高等桥梁结构理论课程讲义2014-02

第二讲薄壁箱梁弯曲理论122.1简介工程结构中，薄壁杆件一般是指截面厚度较薄的等截面直杆，其三个尺度（图2-1）通常满足下列关系：2.0~1.0/1.0/)(lbbs工程应用：1.桥梁工程，桥塔、主梁、桥墩等；2.高层建筑结构筒体。图2-1薄壁杆件3赤石大桥桥塔断面（示意图）42.2薄壁箱梁弯曲(初等梁理论)2.2.1弯曲正应力图2-3任意截面的薄壁杆件对于薄壁杆件在纯弯曲作用下的弯曲问题，假设平截面假定仍成立。图2-3所示为任意截面的薄壁杆件（开口或闭口截面），o为截面形心，xyzo为过形心的一组任意直角坐标。设沿ox、oy轴分别有弯矩xM、yM作用，以双箭矢量表示。弯矩以符合右手螺旋法则为正。设中性轴为'oo，截面上任意点A处微截面dF的坐标是x、y，它到中性轴的距离为，则sincosxy（2-2）根据平截面假定，A点处的正应变为1z（2-3）式中，——中性层的曲率半径；——中性轴与ox轴的夹角。5故A点的正应力为EEzz（2-4）因为沿z轴方向无外力作用，故0FzdF（2-5）即0FdF（2-6）将（2-2）代入（2-4），则sincossincosExEyxyEz（2-7）由绕ox、oy轴的力矩平衡方程可得，xyxFFFzxIEIEdFExydFEyydFMsincossincos2（2-8）yxyFFFzyIEIEdFExdFEyxxdFMsincossincos2（2-9）注：上式中假定A点的正应力z为压应力。式中：xI、yI及xyI分别为截面绕ox、oy轴的惯性矩和积惯性矩。6联立（2-8）、（2-9），可得2sinxyyxxyxyxIIIIMIME（2-10）2cosxyyxxyyyxIIIIMIME（2-11）将（2-10）、（2-11）代入（2-7）中，可得到薄壁杆件截面任意点A的正应力为xIMyIMyyxxz（2-12）式中，xM、yM分别为)/(1/)/(1/22yxxyxxyxyyyxxyyxyyxxIIIIIMMMIIIIIMMM（2-13）即当已知yxMM,时，由（2-12）、（2-13）即可计算出其截面上任意点的正应力。当ox、oy轴为主轴时，0xyI，则yyxxMMMM（2-14）即xIMyIMyyxxz（2-15）上式即为对称截面薄壁梁在纯弯矩荷载作用下的截面正应力计算公式。7【算例2-1】求图2-4所示Z形截面薄壁杆件在弯矩xM作用下的正应力分布。图2-4Z形截面薄壁杆件图2-5Z形截面薄壁杆件正应力分布8【解】：（1）截面几何特征该截面为反对称，其形心在腹板中点O，故3323112222hhhhIx3121hIy33381161161hhhIxy（注：根据基本定义进行积分运算。）（2）正应力计算根据式（2-12）可得，xIMyIMyyxxz其中xyxxyxxyxyyxyxxyyxyyxxMIIIIIMMMMIIIIIMMM86.0)/(1/29.2)/(1/22所以，)32.1087.6(3xyhMxz上翼缘板：2hy，02xh，则)32.10435.3()32.10287.6(33xhhMxhhMxxz故上翼缘左端（2hx，2hy）正应力为23725.1)16.5435.3(hMhhhMxxz上翼缘板右端（0x，2hy）正应力为23435.3)435.3(hMhhMxxz在腹板上：0x，22hyhyhMxz87.63腹板上端：0x，2hy23435.387.6hMyhMxxz腹板下端：0x，2hy23435.387.6hMyhMxxz下翼缘板：2hy，20hx，则)32.10435.3()32.10287.6(33xhhMxhhMxxz故下翼缘左端（0x，2hy）正应力为23435.3)435.3(hMhhMxxz下翼缘板右端（2hx，2hy）正应力为23725.1)16.5435.3(hMhhhMxxz该截面正应力分布见图2-5。2.2.2弯曲剪应力（一）开口薄壁截面弯曲剪应力一般而言，横向荷载使薄壁杆件既发生弯曲，又产生扭转，只有当它们的合力通过杆件截面的某一点时，该杆件仅发生弯曲而不发生扭转，这一特定的点称为截面的剪切中心或弯曲中心。在过杆件截面剪切中心的横向力的作用下，杆件截面处将可能产生弯矩M和剪力Q，其中截面上的正应力由弯矩确定，见式（2-12、2-13），截面剪应力则由剪力Q确定。图2-6所示为一薄壁杆件（开口或闭口）微段dz，s为截面轮廓线的曲线坐标，以逆时针方向为正，A点为曲线坐标s的起点。假设壁厚)(s与坐标z无关，只是曲线坐标s的函数。