高中数学专题：导数压轴分析

导数压轴分析高考导数解答题历年都放在最后一题，很多学生在碰到这个题的时候都是自动放弃，其实这种题目有它独特的解题思路和方法。有的题目需要用到函数的构造，有的需要用数学归纳法，有的需要分析法，有的需要放缩法，而现在全国高考题最后一题有时与数列相结合来考察，下面给大家介绍几个常见的例子来介绍这种题目的题型和解题方法，当然要完全掌握做法，还需要大量的实践练习!题型一：导数与构造+前面小题特殊值对应不等式的使用例.（2009年湖北高考题）已知函数)(xf＝ax＋cxb)0(a的图像在点（1，f（1））处的切线方程为y＝x－1．（1）用a表示出b，c；（2）若)(xf≥xln在[1，＋∞)上恒成立，求a的取值范围；（3）证明：11123…＋n1ln(1)(1)2(1)nnnn．解析：（Ⅰ）f’（x）=a－2xb，则有{1)1('0)1(bafcbaf，解得{acab211（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=ax+xa1+1－2a。令g（x）=f（x）-㏑x=ax+xa1+1－2a-㏑x，x∈[1，+∞]，则g（1）=0，g’（x）=a－21xa－x1=22)1(xaxax=2)1)(1(xaaxxa1）当0a21时，aa1﹥1。若1xaa1，则g’（x）0，g（x）是减函数，所以g（x）g（1）=0，即f（x）﹥㏑x,故f（x）≧㏑x在[1，+∞）上不恒成立。2）当a21时，,11aa若1x，则g’（x）0,g(x)是增函数，所以g(x)g(1)=0,即f(x)lnx.故当x1f(x)lnx.综上所述，所求a的取值范围是,21+∞）。3.当a21时，有f(x)lnx(x1)，令a=21,有f(x)=21(x-x1)lnx,令x=kk1，有)]111()11[(21]11[211lnkkkkkkkk＜即ln(k+1)-lnknkkk....3,2,1,11121上述n个不等式依次相加得到结果，即得到11123……n1(1)(1)2(1)nInnnn注：函数导数的联合考查，第一问两个方程联立即可得出结果，第二问需要求导转化函数方程，考查一元二次方程的相关知识，容易得到范围，第三问需要把对数函数进行变形，把一个对数函数转化成n个对数函数的相加减，然后裂开进行求和即可得到结果。练习：1.（2016届武汉市起点考试）已知函数f（x）=lnx+ax+1，a∈R．（Ⅰ）若不等式f（x）≤0恒成立，求a的取值范围；（Ⅱ）数列{an}中，a1=2，2an+1=an+1，数列{bn}满足bn=nlnan，记{bn}的前n项和为Tn．求证：Tn＜4﹣．2.（2011年湖北省高考）（Ⅰ）已知函数()1fxInxx，(0,)x，求函数()fx的最大值；（Ⅱ）设kkba,(1,2k…，)n均为正数，证明：（1）若1122abab…nnab12bb…nb，则12121nbbbnaaa；（2）若12bb…nb=1，则2222121......121nbnbbbbbbbbnn题型二：导数与数学归纳法例：（2012年湖北高考题）（I）已知函数f（x）=rx-xr+（1-r）（x0），其中r为有理数，且0r1.求f（x）的最小值；（II）试用（I）的结果证明如下命题：设a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数，若b1+b2=1，则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2；（III）请将（II）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法．．．．．证明你所推广的命题。注：当α为正有理数时，有求道公式(xα）r=αxα-1解析：（Ⅰ）11()(1)rrfxrrxrx，令()0fx，解得1x.当01x时，()0fx，所以()fx在(0,1)内是减函数；当1x时，()0fx，所以()fx在(1,)内是增函数.故函数()fx在1x处取得最小值(1)0f.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当(0,)x时，有()(1)0fxf，即(1)rxrxr①若1a，2a中有一个为0，则12121122bbaaabab成立；若1a，2a均不为0，又121bb，可得211bb，于是在①中令12axa，1rb，可得1111122()(1)baabbaa，即111121121(1)bbaaabab，亦即12121122bbaaabab.综上，对120,0aa，1b，2b为正有理数且121bb，总有12121122bbaaabab.（Ⅲ）（Ⅱ）中命题的推广形式为：设12,,,naaa为非负实数，12,,,nbbb为正有理数.