不等式单元测试题及答案

1第三章章末检测(B)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．若a0，－1b0，则有()A．aabab2B．ab2abaC．abaab2D．abab2a2．已知x1，y1，且14lnx，14，lny成等比数列，则xy()A．有最大值eB．有最大值eC．有最小值eD．有最小值e3．设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则()A．MNB．M≥NC．MND．M≤N4．不等式x2－ax－12a20(其中a0)的解集为()A．(－3a,4a)B．(4a，－3a)C．(－3,4)D．(2a,6a)5．已知a，b∈R，且ab，则下列不等式中恒成立的是()A．a2b2B．(12)a(12)bC．lg(a－b)0D.ab16．当x1时，不等式x＋1x－1≥a恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，2]B．[2，＋∞)C．[3，＋∞)D．(－∞，3]7．已知函数f(x)＝x＋2，x≤0－x＋2，x0，则不等式f(x)≥x2的解集是()A．[－1,1]B．[－2,2]C．[－2,1]D．[－1,2]8．若a0，b0，且a＋b＝4，则下列不等式中恒成立的是()A.1ab12B.1a＋1b≤1C.ab≥2D.1a2＋b2≤189．设变量x，y满足约束条件x－y≥0，2x＋y≤2，y＋2≥0，则目标函数z＝|x＋3y|的最大值为()A．4B．6C．8D．1010．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则()A．甲先到教室B．乙先到教室C．两人同时到教室D．谁先到教室不确定211．设M＝1a－11b－11c－1，且a＋b＋c＝1(其中a，b，c为正实数)，则M的取值范围是()A.0，18B.18，1C．[1,8)D．[8，＋∞)12．函数f(x)＝x2－2x＋1x2－2x＋1，x∈(0,3)，则()A．f(x)有最大值74B．f(x)有最小值－1C．f(x)有最大值1D．f(x)有最小值1题号123456789101112答案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知t0，则函数y＝t2－4t＋1t的最小值为________________________________________________________________________．14．对任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－40恒成立，则实数a的取值范围是________．15．若不等式组x－y＋5≥0，y≥a，0≤x≤2表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是________．16．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知a0，b0，且a≠b，比较a2b＋b2a与a＋b的大小．318．(12分)已知a，b，c∈(0，＋∞)．求证：(aa＋b)·(bb＋c)·(cc＋a)≤18.19．(12分)若a1，解关于x的不等式axx－21.20．(12分)求函数y＝x＋22x＋5的最大值．421．(12分)如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB＝3米，AD＝2米．(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？(2)当DN的长为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．22．(12分)某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力、获得利润及每天资源限额(最大供应量)如表所示：产品消耗量资源甲产品(每吨)乙产品(每吨)资源限额(每天)煤(t)94360电力(kw·h)45200劳动力(个)310300利润(万元)612问：每天生产甲、乙两种产品各多少吨时，获得利润总额最大？第三章不等式章末检测答案(B)1．D[∵a0，－1b0，∴ab0，ab20.∴aba，abab2.∵a－ab2＝a(1－b2)＝a(1＋b)(1－b)0，∴aab2.∴aab2ab.]2．C3．A[∵M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝(2a2－4a)－(a2－2a－3)＝a2－2a＋35＝(a－1)2＋20.∴MN.]4．B[∵x2－ax－12a20(a0)⇔(x－4a)(x＋3a)0⇔4ax－3a.]5．B[取a＝0，b＝－1，否定A、C、D选项．