“直角三角形”中考试题分类汇编(含答案)[1]

－1－18、直角三角形要点一：勾股定理及其逆定理一、选择题1．（2009·达州中考）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（）A．13B．26C．47D．94【解析】选C∵正方形A和正方形B的边长分别为3、5，所以与正方形E相邻的直角三形的一直角边的平方为34，又因为正方形C和正方形D的边分别为2、3，所以正方形E相邻的直角三角形的另一条直角边的平方为13，所以正方形E的面积为47.2、（2009·滨州中考）如图，已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AD＝8，则边BC的长为（）A．21B．15C．6D．以上答案都不对答案：选A二、填空题3、（2010·义乌中考）在直角三角形中，满足条件的三边长可以是．(写出一组即可)【解析】只要是勾股数即可。4、(2009·湖州中考)如图，已知在RtABC△中，RtACB，4AB，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为1S，2S，则1S+2S的值等于．－2－【解析】因为222ABBCAC,而1S=4AC212,2S=4BC212,所以1S+2S=4AC212+4BC212=）（22BCAC421=;216421AB42125.（2009·长沙中考）如图，等腰ABC△中，ABAC，AD是底边上的高，若5cm6cmABBC，，则ADcm．【解析】由ABAC，AD是底边上的高得BD=CD=3cm,由勾股定理得cmAD43522答案：46.（2009·安顺中考）图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的。在Rt△ABC中，若直角边AC=6，BC=6，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是______________。【解析】如图，,6,1351222BEBD∴风车的外围周长=4×(13+6)=76－3－答案：767、（2009·宜宾中考）已知：如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3,则图中阴影部分的面积为．ABCEFH第12题图答案：29．8、（2008·台州中考）如图，四边形ABCD，EFGH，NHMC都是正方形，边长分别为abc，，；ABNEF，，，，五点在同一直线上，则c（用含有ab，的代数式表示）．答案：22ab9、（2007·徐州中考）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，现将△ABC进行折叠，使顶点A、B重合，则折痕DE=_______cm．答案：158三、解答题10、（2009·张家界中考）小明将一幅三角板如图所示摆放在一起，发现只要知道其中一边的长就可以求出其它各边的长，若已知2CD，求AC的长．M－4－【解析】2BDCD，222222BC设ABx，则2ACx，222(22)(2)xx263x，4263ACAB11、（2009·白银中考）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点，求证：（1）ACEBCD△≌△；（2）222ADDBDE．证明:（1）∵ACBECD，∴ACEACDBCDACD．即ACEBCD．∵ECDCACBC,，∴△ACE≌△BCD．（2）∵ACB是等腰直角三角形，∴45BACB．∵△ACE≌△BCD，∴45CAEB．∴904545BACCAEDAE．∴222DEAEAD．由（1）知AE＝DB，∴222ADDBDE+=．12、（2009·新疆中考）如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是ab，，斜边长为c和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．（1）画出拼成的这个图形的示意图．（2）证明勾股定理．－5－【解析】方法一解：（1）如图（2）证明：大正方形的面积表示为2()ab,大正方形的面积也可表示为2142cab,221()42abcab，22222ababcab，222abc．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．方法二解：（1）如图－6－（2）证明：大正方形的面积表示为：2c，又可以表示为：214()2abba,2214()2cabba，22222cabbaba，222cab．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．13、（2007·聊城中考）（1）如图1是一个重要公式的几何解释．请你写出这个公式；（2）如图2，RtRtABCCDE△≌△，90BD，且BCD，，三点共线．试证明90ACE；（3）伽菲尔德（Garfield，1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（1876年4月1日，发表在《新英格兰教育日志》上），现请你尝试该证明过程．【解析】（1）这个公式为222()2abaabb．（2）ABCCDE∵△≌△，BACDCE∴．90ACBDCEACBBAC∴°．由于BCD，，共线，所以180()ACEACBDCE°1809090°°°．－7－（3）梯形ABDE的面积为2111()()()()222ABEDBDababab·；另一方面，梯形ABDE可分成三个直角三角形，其面积又可以表示成2111222ababc．