微积分下学期末试卷及答案

第1页共25页微积分下期末试题（一）一、填空题(每小题3分,共15分)1、已知22(,)yfxyxyx,则),(yxf___2(1)1xyy__________.2、已知,dxex2则dxexx021___________.3、函数22(,)1fxyxxyyy在点取得极值.4、已知yyxxyxfarctan)arctan(),(,则)0,1(xf__1______.5、以xexCCy321)((21,CC为任意常数)为通解的微分方程是____________________.6'0yyy二、选择题(每小题3分,共15分6知dxexp0)1(与epxxdx11ln均收敛,则常数p的取值范围是(C).(A)1p(B)1p(C)12p(D)2p7数0,00,4),(222222yxyxyxxyxf在原点间断,是因为该函数(B).(A)在原点无定义(B)在原点二重极限不存在(C)在原点有二重极限,但无定义(D)在原点二重极限存在,但不等于函数值)32,31(第2页共25页8、若22223111xyIxydxdy,222232121xyIxydxdy,222233241xyIxydxdy,则下列关系式成立的是(A).(A)123III(B)213III(C)123III(D)213III9、方程xexyyy3)1(596具有特解(D).(A)baxy(B)xebaxy3)((C)xebxaxy32)((D)xebxaxy323)(10、设12nna收敛，则1)1(nnna(D).(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)不定11、求由23xy,4x,0y所围图形绕y轴旋转的旋转体的体积.解：32yx的函数为23,0xyy。且4x时，8y。于是)6()3(分分2488223300837730(4)16(80)33128128(80)775127Vydyydyy第3页共25页12、求二重极限11lim222200yxyxyx.解：原式11)11)((lim22222200yxyxyxyx(3分)2)11(lim2200yxyx(6分)13、),(yxzz由xyezz确定，求yxz2.解：设(,,)zFxyzzexy，则xFy，yFx，1zzFe11xzzzzFyyxFee，11yzzzFzxxyFee(3分)222111(1)1(1)zzzzzzzzeyezyexyyxyyeeee(6分)14、用拉格朗日乘数法求221zxy在条件1yx下的极值.解：222(1)1222zxxxx令'420zx,得12x,40z,12x为极小值点.(3分)故221zxy在1yx下的极小值点为11(,)22,极小值为32(6分)第4页共25页15、计算1212dxedyyyyx.解：2112123182xyyyIdyedxee(6分)16、计算二重积分22()Dxydxdy，其中D是由y轴及圆周221xy所围成的在第一象限内的区域.解：22()Dxydxdy＝13200drdr＝8(6分)17、解微分方程xyy.解：令yp,py,方程化为xpp,于是)(1)1()1(Cdxexepdxdx)(1Cdxexexx])1([1CexexxxeCx1)1((3分)2121)1(21])1([CeCxdxeCxdxpyxx(6分)18、判别级数)11(133nnn的敛散性.解：333321111nnnn(3分)因为333311limlim1111nnnnnnnnnn第5页共25页19、将函数x31展开成x的幂级数,并求展开式成立的区间.解：由于3113131xx,已知011nnxx,11x,(3分)那么01031)3(3131nnnnnxxx,33x.(6分20、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入R(万元)与电台广告费用1x(万元)的及报纸广告费用2x(万元)之间的关系有如下的经验公式:222121211028321415xxxxxxR，求最优广告策略解：公司利润为22212121211028311315xxxxxxxxRL令,020831,04813211221xxLxxLxx即,31208,13842121xxxx得驻点)25.1,75.0()45,43(),(21xx,而(3分)0411xxLA,821xxLB,2022xxLC,064802BACD,所以最优广告策略为：电台广告费用75.0(万元),报纸广告费用25.1(万元).(6分)第6页共25页四、证明题(每小题5分,共10分)21、设1133ln()zxy，证明：13zzxyxy.证：2233113311113333,xyzzxyxyxy22、若12nnu与12nnv都收敛,则12)(nnnvu收敛.证：由于)(22)(022222nnnnnnnnvuvuvuvu,(3分)并由题设知12nnu与12nnv都收敛,则)(2212nnnvu收敛,从而12)(nnnvu收敛。