故选B.]6．D[∵x1，∴x＋1x－1＝(x－1)＋1x－1＋1≥2x－1·1x－1＋1＝3.∴a≤3.]7．A[f(x)≥x2⇔x≤0x＋2≥x2或x0－x＋2≥x2⇔x≤0x2－x－2≤0或x0x2＋x－2≤0⇔x≤0－1≤x≤2或x0－2≤x≤1⇔－1≤x≤0或0x≤1⇔－1≤x≤1.]8．D[取a＝1，b＝3，可验证A、B、C均不正确，故选D.]9．C[可行域如阴影，当直线u＝x＋3y过A(－2，－2)时，u有最小值(－2)＋(－2)×3＝－8；过B(23，23)时u有最大值23＋3×23＝83.∴u＝x＋3y∈[－8，83]．∴z＝|u|＝|x＋3y|∈[0,8]．故选C.]10．B[设甲用时间T，乙用时间2t，步行速度为a，跑步速度为b，距离为s，则T＝s2a＋s2b＝s2a＋s2b＝s×a＋b2ab，ta＋tb＝s⇒2t＝2sa＋b，∴T－2t＝sa＋b2ab－2sa＋b＝s×a＋b2－4ab2aba＋b＝sa－b22aba＋b0，故选B.]11．D[M＝1a－11b－11c－1＝a＋b＋ca－1a＋b＋cb－1a＋b＋cc－1＝ba＋ca·ab＋cb·ac＋bc≥2ba·ca·2ab·cb·2ac·bc＝8.∴M≥8，当a＝b＝c＝13时取“＝”．]12．D[∵x∈(0,3)，∴x－1∈(－1,2)，6∴(x－1)2∈[0,4)，∴f(x)＝(x－1)2＋1x－12－1≥2x－12·1x－12－1＝2－1＝1.当且仅当(x－1)2＝1x－12，且x∈(0,3)，即x＝2时取等号，∴当x＝2时，函数f(x)有最小值1.]13．－2解析∵t0，∴y＝t2－4t＋1t＝t＋1t－4≥2－4＝－2.14．－2a≤2解析当a＝2时，－40恒成立，∴a＝2符合．当a－2≠0时，则a应满足：a－20Δ＝4a－22＋16a－20解得－2a2.综上所述，－2a≤2.15．5≤a7解析先画出x－y＋5≥0和0≤x≤2表示的区域，再确定y≥a表示的区域．由图知：5≤a7.16．20解析该公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买400x次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，一年的总运费与总存储费用之和为(400x·4＋4x)万元，400x·4＋4x≥160，当1600x＝4x即x＝20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．17．解∵(a2b＋b2a)－(a＋b)＝a2b－b＋b2a－a＝a2－b2b＋b2－a2a＝(a2－b2)(1b－1a)＝(a2－b2)a－bab＝a－b2a＋bab又∵a0，b0，a≠b，∴(a－b)20，a－b0，ab0，∴(a2b＋b2a)－(a＋b)0，∴a2b＋b2aa＋b.18．证明∵a，b，c∈(0，＋∞)，∴a＋b≥2ab0，b＋c≥2bc0，c＋a≥2ac0，∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc0.∴abca＋bb＋cc＋a≤18即(aa＋b)·(bb＋c)·(cc＋a)≤18.7当且仅当a＝b＝c时，取到“＝”．19．解不等式axx－21可化为a－1x＋2x－20.∵a1，∴a－10，故原不等式可化为x－21－ax－20.故当0a1时，原不等式的解集为{x|2x21－a}，当a0时，原不等式的解集为{x|21－ax2}．当a＝0时，原不等式的解集为∅.20．解设t＝x＋2，从而x＝t2－2(t≥0)，则y＝t2t2＋1.当t＝0时，y＝0；当t0时，y＝12t＋1t≤122t·1t＝24.当且仅当2t＝1t，即t＝22时等号成立．即当x＝－32时，ymax＝24.21．解(1)设DN的长为x(x0)米，则AN＝(x＋2)米．∵DNAN＝DCAM，∴AM＝3x＋2x，∴SAMPN＝AN·AM＝3x＋22x，由SAMPN32，得3x＋22x32.又x0，得3x2－20x＋120，解得：0x23或x6，即DN长的取值范围是(0，23)∪(6，＋∞)．(2)矩形花坛AMPN的面积为y＝3x＋22x＝3x2＋12x＋12x＝3x＋12x＋12≥23x·12x＋12＝24，当且仅当3x＝12x，即x＝2时，矩形花坛AMPN的面积取得最小值24.故DN的长为2米时，矩形AMPN的面积最小，最小值为24平方米．22．解设此工厂每天应分别生产甲、乙两种产品x吨、y吨，获得利润z万元．8依题意可得约束条件：9x＋4y≤3604x＋5y≤2003x＋10y≤300x≥0y≥0作出可行域如图.利润目标函数z＝6x＋12y，由几何意义知，当直线l：z＝6x＋12y经过可行域上的点M时，z＝6x＋12y取最大值．解方程组3x＋10y＝3004x＋5y＝200，得x＝20，y＝24，即M(20,24)．答生产甲种产品20吨，乙种产品24吨，才能使此工厂获得最大利润．