石墨烯电子的能带和狄拉克方程

石墨烯电子能带之数理演绎（2015年2月20日）（为苦研物理学理论的探路者提供数理基础的参考）作者：北京东之星应用物理研究所伍勇，贺宁（计算机软件工程师）1.石墨烯晶格的基矢和倒格子基矢晶格原胞与基矢图1布里渊区与倒格子基矢图2图1中)2123(3)0,3,3(2)2123(3)0,3,3(221jiaaajiaaa这里a=1.42A是C-C最近邻原子间距，即正六边形单胞的边长（晶格常数）。由正格子基矢（1）可计算出倒格子基矢（2）：)2321(34)0,3,1(32)2321(34)0,3,1(3221jiaabjiaab由此计算图2第一布里渊区的两个狄拉克(Dirac)点K，'K的坐标是：（1）（2）'KK1b2bykxk02a1aXYjaiaaK93232)0,31,1(32jaiaaK93232)0,31,1(32'下面能带计算表明只有第一布里渊区的六个顶点在费米面上，称费米点，又称Dirac点或K('K)点2.石墨电子紧束缚近似二次量子化形式的哈密顿量jijiiiiiipzchbatbbaaH,2).()(上式还可表为矩阵形式：jjjiijpzijpziijjjiiiiiiiipzbattbabattbababa,22,2)(00)()(模型不考虑电子自旋，i,j表示只对最近邻格点的电子跃迁求和，pz2是单电子2pz轨道能量石墨晶格是由两类几何环境彼此不等价的碳原子A，B构成，任意选定一个格点位矢是iR的A原子为参考原子，环绕它的是三个最近邻B类原子1jR,2jR和3jR，如图3.ia（jb）是位于iR（jR）的电子的产生（消灭）算符，（4）中的对算符iajb表示的物理过程描述被jb在jR处消灭一个电子后又在iR由ia产生一（3）（4）32,3.jjjiiRRRR和的三个最近邻参考原子图2jRABiR3jR2a1a1jRijRaR-11ijRaR22ABABjrrrR3个电子，此过程等同于电子由jR跃迁到最近邻iR，跃迁能t=2.8eV。考虑电子算符的傅里叶变换:kkRkiiaeNaiˆ1kkRkijbeNbjˆ1这里N是晶格原胞数。跃迁发生在A，B两个不等价子晶格之间，A，B两原子相对位矢(图3)：2121AB-jjiiABRRRRaarrr将（5），（6）代入（4），将哈密顿量傅里叶展开，先考虑跃迁项).(-,jijichbatjijijiiichbababat,21).(ikakiRkikkkRkikakiRkikkkRkikkkkRkkihcbeaebeaebaetiiiii)ˆˆN1ˆˆN1ˆˆN1('''','''','',)'(21利用公式：ikkRkkiieN',)'(1哈密顿跃迁项化为：chbaeetkkkakiaki.ˆˆ)1(-21类似计算哈密顿的原子位能项，可得kkkkkpziiiiipzbbaabbaa)ˆˆˆˆ()(22由(7）（8）代入(4),得到动量表象的紧束缚模型二次量子化哈密顿是].ˆˆ)1[(-)ˆˆˆˆ(212chbaeetbbaaHkkkakiakikkkkkpz3求解薛定谔方程和能量本征值石墨烯是单层2维晶体，碳原子的s2，xp2，yp2，轨道通过2sp轨道杂化形成共面键，而zp2电子形成垂直于共价平面之上的离域大键。象铺垫的刚性平面之上自由流动的电子气，电子参与石墨烯的一切外在物理过程和化学反应，决定了石墨烯的电子结构和性质。(7)（5）(8)(9)（6)根据电子薛定谔定态方程)()()()(kkEkkH石墨烯一个原胞内包含两个不等价原子A，B，其2Pz电子态基矢分别选取为：0ˆ)(1kak，0ˆ)(2kbk这里是粒子真空态。