导数及其应用复习小结

第一章导数及其应用复习小结本章知识结构微积分导数定积分导数概念导数运算导数应用函数的瞬时变化率运动的瞬时速度曲线的切线斜率基本初等函数求导导数的四则运算法则简单复合函数的导数函数单调性研究函数的极值、最值曲线的切线变速运动的速度面积功积分定义的含义微积分基本定理的含义微积分基本定理的应用路程定积分概念微积分基本定理最优化问题①函数的平均变化率fx121)()fxxx2f(x函数y=f(x)的定义域为D,x1.x2∈D,f(x)从x1到x2平均变化率为:②函数的瞬时变化率OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=△xf(x2)-f(x1)=△y'()lim()fxfxx0x121)()limfxxx2f(x21xx()limfxx0x导数基本初等函数的导数公式1.2.()3.4.5.ln6.7.8.nRa'n'n-1''x'xx'x'a'若f(x)=c，则f(x)=0若f(x)=x，则f(x)=nx若f(x)=sinx，则f(x)=cosx若f(x)=cosx，则f(x)=-sinx若f(x)=a，则f(x)=a若f(x)=e，则f(x)=e1若f(x)=logx，则f(x)=xlna1若f(x)=lnx，则f(x)=x返回导数的运算法则:法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差),即:()()()()fxgxfxgx法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数,即:()()()()()()fxgxfxgxfxgx法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数,再除以第二个函数的平方.即:2()()()()()(()0)()()fxfxgxfxgxgxgxgx返回当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ如果有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.即:'00000()()()limlimxxfxxfxykfxxx切线PQoxyy=f(x)割线切线T返回1)如果恒有f′(x)0，那么y=f（x)在这个区间（a,b)内单调递增；2)如果恒有f′(x)0，那么y=f（x）在这个区间(a,b)内单调递减。一般地，函数y＝f（x）在某个区间(a,b)内定理aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)0f'(x)0如果在某个区间内恒有,则为常数.0)(xf)(xf返回2)如果a是f’(x)=0的一个根，并且在a的左侧附近f’(x)0，在a右侧附近f’(x)0，那么是f(a)函数f(x)的一个极小值.函数的极值1)如果b是f’(x)=0的一个根，并且在b左侧附近f’(x)0，在b右侧附近f’(x)0，那么f(b)是函数f(x)的一个极大值注：导数等于零的点不一定是极值点．2)在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,则它必有最大值和最小值.函数的最大（小）值与导数xy0abx1x2x3x4f(a)f(x3)f(b)f(x1)f(x2)gg返回函数导数方程不等式中等问题复习选讲例5(05山东19)已知1x是函数32()3(1)1fxmxmxnx的一个极值点，其中,,0mnRm，（I）求m与n的关系表达式；（II）求()fx的单调区间；（III）当1,1x时,函数()yfx的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m,求m的取值范围.函数导数方程不等式中等问题复习选讲解:(I)2()36(1)fxmxmxn因为1x是函数()fx的一个极值点,所以(1)0f,即36(1)0mmn，所以36nm.函数导数方程不等式中等问题复习选讲（II）由（I）知，2()36(1)36fxmxmxm=23(1)1mxxm当0m时,有211m,当x变化时,()fx与()fx的变化如下表：x2,1m21m21,1m11,()fx00()fx极小值极大值故由上表知,当0m时,()fx在2,1m单调递减,在21,1m单调递增,在(1,)上单调递减.函数导数方程不等式中等问题复习选讲（III）由已知得()3fxm，即22(1)20mxmx.又0m所以222(1)0xmxmm,即222(1)0,1,1xmxxmm①设212()2(1)gxxxmm,其函数开口向上,由题意知①式恒成立,所以22(1)0,120,(1)0.10.gmmg解之得43m又0m所以403m.即m的取值范围为4,03.函数导数方程不等式中等问题复习选讲【函数的极值和最值问题】例6(05北京15)已知函数3239fxxxxa.（Ⅰ）求fx的单调递减区间；（Ⅱ）若fx在区间2,2上的最大值为20,求它在该区间上的最小值．解：（Ⅰ）2369fxxx.令0fx,解得1x或3x,所以函数fx的单调递减区间为,1,3,．函数导数方程不等式中等问题复习选讲(Ⅱ)当2,2x时x22,111,22fx0fx2a极小22a因为22fa,222fa,所以22ff.例6(05北京15)已知函数3239fxxxxa.（Ⅰ）求fx的单调递减区间；（Ⅱ）若fx在区间2,2上的最大值为20,求它在该区间上的最小值．