(6分)第7页共25页微积分下期末试题（二）一、填空题(每小题3分,共15分)1、设)(yxfyxz，且当0y时，2xz，则z。答案（2222xxyyy）2、计算广义积分13xdx=。答案（12）3、设xyez，则)1,1(dz。答案（)(dydxe）4、微分方程xxeyyy265具有形式的特解.答案（xebxax22)(）5、设14nnu，则11122nnnu_________。答案（1）二、选择题(每小题3分,共15分)1、2222003sin()limxyxyxy的值为（A）A.3B.0C.2D.不存在2、),(00yxfx和),(00yxfy存在是函数),(yxf在点),(00yx可微的（A）。A.必要非充分的条件；B.充分非必要的条件；C.充分且必要的条件；D.即非充分又非必要的条件。3、由曲面zxy422和z0及柱面xy221所围的体积是（D）。A.ddrrr420202；B.122004d4drr；C、21200d4drr；D.4420102ddrrr第8页共25页4、设二阶常系数非齐次线性方程()ypyqyfx有三个特解xy1，xey2，xey23，则其通解为（C）。A.xxeCeCx221；B.xxeCeCxC2321；C.)()(221xxxexCeeCx；D.)()(2221xeCeeCxxx5、无穷级数11)1(npnn(p为任意实数)（D）A、收敛B、绝对收敛C、发散D、无法判断三、计算题(每小题6分,共60分)1、求下列极限：00lim11xyxyxy。解：00lim11xyxyxy00(11)lim(1)1xyxyxyxy…（3分）00lim(11)112xyxy…（6分）2、求由xy与直线1x、4x、0y所围图形绕x轴旋转的旋转体的体积。解：421()dxVxx…（4分）7.5…（6分）3、求由xyzez所确定的隐函数),(yxzz的偏导数,zzxy。解：方程两边对x求导得:xzxyyzxzez,有)1(zxzxyeyzxzz…（3分）第9页共25页方程两边对y求导得:yzxyxzyzez,有)1(zyzxyexzyzz…（6分）4、求函数322(,)42fxyxxxyy的极值。解：322(,)42fxyxxxyy，则2(,)382xfxyxxy，(,)22yfxyxy，(,)68xxfxyx，(,)2xyfxy，(,)2yyfxy，求驻点，解方程组23820220xxyxy，，得)0,0(和(2,2).…（2分）对)0,0(有(0,0)80xxf，(0,0)2xyf，(0,0)2yyf，于是2120BAC，所以)0,0(是函数的极大值点，且(0,0)0f…（4分）对(2,2)有(2,2)4xxf，(2,2)2xyf，(2,2)2yyf，于是2120BAC，(2,2)不是函数的极值点。6、计算积分Ddxy,其中D是由直线xyxy2,及2,1xx所围成的闭区域；解：221xxDyyddxdyxx.…（4分）213924xdx…（6分）7、已知连续函数)(xf满足xxxxfdttf0)(2)(，且0)1(f，求)(xf。解：关系式两端关于x求导得：第10页共25页1)(2)(2)(xfxxfxf即xxfxxf21)(21)(…（2分）这是关于f)(x的一阶线性微分方程，其通解为：))21(()(22cexexfxdxxdx=1)(1xccxx…（5分）又0)1(f，即01c，故1c，所以11)(xxf…（6分）8、求解微分方程212yyy=0。解：令yp，则dpypdy，于是原方程可化为：2201dpppdyy…（3分）即201dppdyy，其通解为22111(1)dyypcecy…（5分）21)1(ycdxdy即dxcydy12)1(故原方程通解为：2111cxcy…（6分）9、求级数31(2)nnxn的收敛区间。解：令2tx,幂级数变形为31nntn,3311limlim1ntnnnanRan.…（3分）当1t时,级数为301(1)nnn收敛；第11页共25页当1t时,级数为311nn发散.故31nntn的收敛区间是)1,1[tI,…（5分）那么31(2)nnxn的收敛区间为[1,3)xI.…（6分）10、判定级数1!)2sin(nnnx是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛。解：因为sin(2)1!!nxnn…（2分）由比值判别法知11!nn收敛(1(1)!lim01!nnn)，…（4分）从而由比较判别法知1sin(2)!nnxn收敛，所以级数1sin(2)!nnxn绝对收敛.…（6分）四、证明题(每小题5分,共10分)1、设正项级数1nnu收敛,证明级数11nnnuu也收敛。证：)(2111nnnnuuuu，…（3分）而由已知)(211nnuu收敛，故由比较原则，1nnuu也收敛。…（5分）2、设)(22yxfyz,其中)(uf为可导函数,证明211yzyzyxzx.第12页共25页证明：因为22ffxyxz,…（2分）222ffyfyz…（4分）所以22221