（9）表达的紧束缚哈密顿)(kH可以写为矩阵形式：设系统的电子态矢量（波函数）为：)(C)(C)(2211kkk代入薛定谔定态方程（10）有由矩阵表达式（11）及方程(12）有非平凡解的条件得到久期方程如下：下面先计算哈密顿矩阵（11）的矩阵元，将（9）代入（11），0ˆˆˆ0)1(-0ˆˆˆˆ0)1(-])0ˆˆˆ00ˆˆˆ0[0ˆˆ0''''''''2122121'''''kkkkkakiakikkkkkakiakikkkkkkkkkpzkkbabaeetbbaaeetbbbabaaabHaH’’)1(-)1(-2121'''akiakikkkakiakieeteet’同样计算方法可得pzHH22211，)1(-2121akiakieetH(11)0ˆˆ00ˆˆ0kkkkaHbaHa0ˆˆ00ˆˆ0kkkkbHbbHa2111HH2212HH0)CC)((2211EH(12)02212EHH2111HEH(13)(10)0将以上结果代入（13）得：0)1(-)1(-222121EeeteetEpzakiakiakiakipz对应石墨烯是理想结构的情况，可以选取原子轨道能级作为能带能量)(kE的参考点。展开（14），解得石墨烯的能带：)]}(cos[2)cos(2)cos(23{)1)(1(21212222121aakakakteeeetEakiakiakiaki其中yxyxkakaaakkak2323)23,23)(,(1yxkakaak23232yakaak3)(21经过初等三角函数和差运算后，得到石墨烯能带，即电子的色散关系)(kE:)23cos()23cos(4)3cos(23),(akakaktkkExyyyx作者将（15）尝试用Mathematica软件作图，如图4所示，-号对应较低轨道能谱，+号对应较高的反键轨道能谱.。作者曾在参考文献（2）（3）粗略计算过石墨烯原子片的电子态密度（Densityofstates(DOS)）,如图5所见，EF以下的价带（）完全被电子占据，近满带，而EF以上导带（）空空荡荡，视为空穴占据，近空带，导带与价带是连通的，在狄拉克点附近DOS接近零。对于零温，由（15）描述的能带，带与带关于E=EF=0完全对称，二者在布里渊区高度对称的六个K点相交，费米面也刚好穿过，或说费米面在这里退缩为共面的六个点，位于价带导带之间，成为石墨烯导带和价带的对称面，所以石墨烯是零带隙的半导体，因而有卓越的导电性。在K点附近，图（4）所描绘的能量与动量的色散关系是线性的，这直线在K点绕布里渊区(B.Z)平面的垂线旋转一周，形成对顶的双圆锥，称狄拉克锥。这种独特的能带结构，决定了石墨烯电子的无质量狄拉克费米子的属性，不能再用传统薛定谔方程描述，必须建立石墨烯的狄拉克方程，关于石墨烯2维狄拉克方程的数理演绎请见我们将撰写上传的后续文档。图6是用MATLAB软件制作的能带图，它在复制到Word过程中，在狄拉克锥尖端细节丢失较多,但海浪与彩虹交映齐飞的景象，可能更显示石墨烯的独特不凡，我们愿意将它呈现在这篇文档里。02pz(14)(15)K'Kbandband点）点（个相交于与导带。价带石墨烯电子的能带结构图KDirac64.0FE）状态密度（石墨烯原子片的电子总图DOS5.-505-4-2024-5-4-3-2-1012345-0.06-0.04-0.0200.020.040.06)(6.MATLAB。石墨烯电子的能带结构图参考文献1).A.H.CastroNeto,F.Guineaetal.:Theelectronicpropertiesofgraphene,14January20092).伍勇：碱金属在石墨表面化学吸附的EHT研究，复旦学报（自然科学版），No.2/20003).伍勇：TheoreticalStudyonElectronicPropertiesofPotassiumAdsorptiononGraphiteSurface,发光学报，No.1/2004.4)伍勇，贺宁：石墨烯能带旋转图，石墨烯能带旋转图b,视频剪辑(.avi)2015‎年‎2‎月‎22‎日=8570394