微积分在物理竞赛中的应用

求解在立体斜面上滑动的物体的速度一物体放在斜面上，物体与斜面间的摩擦因数恰好满足tg，为斜面的倾角。今使物体获得一水平速度0V而滑动，如图一，求：物体在轨道上任意一点的速度V与的关系，设为速度与水平线的夹角。解：物体在某一位置所受的力有：重力G，弹力N以及摩擦力f。摩擦力f总是与运动速度V的方向相反，其数值sincoscosmgmgtgmgNf重力在斜面上的分力为1G，如图二，将1G分解为两个分力：1G是1G沿轨迹切线方向的分力，sinsinsin11mgGG；1G是沿轨迹法向的分力，cossincos11mgGG，如图三。根据牛顿运动定律，得运动方程为mafG1（1）nmaG1（2）由（1），)1(sinsin)sinsinsin(1gmgmgma而,dtdVa得到,)1(sinsindtgdV（3）式中是t的函数，但是这个函数是个未知函数，因此还不能对上式积分，要设法在与t中消去一个变量，才能积分，注意到dddsVVdSdt1（4）而dds表示曲线在该点的曲率半径，根据（2）式，2cossinVmmg（5）由式（3）（4）（5），可得到,)sec(dtgVdVdtgVdVVV00)sec(，积分，得到)sin1ln()ln(seccoslnln0tgVV，.sin10VV运用积分法求解链条的速度及其时间一条匀质的金属链条，质量为m，挂在一个光滑的钉子上，一边长度为1L，另一边长度为,2L而且120LL，如图一。试求：链条从静止开始滑离钉子时的速度和所需要的时间。解：设金属链条的线密度为.21LLm当一边长度为xL1，另一边长度为xL2时受力如图二所示，则根据牛顿运动定律，得出运动方程,)()(11axLTgxL.)()(22axLgxLT则.2)(2121gLLxLLa因为dxVdVdtdxdxdVdtdVa，所以,2)(2121gLLxLLdxVdVxVgdxLLxLLVdV0212102)(.)(222121xxLLLLgV令,2Lx可以求得链条滑离钉子时的速度大小21212LLgLLV再由,dtdxV得到22121)(2xxLLLLgdtdx,20210221dtLLgxxLLdxtx）（积分，得到,2])(2)(2ln[21022121tLLgxxLLLLxx,2)(2)(2ln212122121tLLgLLxxLLLLx令x=2L,可以求得链条滑离钉子所需的时间为.ln22ln221212121212121LLLLgLLLLLLLLgLLt求解棒下落过程中的最大速度在密度为1的液体上方有一悬挂的长为L,密度为2的均匀直棒，棒的下端刚与液面接触。今剪断细绳，棒在重力和浮力的作用下下沉，若21，求：棒下落过程中的最大速度。解：剪断细绳后，直棒在下沉过程中受到重力G和浮力F的作用，如图一所示。根据牛顿运动定律，有.dtdVmFmg（1）随着棒往下沉，浮力逐渐增大。当直棒所受合力为零，即mgF时，棒的加速度为零，速度最大。设棒达到最大速度时，棒浸入液体中的长度为1L，设棒的截面积为S，则有,211SLggSL解得，.121LL（2）取x坐标如图所示，则（1）式可以写为.212dtdVSLSxgSLg做变量代换，令,dxdVVdtdxdxdVdtdV代入上式，得到;)1(21VdVgdxLx两边积分，得到110021)1(VLVdVgdxLx得到，212121121)21(VLLggL将（2）式代入（3）式，得棒的最大速度为.121LgV运用微分法求解阻尼平抛质量为m的物体，以初速为0V，方向与地面成0角抛出。如果空气的阻力不能忽略，并设阻力与速度成正比，即Vkf，k为大于零的常数。求：物体的运动轨道。解：根据受力情况，列出牛顿运动定律方程amfgm其分量式，,xxxmakVf（1）yymakVmg（2）将dtdVaxx代入式（1），得,dtdVmkVxx改写成,dtmkVdVxxxxVVtxxdtVdV00,mk两边积分，得到.cos00tmktmkxxeVeVV可见由于空气阻力的存在，x方向的速度不再是常数，而随时间逐渐衰减。由于,dtdxVx再积分，并以t=0时x=0,代入得到).1(cos)1(000tmktmkxekVekmVx（3）同理，由于,dtdVayy式（2）转化为),(yyyVkmgmkVmkgdtdV.dtmkVkmgdVyy积分，并以t=0时，000sinVVVyy代入，得到.)sin(00kmgekmgVVtmky可见，y方向的速度也不再是匀减速的。再将上式对时间积分，并以t=0时y=0代入，得到.)1)(sin(00tkmgekmgVkmytmk（4）由（3）（4）两式消去t,得到有阻力时的轨道方程).cos1ln()cos1ln()cos(0220022000xmVkkgmxmVkkgmxkVmgtgy显然由于空气阻力的作用，抛体的轨道不再是简单的抛物线了，实际轨道将比理想轨道向左下方偏离，如图一。例如：以初速620m/s,仰角045发射的步枪子弹的射程，没有空气阻力时应为40km,而实际射程只有4km.求解飞机的滑行距离飞机以0V的水平速度触地滑行着陆。滑行期间受到空气的阻力为2VCx，升力为2VCy，其中V是飞机的滑行速度。设飞机与跑道间的摩擦系数为，试求：飞机从触地到停止所滑行的距离。解：取飞机触地点为坐标原点，取飞机滑行方向为x轴。