二阶线性偏微分方程的分类与小结

第六章二阶线性偏微分方程的分类与小结一两个自变量的二阶线性方程1方程变换与特征方程两个自变量的二阶线性偏微分方程总表示成fcuububuauauayxyyxyxx212212112①它关于未知函数u及其一、二阶偏导数都是线性的，其中fucbbaaa，，，，，，，21221211都是自变量yx,的已知函数，假设它们的一阶偏导数在某平面区域D内都连续，而且221211aaa，，不全为0。设),(000yxM是D内给定的一点，考虑在0M的领域内对方程进行简化。取自变量变换),(yx,),(yx其中它们具有二连续偏导数，而且在0M处的雅可比行列式。),(),(yxyxyx=xyyx-根据隐函数存在定理，在0M领域内存在逆变换,),(xx,),(yy因为xxxuuu，yyyuuuxxxxxxxxxxuuuuuu222yyyyyyyyyyuuuuuu222xyxyyxxyyxxxxyuuuuuu)(将代入①使其变为FCuuBuBuAuAuA212212112经过变换后，方程的阶数不会升高，由变换的可逆性，方程的阶数也不会降低，所以221211,,AAA不全为0。并可验证222112122211212))((xyyxaaaAAA这表明，在可逆变换下22211212AAA与2211212aaa保持相同的正负号。定理在0M的领域内，不为常数的函数),(yx是偏微分方程0222212211yyxxaaa之解的充分必要条件是：Cyx),(是常微分方程的0)(2)(22212211dxadxdyadya通解。2方程的类型及其标准形式根据以上结论简化方程的问题归结为寻求其特征曲线。为此将特征方程分解成两个方程：11221121212aaaaadxdy，11221121212aaaaadzdy(1)若在0M的邻域内02211212aaa时，方程可以化为uu___2_1FuCuBuB，该式称为双曲线方程的标准形式，其中___2_1,,,FCBB是自变量、的已知函数。(2)若0M的邻域内02211212aaa时，可将方程简化成FCuuBuBuA2122，该式称为抛物型方程的标准形式，其中FCBBA,,,,2122是自变量、的已知函数。(3)若0M的邻域内02211212aaa时，可将方程简化成FCuuBuBuuA2111)(，该式称为椭圆型方程的标准形式，其中FCBBA,,,,2111是自变量、的已知函数。总之，根据2211212aaa的正负号能将yyxyxxuauaua2212112fcuububyx21简化成三种标准形式。定义若在区域D中),(000yxM点处满足02211212aaa(或是=0，或是0)，则称方程yyxyxxuauaua2212112fcuububyx21在该点0M处是双曲线的(或是抛物型的，或是椭圆型的)。二n个自变量的二阶线性方程1方程的分类n个自变量的二阶线性偏微分方程一般可以表示成fcuubuuanixinjixxijiji11,①其中ija，ib，c，f都是自变量nxx,...,1的已知函数，假设它们在n维空间中某一区域内连续，而且不全为0。在区域内某点),...,(0010nxxM处，由二阶导数项的系数可构成相应的二次型),...,(1nq=njixxijjia1,=)(ijTa②其中Tn),...,(1，而)(ija是n阶对称矩阵。定义2如果在点0M的二次型②为非退化且是不定的，即它恰有n个非零特征值，而且特征值的符号不全相同，则称方程①在点0M是双曲线型。如果其中1n个非零特征值同号，只有一个非零特征值与它们异号，则称方程在点0M是狭义双曲线型的。如果其中不只一个非零特征值是异号的，则称方程在点0M是超双曲线型的。定义3如果在点0M的二次型②为非退化的，即它至少有一个零特征值，则称方程①在点0M是抛物型。如果只有一个零特征值，而另外1n个非零特征值同号，则称方程在点0M是狭义抛物型的。如果是其它有零特征值的情形，则称方程在点0M是广义抛物型的。定义4如果在点0M的二次型②为正定或负定的，即它恰有n个同号的非零特征值，则称方程在0M点是椭圆型的。2方程的简化当方程①中二阶偏导数项的系数ija全是常数时，相应的二次型②是常系数实二次型。根据线性代数的理论，运用配方法或者正交变换法，总可找到一个可逆线性变换)(ijp，即nikikp1ni,...,1其中)(ijp是可逆矩阵，将二次型),...,(1nq化成标准形),...,(1nQ，即),...,(1nq=)(ijTa=))(()(ijijTijTpap==2211...nnu=),...,(1nQ其中))(()(ijijTijpap=n.1，而且i=1或-1或0。可取转置矩阵Tijp)(构造自变量可逆线性变换xpTij)(，即nkkkiixp1，ni,...,1就能将在区域内方程①简化为niiniiiiiB11+FCu。三小结前面各章的各种定解问题具有的一个共同的特点――偏微分方程与定解条件关于未知函数及其导数都是线性的，称这些业解问题都是线性问题。线性问题普遍成立有叠加原理。叠加原理是前面各章介绍的各种方法的基础。另一方面，二阶偏微分方程可以分成双曲线型、抛物型和椭圆型，由于它们描述了物理与工程技术中不同的自然现象，所以，它们不仅在二阶偏导数项系数的代数方面有差异，而且在定解条件与性态方程有本质区别。常系数齐次波动方程、热传导方程和拉普拉斯方程分别是三类方程的典型代表。为了使定解问题能反映实际现象的客观规律，而且符合数学上适定性的要求，对于不同类型的偏微分方程，需要给予足够、恰当的定解条件。另外，定解条件是否保证定解问题是适定的，还与解的含义有关。折800