极限存在准则及两个重要极限

二、两个重要极限一、函数极限与数列极限的关系及夹逼准则第五节机动目录上页下页返回结束极限存在准则及两个重要极限第二章一、函数极限与数列极限的关系及夹逼准则1.函数极限与数列极限的关系定理1.Axfxx)(lim0:nx,0xxn有定义,),(0nxxnAxfnn)(lim为确定起见,仅讨论的情形.0xx有)(nxfxnx机动目录上页下页返回结束定理1.Axfxx)(lim0)(,0nnxfxx有定义,且设,)(lim0Axfxx即,0,0当有.)(Axf:nx)(,0nnxfxx有定义,且对上述,时,有于是当Nn时.)(Axfn故Axfnn)(lim可用反证法证明..)(limAxfnn有证：当xyA,N“”“”0x机动目录上页下页返回结束假定当)(,0xfxx时不以A为极限.这是指:存在某一正数取多么小,总可以找到一个,虽然,00*xx但.)(0*Axf现取,/1,,2/1,1n根据上面所说,恒能找到相应的一串数,,,,21nxxx使得;)(,/10;)(,2/10;)(,100002020101AxfnxxAxfxxAxfxxnn从左边一列可以看出而右边一列却说明数列)}({nxf不以A为极限,这与假设矛盾.证毕.定理1.Axfxx)(lim0)(,0nnxfxx有定义且.)(limAxfnn有说明:此定理常用于判断函数极限不存在.法1找一个数列,0xxn不存在.)(limnnxf使法2找两个趋于的不同数列nx及,nx使)(limnnxf)(limnnxf)(x)(nx机动目录上页下页返回结束例1.证明不存在.证:取两个趋于0的数列nxn21及221nxn有nnx1sinlimnnx1sinlim由定理1知不存在.),2,1(n02sinlimnn1)2sin(lim2nn机动目录上页下页返回结束例2.证明Dirichlet函数D(x)在任一点都不存在极限.证:根据Dirichlet函数D(x)的定义，当我们分别取以0x为极限的有理数列}{nx和无理数列}{nx时（由于它们的稠密性，这总是能够做到的），则有2.函数极限存在的夹逼准则定理2.,),(00时当xNxAxhxgxxxx)(lim)(lim00,)()(xhxg)(xfAxfxx)(lim0)0(Xx)(x)(x)(x且(利用定理1及数列的夹逼准则可证)机动目录上页下页返回结束1sincosxxx圆扇形AOB的面积二、两个重要极限证:当即xsin21xtan21亦即)0(tansin2xxxx),0(2x时，)0(2x显然有△AOB的面积＜＜△AOD的面积DCBAx1o故有注注目录上页下页返回结束例3.求解:xxxtanlim0xxxxcos1sinlim0xxxsinlim0xxcos1lim01例4.求解:令,arcsinxt则,sintx因此原式tttsinlim0ttsin1机动目录上页下页返回结束nnnRcossinlim2Rn例5.求解:原式=2220sin2limxxx2121例6.已知圆内接正n边形面积为证明:证:nnAlimnnnnRnAcossin2说明:计算中注意利用20sinlimx2x2x21机动目录上页下页返回结束例7.求解:作代换4/xy则yxxxsin24sin2cossin故2sin2lim0yyly2.证:当0x时,设,1nxn则xx)1(111)1(nnnn)1(11nnn)1(lim11limn111)1(nn111ne11)1(limnnn]1)1[(lim11）（nnnneexxx)1(lim1机动目录上页下页返回结束当,)1(tx则从而有)1(11)1(limttt)1(1)(limtttt11)1(limttt)]1()1[(lim11tttte故exxx)1(lim1说明:此极限也可写为ezzz1)1(lim0时,令机动目录上页下页返回结束例8.求解:令,xt则ttt)1(lim11limt说明：若利用,)1(lim)()(1)(exxx机动目录上页下页返回结束则原式111)1(limexxx例9.求解:原式=2])cos[(sinlim211xxxx2)sin1(lim2xxx)sin1(2xe机动目录上页下页返回结束x2sin1例10.求解:原式=122)2/1(02/10/1/1021lim1lim211limeeexxxxxxxxxxx的不同数列内容小结1.函数极限与数列极限关系的应用(1)利用数列极限判别函数极限不存在(2)数列极限存在的夹逼准则法1找一个数列:nx,0xxn)(0nxxn且使)(limnnxf法2找两个趋于0xnx及,nx使)(limnnxf)(limnnxf不存在.函数极限存在的夹逼准则机动目录上页下页返回结束2.两个重要极限或注:代表相同的表达式机动目录上页下页返回结束思考与练习填空题(1～4);_____sinlim.1xxx;____1sinlim.2xxx;____1sinlim.30xxx;____)11(lim.4nnn0101e第七节目录上页下页返回结束