飞机在水平方向上受力为：摩擦力Nf，空气阻力为2VCfx；在竖直方向上受力为：重力、支持力和升力,2VCFy如图一所示，应用牛顿第二定律，得到dtdVmVCNx2.02mgVCNy由上两式消去N，得到.)(2VCCmgdtdVmyx利用,dxdVVdtdxdxdVdtdV得到.)(2VCCmgdxdVmVyx分离变量，积分VVxyxdxVCCmgmVdV002)(，得到].)()(ln[)(2202VCCmgVCCmgCCmxyxyxyx在飞机触地的瞬间，,0VV支持力N=0,由运动方程，得到.20mgVCy于是].)(ln[)(22022020VCVCCVCCCgVCxxyxyyyy这就是飞机从触地到停止所滑行的距离。社5,/900xyCChkmV（升阻比），10.0。代入数值计算后，得到x=221m.求解阻尼自由落体和阻尼竖直上抛的相遇问题两小球的质量均为m，小球1从离地面高度为h处由静止下落，小球2在小球1的正下方地面上以初速0V同时竖直上抛。设空气阻力与小球的运动速率成正比，比例系数为k(常量)。试求：两小球相遇的时间、地点以及相遇时两小球的速度。解：两小球均受重力和阻力作用，取坐标如图一所示，两小球的运动方程可统一表示为,22mgkVdtydm它们运动状态的差别仅由于初始条件的不同而引起的，故,gVmkdtdV分离变量.dtgVmkdV对于小球1，初始条件为0t时，,,01010hyV故,100VtdtgVmkdV).1(1tmkekmgV(1)对于小球2，初始条件是t=0时，,0,20020yVV故10,0VVtdtgmkdV得到.02kmgekmgVVtmk）（（2）由（1）式，得到),1(1tmkekmgdtdydtekmgdytmk)1(1101)1(yhttmkdtekmgdy积分，得到.)1(221tkmgekgmhytmk由式（2）得到,)(02kmgekmgVdtdytmkdtkmgekmgVdytmk])[(02dtkmgekmgVdyttmky0002])[(2积分，得到tkmgekmgVkmytmk)(02两小球相遇时，,21yy相遇时间为*t，由（3（4）两式，得到)1(*0tmkeVkmh，,10*mVkhetmk故),1ln(0*mVkhkmt把上述结果代入（3）或者（4），得到两小球相遇的地点).1ln()1(0220*mVkhkgmhkVmgy代入（1）（2），得到两小球相遇时的速度;)]1(1[00*1VghmVkhkmgV.)()1)((0000*2mkhVghVkmgmVkhkmgVV讨论：（1）当阻力很小时，即当0k时，利用展开式,2)1ln(2xxx上述结果简化为.,;2;00*20*120*0*VghVVVghVVghhyVht这正是不考虑空气阻力时的结果。（2）当考虑如提设的空气阻力时，由上述结果可知，只在下述条件下,0khmV或者,0mkhV两小球才有可能相遇。在非惯性系中求解球环系统的运动情况一轻绳的两端分别连接小球A和小环B，球与环的质量相等，小环B可在拉紧的钢丝上作无摩擦的滑动，如图一。现使小球在图示的平面内摆动。求：小球摆离铅垂线的最大角度时小环和小球的加速度。解：当小球摆动时，小环沿钢丝做加速运动。以小环B为参考系，则小球受重力和绳子拉力外，还受惯性力BmaF惯的作用，如图二。其加速度Aa沿圆弧的切线方向。在最大摆角为时的运动方程为,0cossinmgFT惯AamFmgcossin惯小环B在水平方向的运动方程为BmaTsin.解方程，得到)sin1(sin2,)sin1(22sin22gagaAB。小球A相对地的加速度BAAaaa，取如图二所示的坐标系，则有,)sin1(22sincos2gaaaBAAx.)sin1(sin2sin22gaaAAy旋转液体的液面以等角速度ω旋转的液体，液面的形状如何求得？解答：假设它的剖面是一条曲线，Y轴是转轴，旋转面以Y轴为对称轴，此时在液面会得到一正压力R，R可以同时提供向心力，，和重力因此其中、都是常数，因此该剖面的曲线是拋物线，液面形状是该拋物线绕Y轴的旋转面。直接求sin(x)的导函数从几何上如何找到sin(x)的微分呢？解答：直接求sindd把θ变动△θ，sinθ从变到，我们要了解与△θ之比，△θ是一小段弦长，是斜线区域这个近似直角三角形的斜边，此与△θ之比之比可以想成是cosθ四只苍蝇飞行问题有四只苍蝇A,B,C,D分别位于平面上的﹙1,1﹚，﹙-1,1﹚，﹙-1,-1﹚，﹙1,-1﹚，之后它们一起以每秒1单位的速度行动，行动的方式为：A苍蝇一直向着B苍蝇靠近，B苍蝇一直向着C苍蝇靠近，C苍蝇一直向着D苍蝇靠近，D苍蝇一直向着A苍蝇靠近，试问：﹙1﹚四只苍蝇会在何处相遇？﹙2﹚它们多久会相遇？﹙3﹚找出A苍蝇的行动轨迹，并大致画出。﹙4﹚计算A苍蝇从开始到相遇的路径长。﹙5﹚苍蝇A会有什么样的生理反应？解答：﹙1﹚、﹙2﹚：从物理相对运动的点来看A的行进方向始终和B的行进方向保持垂直，你可以想象苍蝇移动了瞬间之后，方向就立即修正﹙参照图一、二、三﹚，由于四只苍蝇是做等速运动，所以每一时刻以四只苍蝇围出来的四边形会是正方形，﹙行进方向垂直加上等速﹚于是当时间愈久的时候，苍蝇愈来愈靠近，正方形愈来愈小，最后会内缩成一点，这一点会是原点，这就是他们相遇的地方。此外，A靠近B是垂直方向靠近，所以从B苍蝇看来，A还是以1单位/秒的等速向