若121nbbb，则12121122nbbbnnnaaaababab.③用数学归纳法证明如下：（1）当1n时，11b，有11aa，③成立.（2）假设当nk时，③成立，即若12,,,kaaa为非负实数，12,,,kbbb为正有理数，且121kbbb，则12121122kbbbkkkaaaababab.当1nk时，已知121,,,,kkaaaa为非负实数，121,,,,kkbbbb为正有理数，且1211kkbbbb，此时101kb，即110kb，于是111212121121()kkkkbbbbbbbbkkkkaaaaaaaa=12111111111121()kkkkkkbbbbbbbbkkaaaa.因121111111kkkkbbbbbb，由归纳假设可得1211111112kkkkbbbbbbkaaa1212111111kkkkkbbbaaabbb112211kkkabababb，从而112121kkbbbbkkaaaa1111122111kkbbkkkkabababab.又因11(1)1kkbb，由②得1111122111kkbbkkkkabababab11221111(1)1kkkkkkabababbabb112211kkkkabababab，从而112121kkbbbbkkaaaa112211kkkkabababab.故当1nk时，③成立.由（1）（2）可知，对一切正整数n，所推广的命题成立.说明：1.（Ⅲ）中如果推广形式中指出③式对2n成立，则后续证明中不需讨论1n的情况.2.数学归纳法在使用的时候，不仅要n=k+1时所证的结果与n=k的结论始终保持结构的一致还要在n=k+1时题目中的条件也复合n=k时的条件！特别要注意题目中1211kkbbbb到121111111kkkkbbbbbb变形的意义以及技巧的积累！练习：1.（2013年武汉二调）(I)已知函数)1,0,0()()(2)(1paxaxaxxfpppp，求f(x)的最小值；(II)证明：2)2(pppbaba，其中a0,bO,P1；(III)证明naaanaaapnpppn21121)(其中a1,a2,…an0,p1,*Nn题型三：导数与数列的和（1nnnSSa）例：已知函数ln()1xxfxx和直线:(1)lymx．（Ⅰ）当曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线与直线l垂直时，求原点O到直线l的距离；（Ⅱ）若对于任意的[1,),()(1)xfxmx恒成立，求m的取值范围；（Ⅲ）求证：421ln21.()41niinniN．解析：（Ⅰ）21ln()(1)xxfxx∴1(1)2f，于是2m，直线l的方程为220xy原点O到直线l的距离为255（Ⅱ）ln1(),[1,),()(1),ln()1xxfxxfxmxxmxxx即，设1()ln()gxxmxx，即[1,),()0xgx22211()(1)mxxmgxmxxx①若0m，存在x使()0gx，()(1)0gxg，这与题设()0gx矛盾②若0m，方程20mxxm的判别式214m，当0，即12m时，()0gx，∴()gx在(1,)上单调递减，∴()(1)0gxg，即不等式成立当102m时，方程20mxxm，设两根为12,xx，221212114114()(0,1),(1,)22mmxxxxmm当2(1,),()0,()xxgxgx单调递增，()(1)0gxg与题设矛盾，综上所述，12m（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当1x时，12m时，11ln()2xxx成立．不妨令21,()21kxkkN所以221121214()212212141kkkkkkkk214[ln(21)ln(21)],()441kkkkkN22211(ln3ln1)441112(ln5ln3)44211(ln(21)ln(21))441nnnn累加可得211ln(21)441niini()nN．421ln2141niini()nN练习：1.（2015届武汉市调考）已知e=2.71828...是自然对数的底数。（Ⅰ）求函数2()ln(1)2xfxxx在0,上的最小值;（Ⅱ）求证13ln220；（Ⅲ）求证294ln2ln3ln4...ln(1)(1,)10(1)nnnnnNn.2.已知函数)1,0(,2)1ln()(2kkxkxxxf且．（Ⅰ）当2k时，求曲线)(xfy在点))1(,1(f处的切线方程；[来源:学科网ZXX（Ⅱ）求)(xf的单调减区间；（Ⅲ）当0k时，设)(xf在区间)](,0[*Nnn上的最小值为nb，令nnbna)1ln(，求证：)(,112*2421231423121Nnaaaaaaaaaaaaannn