所以，221111()2222abababc．即222abc．要点二、勾股定理的应用一、选择题1．（2010·眉山中考）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（）A．90°B．60°C．45°D．30°CBA【解析】：选C.根据勾股定理可知AC2=2221=5,BC2=2221=5,AB2=2231=10,∴AC=BCAC2＋BC2＝5+5＝10＝AB2∴⊿ABC是等腰直角三角形且∠ACB＝90º，∴∠ABC=∠BAC=45º2、（2009·衡阳中考）如图所示，A、B、C分别表示三个村庄，AB＝1000米，BC＝600米，AC＝800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（）A．AB中点B．BC中点C．AC中点D．∠C的平分线与AB的交点【解析】选A因为AB＝1000米，BC＝600米，AC＝800米，所以222ACBCAB,－8－所以三角形ABC为直角三角形，所以其斜边上的中线等于斜边的一半；故选A；3、(2009·恩施中考)如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（）A．521B．25C．1055D．35【解析】选B将面AC沿正方体的一条棱展开，得AC=；25201522所以线段AB=25；二、填空题4、（2009·滨州中考）某楼梯的侧面视图如图所示，其中4AB米，30BAC°，90C°，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为．【解析】因为30BAC°且90C°，所以地毯的长度为；3224-16421BC-ABAB2122答案：（2+23）米；5、（2009·内江中考）已知Rt△ABC的周长是344，斜边上的中线长是2，则S△ABC＝____________.【解析】因为△ABC斜边上的中线长为2，又因为△ABC为直角三角形，所以其斜边长为4，又因为周长为344，所以两条直角边之和为34，所以两直角边的积为16，所以S△ABC＝8；答案：8；6、（2009·青岛中考）如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要cm；5201510CABBCA30°－9－如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要cm．【解析】由题意得：细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，其最短长度为将长方体的四个侧面展开即可构成一个直角边分别为8cm和6cm的直角三角形，所以细线的最短长度应为10cm；当细线绕四个侧面缠绕n圈时，到达点B最短长度为22916n（或23664n）cm；答案：10cm，22916n（或23664n）cm；7、（2008·株洲中考）如图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是米.【解析】如图，由勾股定理得54322AB，这棵树折断之前的高度3+5=8（米）答案：88、（2007·扬州中考）如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．【解析】路54322（m）,他们仅仅少走了(3+4-5)×2=4步路.－10－答案：49、（2007·怀化中考）如图所示的圆柱体中底面圆的半径是2π，高为2，若一只小虫从A点出发沿着圆柱体的侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路程是（结果保留根号）.答案：22二、解答题10、（2009·临沂中考）如图，A，B是公路l（l为东西走向）两旁的两个村庄，A村到公路l的距离AC＝1km，B村到公路l的距离BD＝2km，B村在A村的南偏东45方向上．（1）求出A，B两村之间的距离；（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）．【解析】（1）方法一：设AB与CD的交点为O，根据题意可得45AB°．ACO△和BDO△都是等腰直角三角形．2AO，22BO．AB，两村的距离为22232ABAOBO（km）．方法二：过点B作直线l的平行线交AC的延长线于E．易证四边形CDBE是矩形，2CEBD．在RtAEB△中，由45A°，可得3BEEA．－11－223332AB（km）AB，两村的距离为32km．（2）作图正确，痕迹清晰．作法：①分别以点AB，为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧交于两点MN，，作直线MN；②直线MN交l于点P，点P即为所求．11、（2009·牡丹江中考）有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6mm，8．现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．【解析】在RtABC△中，9086ACBACBC°，，由勾股定理有：10AB，扩充部分为RtACD△，扩充成等腰ABD△，应分以下三种情况：①如图1，当10ABAD时，可求6CDCB,得ABD△的周长为32m．②如图2，当10ABBD时，可求4CD,由勾股定理得：45AD,得ABD△的周长为2045m．③如图3，当AB为底时，设ADBDx，则6CDx，由勾股定理得：253x,得ABD△的周长为80m3．BACDlNMOP－12－12、（2008·广东中考