的投影区域.4:2020yyxxD因此，所求立体的体积为dyyxxdyxyxyyxxVDD20202220200044228420220rdrrd极注意：上述计算二重积分的过程中，其实用到了变量替换公式：令.4:,11001,,2200vuDvyuyvxuxJyyvxxu则dudvvuvududvJDvudxdyyyxxVD42222202022/4||44八.设)(xf在a,0上连续，试证明：ayxyxyxDdxxxfdxdyyxfaD,0,0|,,)(0证明：dyyxfdxdxdyyxfxaaD00其中，xdttfyxtdyyxfaxxa(0视为常数），所以，周世国：微积分综合练习题及其参考答案6dttfxdxdxdyyxfaxaD0（交换积分次序后）dxxxfdtttfdxdttfaata0000（最后一步是利用积分与变量记号无关）.九．设)(xf在ba,上连续且单增，记.,|,byabxayxD试证明.)(222baDdxxfabdxdyyyf证明：记babaDbaDdxxfydydxdyyyfdxxfabdxdyyyfI)()()(222dxdyxfyfydxdyxyfdxdyyyfDDD()()(----（1）由轮换对称性，易知：dxdyyfxfxID()(----------------（2）所以，0)()(2dxdyxfyfxyID（因)(xf单增，故无论,,yxyx均有.0)()()(xfyfxy即，.)(2022baDdxxfabdxdyyyfI十．证明：.4sinsin161417212222dxdyyxyx证明：一方面：4161sinsin16111222222yxyxdxdydxdyyx；另一方面：1221222222161sinsin161yxyxdxdyyxdxdyyx.41721620102rrdrd注意：后一不等式用到了：当.|tan||sin|,4||0xxxx十一.设L是圆周.11122yx取逆时针方向，又)(xf是正值连续函数，周世国：微积分综合练习题及其参考答案7试证：.2)()(dxxfydyyxfL证明：由格林公式：记111|,22yxyxD，dxdyxfyfdxdyyxfyxyxfdxxfydyyxfDDL)(1)()()()()(dxdyxfdxdyyfDD)(1----（1）又由轮换对称性：dxdyxfdxdyyfDD)(---（2），代入（1）式，得：.22)(1)(2)(1)()()(DDDLdxdydxdyxfxfdxdyxfxfdxxfydyyxf十二.设曲线积分LxdyydxyxF),(与路径无关，且方程0),(yxF所确定的曲线的图形过点)2,1(.其中0),(yxF是可微函数，求0),(yxF所确定的曲线.解：（1）由于曲线积分LxdyydxyxF),(与路径无关，所以，,,),(),(),(,(),(yxFxyxFyxFyyxFxyxxFyyxyFyx即：.xyFFdxdyyx（2）解此可分离变量型微分方程,ln)ln(lnlnln11CxyCxydxxdyyxydxdy得其通解：.Cxy又曲线的图形过点)2,1(，所以，.2C因此所求曲线为：.2xy十三.设),(yxQ在xoy平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分LdyyxQxydx),(2与路径无关，并且对任意的t，恒有1,0,0,(2tydyxQxydx.,(2,10,0tydyxQxydx求函数),(yxQ.解：（1）由于曲线积分Ld