图2-6薄壁杆件微段图2-7杆件上任意一微元（1）建立截面上剪力与弯矩的关系由0xM，即022dzQdzdzzQQMdzzMMyyyxxx（2-16）化简即zMQxy（2-17a）同理，可得zMQyx（2-17b）参考式（2-13）可知，截面上的有效剪力为：)/(1/)/(1/22yxxyyxyxyyxxyyxyyxxyIIIIIQQIIIIIzMzMzMQ（2-18a）)/(1/)/(1/22yxxyyxyyxyxxyxxyxyyxIIIIIQQIIIIIzMzMzMQ（2-18b）（2）计算截面剪应力在杆件上任意一点),(szP处取一单元dzds（图2-7），建立该微元的平衡方程，即由0z，即0)()(dsdzdzdssdsdzzzzz（2-19）化简，即0)()(szz（2-20）由于)(s，与z无关，故0)(szz（2-21）将上式对s积分，即)(10zCdszsz（2-22）上式中任意积分常数)(1zC为截面曲线坐标起始点A处的剪力流AAq)(。将式（2-12）代入式（2-22），即AsyxsxyszqxdsIQydsIQzCdszq0010)(（2-23）记dFds，则截面上s点关于x、y轴的静面积矩分别为xssSydFyds00（2-24a）yssSxdFxds00（2-24b）故AyyxxxyqSIQSIQq（2-25）当x、y轴为截面主轴时，0xyI，则AyyxxxyqSIQSIQq（2-26）对于开口截面，可将参考点A选在开口处，由剪应力互等定理可知，0)(AAq。【算例2-2】如图2-8所示的工字梁断面，试求在竖向剪力Qy作用下的剪力流分布。图2-8工字梁断面在剪力作用下的剪力流分布计算解答：图2-8所示工字梁断面绕x轴的几何惯性矩为fwfwffxAAhAhthbtI61121222232式中，ffftbA为工字梁断面的一侧翼缘面积；wwhtA为工字梁断面的腹板面积。对于开口断面，其边缘点剪力流为0bq，即图1，3，5和6点的剪力流均为0。以上翼缘右侧点1为S坐标的起点，分段计算工字梁断面的剪力流。断面上翼缘1-2’段：xbhtIQdxthIQqffxyxbfxyf2222/'21在2’节点，对应的0x，则4022'2hAIQbhtIQqfxyffxy节点3的剪力流为02''22/03qdxthIQqfbfxy故节点2’’的剪力流为422/0''2hAIQdxthIQqfxybfxyf图2.4b)所示为工字梁断面2点周边微元的剪力流示意图，对该微元体取沿轴向的力的平衡，可得2''2'2'''2hAIQqqqfxy2’’’-4’段：24222'''22/'4'''2hAyhtIQqdyytIQqfwxyyhwxy节点4’对应的剪力流为'''2'42qhAIQqfxy当0y时，2’’’-4’的剪力流达到最大值，即fwfxyfwxyAAhAIQhAhtIQq4112282max对应的最大剪应力为fwfwwyfwfwxywAAAAAQAAhAtIQtq/6/11/4/114112maxmax若忽略fwAA/的影响，则工字梁的最大剪应力为wyAQmax下翼缘的剪力流可有对称性求得，如图2-8c所示。从该图中可以看出，剪力流一般在受压侧的连接点出汇合，在受拉侧的连接点处分叉。（二）闭口薄壁截面弯曲剪应力（1）单箱单室断面对于单箱单室断面，在截面上任意一点做一切口，即闭口截面的剪力流为Aqqq0（2-27）其中，0q为开口截面剪力流，其在开口处为0；Aq为作用于开口截面处的剪力流，它沿截面外轮廓线为一常数。图2-9闭口截面剪力流由于实际上闭口截面切口处并无切口，该切口处的相对纵向位移为零，即Gqdsdu（2-38）即AsudsGqu0（2-39）设开口处A为s的起算点，将上式沿截面轮廓线积分一周，再回到A点时，即AAudsGqu（2-40）将（2-27）代入上式，则00dsGqdsGqA（2-41）dsdsqdsGdsGqqA001/（2-42）将式（2-42）代入（2-25）中，即dsdsSSIQdsdsSSIQqyyyxxxxy（2-43）上式中第一项为开口截面由于剪力而引起的剪力流0q，第二项为接口处的剪力流，该项沿截面周边是一常量。当x、y轴为截面主轴时，0xyI，则dsdsSSIQdsdsSSIQqyyyxxxxy（2-44）【算例2-3】求图2-10所示矩形断面在横向剪力yQ作用下的剪力流分布，壁厚均为。图2-10矩形断面在横向剪力Qy作用下【解】：由于本例题仅有yQ作用，即dsdsSSIQqxxxy（2-45）（1）将截面在1点处切口，求xS、ds和dsSx。作y图如图2-10（b）所示。由sxydFS0可求出该开口截面各点处的xS，即0)1(xS；22/)2(0abdsbSax；82)2()3(22/0babdsySSbxx2882)3()4(222/0abbbabdsySSbxx0222)4()5(0ababdsbSSaxx8)5()6(22/0bdsySSbxx据此可绘制开口截面的xS图，如图2-10（c）所示。)(2badsdsSdsSxx1（dsSx即为xS图的面积和）故2)(282328232225.0211122baabbbbbbababadsSdsSxx故4)(22)(abbabaabdsdsSx于是，4abSx图如图2-10（d）所示。(2)剪力流计算根据式（2-45）可以计算出截面的剪力流为4abSIQqxxy，即将xyIQ图乘图2-10（d）即可得到该闭口截面在剪力yQ作用下的剪力