微积分基本定理典型例题解析

1微积分基本定理典型例题解析一、填空题⒈设Gxttax()sind2，则Gx()．解：222sin2)()sin()(xxxxxG．⒉16244xxd－．解：由定积分的几何意义，此积分计算的是圆2224yx的上半部，故结果为8．3．(xxxaa5212)d－．解：由定积分的性质和奇偶函数在对称区间的性质得xxxxxxxxaaaaaaaad21d2dd)212(---5-5axxaa00dd21200二、单项选择题⒈dddxttxb(ln)2（）．A.2lnx；B.ln2t；C.ln2xD.ln2x解：xttxttxxbbx222ln)dln(dd)dln(dd，故选项D正确．⒉由曲线yfxygx(),()及直线xaxbab,()所围成的平面图形面积的计算公式是（）．A.(()())fxgxxabd；B.(()())gxfxxabd；C.gxfxxab()()d；D.(()())fxgxxabd解：A,B选项的积分可能出现负值，而D选项虽非负，但面积可能被抵消，故选项C正确．3．下列广义积分中，（）收敛．A.1dxx21；B.1dxx201；C.1dxx1；D.1dxx01解：对于1d1xxp，当p1时积分收敛；对于10d1xxp，当p1时积分收敛。故选项A正确．三、计算题⒈计算下列积分：⑴dxx4201⑵lnxxde１⑶dxxx221()１＋解：⑴将被积函数作变换21010102)d2121(41)2)(2(d4dxxxxxxxx3ln4122ln4110xx⑵由分部积分法得1de)d(lnlndlne1e1e1e1xxxxxxx⑶将被积函数作变换1122122)arctan1()d111()1(dxxxxxxxx41．⒉设xtttxF02d)429()(，求)2(,)1(,)0(,)(FFFxF．解：利用变上限定积分的结果得429)(2xxxF计算得xxxttttttxFxx43)43(d)429()(2302302由此得28)2(,6)1(,0)0(FFF⒊求由曲线2121,2xyxy和OX轴围成的平面图形的面积．解：所求平面图型如图所示，设此面积为S，有10201d)2121(d)02121(xxxxxS32)324()24(1032012xxxxx也可计算为32)32(d)]12([1022310yyyyyyS1-11Oyx