高等桥梁结构理论课程讲义2014-03

第三讲薄壁箱梁剪力滞效应123.1薄壁箱梁弯曲的剪力滞效应宽翼缘T梁、工字梁以及箱梁断面，在对称荷载作用下按初等梁理论，截面的顶、底板正应力分布应是均匀的（符合平截面假定），而实际上截面顶、底板上的正应力分布是不均匀（平截面假定不成立）。图2-14悬臂箱梁上翼缘正应力分布3.3.1剪力滞效应定义在一悬臂箱梁悬臂端作用一对集中力P，根据初等梁理论，在平行于BC边的各截面上均会产生一沿BC方向均匀分布的应力，即consthIMxxz)2(而实际上，矩形断面的剪力流在翼缘板传递过程中，由于翼缘板剪切变形的影响，故靠近腹板附近的剪力流大，靠近翼缘板中心处较小，导致翼缘板的正应力靠近腹板处较大远离腹板处较小，即在平行于BC边的各截面上产生的正应力沿BC边方向是分布不均匀的。3/8/20203引入剪力滞系数来描述这一现象，即max式中，max为上翼缘板的最大正应力，为按初等梁理论计算的上翼缘板的正应力。剪力滞效应研究具有重要的工程应用背景。在航空工程中，发展金属飞机外壳，而外壳由板和肋组成，剪力滞效应的分布显得格外突出，收到广泛关注。土木工程中，早期对剪力滞效应并不关注，在1969年11月~1971年11月两年间，分别在奥地利、英国、澳大利亚与德国相继发生了四起钢箱梁失效或破坏事故，才引起工程技术人员的重视，后来认为是设计中没考虑剪力滞效应引起的。关于剪力滞现象的研究，根据其研究方法的不同大致可以分为如下几种：1.卡曼理论：1924年T.V.Karman就采用最小势能原理推导了连续梁有效分布宽度，称之为“卡曼理论”。2.弹性理论解析法：1938年，E.Reissner把上下板为波文状的悬臂矩形箱梁截面的剪力滞问题比拟成一正交异性板进行了研究，建立了剪力滞效应分析的正交异性板法，这一方法后被用来分析加劲箱梁的剪力滞分析中。1969年，Abdel-Sayed建立了正交异性板法。3/8/202043.比拟杆法：Younger在进行飞机薄板的分析时，假定轴向荷载由纵向加劲肋承担，而板本身是承受剪力的系板。后来Kuhn和Williams等对这一方法的基础上提出了加劲肋代换法，国内学者程翔云、张士铎等对这一方法进行改进和应用研究。4.能量变分法：1946年，E.Reissner提出能量变分法来分析剪力滞效应，其后日本和美国学者等也采用能量方法对剪力滞效应进行了研究，并于1982年美国学者发现了负剪力滞现象，并且认为负剪力滞仅仅发生在非均布剪力情况下。5.数值法：有限条法、有限元法和有限段法。2.3.2一维剪力滞效应薄壁断面（开口或闭口）梁在承受对称荷载作用而产生弯曲时，弯矩主要由上下翼缘板的受压和受拉来承担，而截面上的剪力一小部分由上下翼缘承担，绝大部分剪力由腹板承担，即可以近似认为上下翼缘板处于单向受力状态。现取一宽度为b的单向受力顶板进行分析，如图2-15所示。3/8/20205（a）宽度为b的单向受力板（b）微元体受力状态图2-15宽度为b的单向受力顶板应力与变形如图2-15所示，取一个微元体dxdy，开始时形状为A，在受荷载后变成菱形B，板的厚度为t，根据图2-15（b）微元体平衡条件可知0yxxyx（2-51）式中，x为沿x轴方向的正应力，xy为沿x轴方向的剪应力。若用),(yxfu表示顶板沿x轴的变形，则xuEExx，yuGGxyxy（2-52）3/8/20206将式（2-52）代入式（2-51）中，并记EGn/2（材料剪切模量与弹性模量之比），则得022222yunxu（2-53）式（2-53）的通解为yxchnDyxshnCyxshnByxchnAusinsincoscos（2-54）式中,,,,DCBA均为未知常数，由边界条件确定。边界条件：1.0x，0u；2.0x，0xy（即0yu，xy表示纵向剪应力沿0x的y轴为零）；3.0y（沿板的中线），纵向剪应力0xy，即0yu；4.lx（悬臂端）且0y（板中线上），0xu，即0x；3/8/20207将式（2-54）分别代入以上各边界条件，即0A，0B，0C，nlm2)12(即ynlmxchlmDu2)12(2)12(sin（,3,2,1m）（2-55）对式（2-55）微分一次，并乘以弹性模量E，则得顶板的正应力，即nlymchlxmlmEDz2)12(2)12(cos2)12(（,3,2,1m）（2-56）当1m时，nlychlxlEDz22cos2（2-57）当0y时，lxlEDz2cos20（2-58）当2/by时，nlbchlxlEDz42cos21（2-59）最大最小应力比值为nlbch401（2-60）由弹性力学知识可知，)1(21/2EGn，为泊松比。3/8/202081.对钢结构，3.0，3846.0)1(212n，即62.0n，则lbchnlbch27.1401（2-61）若0.1/lb，则92.127.101ch，其应力差比较明显。