函数导数方程不等式中等问题复习选讲因为在1,3上0fx,所以fx在1,2上单调递增，又由于fx在2,1上单调递减，因此2f和1f分别是fx在区间2,2上的最大值和最小值,于是有2220a,解得2a．故32392fxxxx,因此113927f,即函数fx在区间2,2上的最小值为7．函数导数方程不等式中等问题复习选讲例7（06北京16）已知函数32()fxaxbxcx在点0x处取得极大值5,其导函数()yfx的图象经过点(1,0),(2,0),如图所示.求:（Ⅰ）0x的值;（Ⅱ）,,abc的值.21Oyx解法一:（Ⅰ）由图象可知,在,1上0fx,在1,2上0fx,在2,上0fx,故fx在1x处取得极大值,所以01x.函数导数方程不等式中等问题复习选讲（Ⅱ）232fxaxbxc,由10,20,15fff,得320,1240,5.abcabcabc解得2,9,12abc.解法二:（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）设21232fxmxxmxmxm,又232fxaxbxc,所以3,,232mabmcm.323232mfxxxmx,由15f,即32532mm,得6m.所以2,9,12abc.两年北京导数题,感想如何?复合函数的导数:注:y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间关系为:;xuxuyy[()]()().xfxfux或返回返回过p(x0,y0)的切线1)p(x0,y0)为切点切线方程’00y-y=f(x)(x-x)2)p(x0,y0)不为切点11'10110y=f(x)y-y=f(x)x-x切点11P(x,y)例1．已经曲线C：y=x3－x+2和点A(1,2)。求在点A处的切线方程？解：f/(x)=3x2－1，∴k=f/(1)=2∴所求的切线方程为：y－2=2(x－1),即y=2x变式1：求过点A的切线方程？例1．已经曲线C：y=x3－x+2和点(1,2)求在点A处的切线方程？解：变1：设切点为P（x0，x03－x0+2），∴切线方程为y－(x03－x0+2)=(3x02－1)(x－x0)21又∵切线过点A(1,2)∴2－(x03－x0+2)=(3x02－1)(1－x0)化简得(x0－1)2(2x0+1)=0，2114①当x0=1时，所求的切线方程为：y－2=2(x－1),即y=2x解得x0=1或x0=－k=f/(x0)=3x02－1，②当x0=－时，所求的切线方程为：y－2=－(x－1),即x+4y－9=0变式1：求过点A的切线方程？例1：已经曲线C：y=x3－x+2和点(1,2)求在点A处的切线方程？变式2：若曲线上一点Q处的切线恰好平行于直线y=11x－1，则P点坐标为____________,切线方程为_____________________．(2,8)或(－2,－4)y=11x－14或y=11x+18函数导数方程不等式中等问题复习选讲例2求曲线3232fxxxx过原点的切线方程.解:2362fxxx.设切线斜率为k,(1)当切点是原点时,02kf,所以所求曲线的切线方程为2yx.(2)当切点不是原点时,设切点是00,xy,则有32000032yxxx,即2000032ykxxx,又2000362kfxxx,故得00031,24yxkx,所求曲线的切线方程为14yx.函数导数方程不等式中等问题复习选讲小评:“过某点”与“在某点处”的不同.故审题应细.又如:曲线231yx在点1,0处的切线问题.1x处的导数不存在,说明该曲线在点1,0处的切线的斜率趋于无穷大,倾斜角为2,所以曲线231yx在点1,0处的切线方程为1x.求由连续曲线yf(x)对应的曲边梯形面积的方法(2)取近似求和:任取xi[xi1,xi]，第i个小曲边梯形的面积用高为f(xi)而宽为x的小矩形面积f(xi)x近似之。(3)取极限:，所求曲边梯形的面积S为取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值：xiy=f(x)xyObaxi+1xix1lim()niniSfxx1()niiSfxx(1)分割:在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小区间:每个小区间宽度△xban11211,,,,,,,,,iinaxxxxxxb一、定积分的定义11()()nniiiibafxfnxx小矩形面积和S=如果当n∞时，S的无限接近某个常数，这个常数为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作baf(x)dx，即baf(x)dxni10limf(xi)xi。从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步曲”:分割---近似代替----求和------取极限得到解决.1()lim()ninibafxdxfnxba即定积分的定义：定积分的相关名称：———叫做积分号，f(x)——叫做被积函数，f(x)dx—叫做被积表达式，x———叫做积分变量，a———叫做积分下限，b———叫做积分上限，[a,b]—叫做积分区间。1()lim()ninibafxdxfnxba即Oabxy)(xfybaIdxxf)(iinixf)(lim10x被积函数被积表达式积分变量积分下限积分上限说明：(1)定积分是一个数值,它只与被积函数及积分区间有关，baf(x)dxbaf(x)dx-(2)(2)定积分的几何意义：Oxyabyf(x)ba