微积分论文：简述微积分发展史

微积分论文：简述微积分发展史[摘要]本文介绍了微积分学产生的背景、建立过程以及其产生重大的历史意义。此外，在文章中也对微积分学的理论知识、基本内容进行了介绍和与说明。[关键词]微积分微分积分发展史一、微积分学的创立微积分作为一门学科，是在十七世纪产生的。它的主要内容包括两部分：微分学和积分学。然而早在古代微分和积分的思想就已经产生了。公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、旋转双曲体的体积等问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说，早在古代就有了比较清楚的论述。如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。这些都是朴素的极限概念。到了十七世纪，人们因面临着有许多科学问题需要解决，如研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题；求曲线的切线的问题等，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。十七世纪的许多著名的数学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作。十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作。在创立微积分方面，莱布尼茨与牛顿功绩相当。这两位数学家在微积分学领域中的卓越贡献概括起来就是：他们总结出处理各种有关问题的一般方法,认识到求积问题与切线问题互逆的特征，并揭示出微分学与积分学之间的本质联系。两人各自建立了微积分学基本定理，并给出微积分的概念、法则、公式及其符号。有了这些理论知识作为前提为以后的微积分学的进一步发展奠定了坚实而重要的基础。微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。可以说微积分学的诞生是数学发展的一个里程碑式的事件。二、微积分诞生的重要意义微积分诞生之前，人类基本上还处在农耕文明时期。微积分学是继解析几何产生后的又一个伟大的数学创造。微积分为创立许多新的学科提供了源泉。微积分的建立是人类头脑最伟大的创造之一，是人类理性思维的结晶。它给出一整套的科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强与加深了数学的作用。微积分的产生不仅具有伟大的科学意义，而且具有深远的社会影响。有了微积分，就有了工业革命，有了大工业生产，也就有了现代化的社会。在微积分的帮助下，万有引力定律发现了。微积分学强有力地证明了宇宙的数学设计，摧毁了笼罩在天体上的神秘主义、迷信和神学。这一切都表明微积分学的产生是人类认识史上的一次空前的飞跃。三、微积分理论的基本介绍微积分学是微分学和积分学的总称。微积分学基本定理指出，求不定积分与求导函数是互为逆运算的过程，而把上下限代入不定积分即得到积分值，微分则是导数值与自变量增量的乘积。作为一种数学的思想微分就是“无限细分”，而积分就是“无限求和”。牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，但是理论基础是不牢固的。因为“无限”的概念是无法用已经拥有的代数公式进行演算，所以，直到十九世纪，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等建立了严格的实数理论，这门学科才得以严密化。学习微积分学，首要的一步就是要理解到，“极限”引入的必要性：因为，代数是人们已经熟悉的概念，但是，代数无法处理“无限”的概念。所以，必须要利用代数处理代表无限的量，这时就精心构造了“极限”的概念。在“极限”的定义中，我们可以知道，这个概念绕过了用一个数除以0的麻烦，相反引入了一个过程任意小量ε。就是说，除的数不是零，所以有意义，同时ε可以取任意小，只要满足在δ区间，都小于ε，我们就说他的极限就是这个数。虽然这个概念给出的比较取巧，但是，它的实用性证明，这样的定义还算比较完善，给出了正确推论的可能性。因此这个概念是成功的。四、微积分的基本内容五、小结随着社会的进步，科学的发展，微积分学也在不断的发展与完善。微积分学是与科学应用紧密联系着发展起来的。最初，牛顿应用微积分学及微分方程对天文观测数据进行了分析运算，得到了万有引力定律，并进一步导出了开普勒行星运动三定律。微积分学成了推动近代数学发展强大的引擎，同时也极大的推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展，并在这些学科中有着越来越广泛的应用。参考文献：[1]同济大学应用数学系.高等数学[m].北京：高等教育出版社,2008.1．高等数学概念高等数学概念2．湖南人民出版社出版图书湖南人民出版社出版图书3．高等教育出版社图书高等教育出版社图书微积分产生到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题(积分学的中心问题)。牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。牛顿牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法)。莱布尼茨德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者，1684年，他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》。就是这样一篇说理也颇含糊的文章，却有划时代的意义。它已含有现代的微分符号和基本微分法则。1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。