常微分方程期末复习提纲

第一章：绪论定义1:联系自变量、未知函数及未知函数导数（或微分）的关系式称为微分方程.一、常微分方程与偏微分方程如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，则这样的微分方程称为常微分方程.如果在一个微分方程中,自变量的个数为两个或两个以上,称为偏微分方程.二、微分方程的阶定义2：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为微分方程的阶数.)1(0),,dxdyy,F(x,nndxydn阶微分方程的一般形式为.,,,,,dxdyy,x,0),,dxdyy,F(x,是自变量是未知函数而且一定含有的已知函数是这里xydxyddxyddxydnnnnnn三线性和非线性0),,dxdyy,F(x,nndxyd.,,,dxdyy阶线性方程则称其为的一次有理式及的左端为ndxydnn1.如果方程不是线性方程的方程称为非线性方程2.n阶线性微分方程的一般形式111()()()(2)nnnnndydyaxaxyfxdxdx.)(),(),(1的已知函数是这里xxfxaxan四微分方程的解定义3:,),(满足条件如果函数Ixxy;)()1(阶的连续导数上有直到在nIxy,0))(),(),(,(:)2('xxxxFIxn有对.0),,dxdyy,F(x,(x)y上的一个解在为方程则称Idxydnn1显式解与隐式解是方程的一个则称的解为方程所确定的隐函数如果关系式0),(,0),,dxdyy,F(x,Ix(x),y0),(yxdxydyxnn相应定义4所定义的解为方程的一个显式解.隐式解.注:显式解与隐式解统称为微分方程的解.2特解与通解定义5如果微分方程的解中含有任意常数,且所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称这样的解为该方程的通解.n阶微分方程通解的一般形式为),,,(1nccxy.,,1为相互独立的任常数其中ncc定义4：在通解中给任意常数以确定的值而得到的解称为方程的特解.注1:使得行列式的某一邻域存在是指个独立常数含有称函数,),,,(,),,,(11nnccxnccxy0),,,(),,,()1(2)1(1)1('2'1'2121)1('nnnnnnnncccccccccccc.)(kkkdxd表示其中3定解条件为了从通解中得到合乎要求的特解,必须根据实际问题给微分方程附加一定的条件,称为定解条件.求满足定解条件的求解问题称为定解问题.常见的定解条件是初始条件,n阶微分方程的初始条件是指如下的n个条件:)1(01)1()1(000,,,,xxnnnydxydydxdyyy时当.1,,,,)1(0)1(000个常数是给定的这里nyyyxn当定解条件是初始条件时,相应的定解问题称为初值问题.五积分曲线和方向场1积分曲线一阶微分方程),(dxdyyxf,(x)y平面上的一条曲线所表示的解xy称为微分方程的积分曲线..,c)(x,y族称这族曲线为积分曲线平面上的一族曲线对应而其通解xy2方向场(,),(,),(,),(,),d(,)dfxyDDxyfxyxyyDfxyx设函数的定义域为在内每一点处都画上一个以的值为斜率中心在点的线段称带有这种直线段的区域为方程在方向场中,方向相同的点的几何轨迹称为等斜线.所规定的方向场..,),(,),(dxdy为参数其中的等斜线为方程kkyxfyxf第二章一阶微分方程的初等解法定义1形如)1.2()()(yxfdxdy方程,称为变量分离方程..,)(),(的连续函数分别是这里yxyxf),(yxFdxdy§2.1变量分离方程与变量变换一、变量分离方程的求解,10分离变量,)()(dxxfydy这样变量就“分离”开了.)2.2()()(cdxxfydy的某一原函数)(1y的某一原函数)(xf.)1.2(),()2.2(的解就为所确定的函数由cxy)1.2()()(yxfdxdy两边积分得02写成将时当)1.2(,0)(y二、可化为变量分离方程类型（I）齐次方程.,,,,,,)(222111222111为任意常数其中的方程形如cbacbacybxacybxafdxdyII(I)形如)5.2()(xygdxdy.)(的连续函数是这里uug方程称为齐次方程,求解方法:方程化为引入新变量作变量代换,)(10xyu,)(xuugdxdu)(udxduxdxdy这里由于解以上的变量分离方程02.30变量还原(II)形如,222111cybxacybxadxdy.,,,,,222111为常数这里cbacba的方程可经过变量变换化为变量分离方程.分三种情况讨论的情形0121cc)(2211xygxybaxybaybxaybxadxdy2211为齐次方程,由(I)可化为变量分离方程.的情形022121bbaa则方程可改写成设,2121kbbaa222111cybxacybxadxdy则方程化为令,22ybxaudxdu)(22ybxaf222122)(cybxacybxak)(22ufbadxdyba22这就是变量分离方程不同时为零的情形与且21212103ccbbaa,00222111cybxacybxa则).0,0(),(,解以上方程组得交点平面两条相交的直线代表xy作变量代换(坐标变换),yYxX则方程化为YbXaYbXadXdY2211为(1)的情形,可化为变量分离方程求解.解的步骤:,0012221110cybxacybxa解方程组,yx得解方程化为作变换,20yYxXYbXaYbXadXdY2211)(XYg离方程将以上方程化为变量分再经变换,30XYu求解04变量还原05注:上述解题方法和步骤适用于更一般的方程类型.)()(2211222111XYgYbXaYbXafdXdYcybxacybxafdxdy此外,诸如)(cbyaxfdxdy0)()(dyxyxgdxxyyf)(2xyfdxdyx)(2xyxfdxdycbyaxuxyu2xyuxyu§2.2线性方程与常数变易法0)()()(xcyxbdxdyxa一阶线性微分方程的区间上可写成在0)(xa)1()()(xQyxPdxdy的连续函数在考虑的区间上是这里假设xxQxP)(),(变为则若)1(,0)(xQ)2()(yxPdxdy称为一阶齐次线性方程)2(称为一阶非齐线性方程则若)1(,0)(xQ一一阶线性微分方程的解法-----常数变易法解对应的齐次方程01()(2)dypxydx得对应齐次方程解常数变易法求解02))1(),((的解使它为的待定函数变为将常数xcxc为任意常数cdxceyxp,)(则的解为令,)1()()(dxxpexcy)1()()(xQyxPdxdydxxpdxxpexpxcedxxdcdxdy)()()()()(代入(1)得dxxpexQdxxdc)()()(积分得~)()()(cdxexQxcdxxp的通解为故)1(30)3())((~)()(cdxexQeydxxpdxxp注求(1)的通解可直接用公式(3)方程伯努利二)(Bernoulli形如nyxQyxpdxdy)()(的方程,称为伯努利方程.。xxQxP的连续函数为这里)(),(解法:方程变为引入变量变换,110nyz)()1()()1(xQnzxPndxdz求以上线性方程的通解02变量还原03§2.3恰当方程与积分因子一、恰当方程的定义及条件则它的全微分为是一个连续可微的函数设,),(yxuudyyudxxudu如果我们恰好碰见了方程0),(),(dyyyxudxxyxu就可以马上写出它的隐式解.),(cyxu0),(),(dyyyxudxxyxu定义1使得若有函数),,(yxudyyxNdxyxMyxdu),(),(),(则称微分方程)1(,0),(),(dyyxNdxyxM是恰当方程..),()1(cyxu的通解为此时如0ydxxdy0)2()3(322dyxyxdxyyx0)()(dyygdxxf是恰当方程.)(xyd)(23xyyxd))()((ydygxdxfd1恰当方程的定义需考虑的问题(1)方程(1)是否为恰当方程?(2)若(1)是恰当方程,怎样求解?(3)若(1)不是恰当方程,有无可能转化为恰当方程求解?2方程为恰当方程的充要条件定理1则方程偏导数中连续且有连续的一阶域在一个矩形区和设函数,),(),(RyxNyxM)1(,0),(),(dyyxNdxyxM为恰当方程的充要条件是).2(,),(),(xyxNyyxM)1(,0),(),(dyyxNdxyxM二、恰当方程的求解1不定积分法.,0),(),(10若是进入下一步是否为恰当方程判断dyyxNdxyxM，ydxyxMyxu)(),(),(20求).(),(30yyxNyu求由2分组凑微法采用“分项组合”的方法,把本身已构成全微分的项分出来,再把余的项凑成全微分.---应熟记一些简单二元函数的全微分.如xdyydx2yxdyydx2xxdyydx),(xyd),(yxd),(xyd22yxxdyydxxyxdyydx22yxxdyydx|),|(lnyxd),(arctanyxd).(ln21yxyxd三、积分因子非恰当方程如何求解?对变量分离方程:,0)()(dxyxfdy不是恰当方程.得方程两边同乘以,)(1y,0)()(1dxxfdyy是恰当方程.xyyxf)(10))((对一阶线性方程:,0))()((dxxQyxPdy不是恰当方程.得方程两边同乘以,)(dxxPe,0))()(()()(dxxQyxPedyedxxPdxxP则或左边()()(())PxdxPxdxdeyQxedx,0是恰当方程.可见,对一些非恰当方程,乘上一个因子后,可变为恰当方程.()()()PxdxPxdxepxex()(()())PxdxepxyQxy1定义使得如果存在连续可微函数,0),(yx0),(),(),(),(dyyxNyxdxyxMyx.)1(),(,的一个积分因子是方程则为恰当方程yx)1(,0),(),(dyyxNdxyxM2积分因子的确定(,)(,)(,)0:xyMxydxNxydy是方程的积分因子的充要条件是xyxNyxyyxMyx),(),(),(),()(xNyMyMxN(,)(,)0(,)(),MxydxNxydyxxyx如果方程存在仅与有关的积分因子则这时方程,0y)(xNyMyMxN变成dxNxNyMd)()(xNyMdxdN即,有关由于上式左侧仅与x,的函数的微分所以上式右侧只能是x(,)(,)0MxydxNxydyx从而微分方程有一个仅依赖于的积分因子的必要条件是)10(,)(NxNyM此时求得积分因子NxNyMx)()(这里,)()(dxxex.),(无关而与的函数只是yxx.),()10(无关而与的函数只是若yxx,)()(dxxex则。dyyxNdxyxM一个积分因子是方程0