微积分学的创立的意义微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。前面已经提到，一门科学的创立决不是某一个人的业绩，他必定是经过多少人的努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的。微积分也是这样。不幸的是，由于人们在欣赏微积分的宏伟功效之余，在提出谁是这门学科的创立者的时候，竟然引起了一场悍然大波，造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立。英国数学在一个时期里闭关锁国，囿于民族偏见，过于拘泥在牛顿的“流数术”中停步不前，因而数学发展整整落后了一百年。其实，牛顿和莱布尼茨分别是自己独立研究，在大体上相近的时间里先后完成的。比较特殊的是牛顿创立微积分要比莱布尼茨早10年左右，但是正式公开发表微积分这一理论，莱布尼茨却要比牛顿发表早三年。他们的研究各有长处，也都各有短处。那时候，由于民族偏见，关于发明优先权的争论竟从1699年始延续了一百多年。应该指出，这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样，牛顿和莱布尼茨的工作也都是很不完善的。他们在无穷和无穷小量这个问题上，其说不一，十分含糊。牛顿的无穷小量，有时候是零，有时候不是零而是有限的小量；莱布尼茨的也不能自圆其说。这些基础方面的缺陷，最终导致了第二次数学危机的产生。直到19世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认真研究，建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为了微积分的坚定基础。才使微积分进一步的发展开来。任何新兴的、具有无量前途的科学成就都吸引着广大的科学工作者。在微积分的历史上也闪烁着这样的一些明星：瑞士的雅科布·贝努利和他的兄弟约翰·贝努利、欧拉、法国的拉格朗日、柯西……欧氏几何也好，上古和中世纪的代数学也好，都是一种常量数学，微积分才是真正的变量数学，是数学中的大革命。微积分是高等数学的主要分支，不只是局限在解决力学中的变速问题，它驰骋在近代和现代科学技术园地里，建立了数不清的丰功伟绩。编辑本段基本内容1.数学分析研究函数，从量的方面研究事物运动变化是微积分的基本方法。这种方法叫做数学分析。本来从广义上说，数学分析包括微积分、函数论等许多分支学科，但是现在一般已习惯于把数学分析和微积分等同起来，数学分析成了微积分的同义词，一提数学分析就知道是指微积分。微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学。2.微积分微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等。积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。3.微积分是与科学应用联系着发展起来的微积分是与科学应用联系着发展起来的。最初，牛顿应用微积分学及微分方程对第谷浩瀚的天文观测数据进行了分析运算，得到了万有引力定律，并进一步导出了开普勒行星运动三定律。此后，微积分学成了推动近代数学发展强大的引擎，同时也极大的推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。编辑本段一元微分定义设函数y=f(x)在某区间内有定义，x0及x0+Δx在此区间内。如果函数的增量Δy=f(x0+Δx)–f(x0)可表示为Δy=AΔx+o(Δx)（其中A是不依赖于Δx的常数），而o(Δx)是比Δx高阶的无穷小，那么称函数f(x)在点x0是可微的，且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分，记作dy，即dy=AΔx。通常把自变量x的增量Δx称为自变量的微分，记作dx，即dx=Δx。于是函数y=f(x)的微分又可记作dy=f'(x)dx。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。几何意义设Δx是曲线y=f(x)上的点M的在横坐标上的增量，Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量，dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。当|Δx|很小时，|Δy－dy|比|Δx|要小得多(高阶无穷小)，因此在点M附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。编辑本段多元微分多元微分多元微分又叫全微分，是由两个自变量的偏导数相对应的一元微分的增量表示的。ΔZ=A*ΔX+B*ΔY+ο(ρ)为函数Z在点（x、y)处的全增量，（其中A、B不依赖于ΔX和ΔY，而只与x、y有关，ρ=[（x∧2+y∧2)]∧(1\2),A*ΔX+B*ΔY即是Z在点的全微分。总的来说，微分学的核心思想便是以直代曲，即在微小的邻域内，可以用一段切线段来代替曲线以简化计算过程。积分有两种定积分和不定积分。积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。在应用上，定积分作用不仅如此，它被大量应用于求和，通俗的说是求曲边三角形的面积，这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。一个函数的不定积分（亦称原函数）指另一族函数，这一族函数的导函数恰为前一函数。其中：[F(x)+C]'=f(x)一个实变函数在区间[a,b]上的定积分，是一个实数。它等于该函数的一个原函数在b的值减去在a的值。定积分和不定积分的定义迥然不同，定积分是求图形的面积，即是求微元元素的累加和，而不定积分则是求其原函数，它们又为何通称为积