2.对于混凝土结构，16.0，4310.0)1(212n，即657.0n，则lbchnlbch20.1401（2-62）若0.1/lb，则81.12.101ch，其应力差也比较明显。b越大，则剪力滞效应越严重，当0.2/lb时，5.501。3/8/202092.3.3能量变分法1946年，E.Reissner提出能量变分法来分析剪力滞效应，本小节介绍采用能量变分法来求解带悬臂单箱单室薄壁截面的剪力滞效应。1.基本假定（i）宽翼缘箱梁在弯矩作用下的变形由两个广义位移来描述，梁竖向挠度用)(xw来描述，梁的纵向位移用),(yxu来描述，即)(xww（2-63）)(1),(33xubydxdwhyxui（2-64）式中),(yxu为梁的纵向位移；)(xu为由于翼缘板的剪切变形而引起的腹板处与翼缘板中心线之间转角的最大差值；b为箱室净宽的一半；ih为截面形心到上下翼缘距离。（ii）腹板满足平截面假定，不考虑腹板的剪切变形；（iii）上下翼缘板纵向纤维之间无竖向挤压，即0z，板平面外的剪切变形xz、yz和横向应变y均很小，可忽略不计。3/8/2020102.公式推导根据最小势能原理，在荷载作用下，结构处于平衡状态。当有任何虚位移时，体系总位能的一阶变分为零，即0)(VU（2-65）式中：U为体系形变势能，V为体系的荷载势能。（i）梁受弯时的荷载势能dxdxwdxMV22)(（2-66）式中，)(xM为梁体沿纵向x位置处的弯矩。（ii）梁受弯时应变能腹板势能wU：dxdxwdEIUwebw22221(2-67)上翼缘板势能suU：dxdyGEtUuxuusu)(2122（2-68）下翼缘板势能sbU：dxdyGEtUbxbbxb)(2122（2-69）3/8/202011yyxuxyxuyyxuxyxubbbxbuuuxu),(;),(),(;),((2-70)式中，E为弹性模量，G为剪切模量，ut为上翼缘板厚度，bt为下翼缘板厚度。将式（2-64）代入式（2-70）中，即)(3)('1)(3)('132333233xuhbyxubywhxuhbyxubywhbbbxbuuuxu（2-71）将式（2-71）代入式（2-68）、（2-69）中，有dxubGuuwwEIUsusu22259)'(149'23)(21(2-72)dxubGuuwwEIUsbsb22259)'(149'23)(21(2-73)3/8/202012式中：2222uuuusuhbtbhtI（不计自身惯性矩），上翼缘板对截面形心惯性矩；22bbsbbhtI，下翼缘板对截面形心惯性矩；sbsusIII，上下翼缘板对截面形心惯性矩；swebIII，截面整体对截面形心惯性矩；uh——上翼缘板中心到截面形心距离；bh——下翼缘板中心到截面形心距离；b——箱梁上翼缘悬臂长度；故体系总势能为dxubGuuwwEIdxdxwdEIdxdxwdxMVUsweb2222222259)'(149'23)(2121)(（2-74）3/8/202013对式（2-74）变分，并令其等于零，即0)(VU，则0'25921)'214923'232(21221)(2dxuubGIdxuuuwu（2-75）即0'59'14943'43)()(2dxuuGIbdxuudxuwEIdxuwEIdxwwIIEdxwxMssssweb（2-76）进一步化简，则0'59'14943'43)(2dxuuGIbdxuudxuwEIdxwuEIwEIxMsss（2-77）3/8/202014对上式中第二、三项分部积分，即dxuuudxuudxwuwudxuwxxxx')'('''21212（2-78）将式（2-78）代入到式（2-77），则有043'149'5943149'43)(212xxsssuwuEIdxuEbGuwuEIdxwuEIwEIxM（2-79）即得到下列微分方程及边界条件0'43)(uEIwEIxMs（2-80a）059431492EbGuwuEIs(2-80b)043'14921xxsuwuEI(2-80c)令瑞斯纳参数IIns8711，EGnbk5141（2-81）3/8/202015则式（2-80）可写成0'43)(uEIwEIxMs（2-82a）EIxnQuku6)(72（2-82b）式（2-82a,b）为采用变分原理推导的薄壁箱梁剪力滞效应所得到的位移函数的控制微分方程。对式（2-82a）进行变换，则有))((1'43)(FsMxMEIuIIEIxMw（2-83）式中，'43uIIMsF，为由剪力滞效应引起的附加弯矩，它与剪切转角的最大差值)(xu的一阶导数有关，而且与翼缘板的弯曲刚度sEI成正比。从式（2-83）中亦可以看出，考虑剪力滞效应，梁的曲率与弯矩关系已经不再是初等梁理论中EIxMw)(的关系，而是增加了附加弯矩FM的修正项。3/8/202016从而可得翼缘板的正应力)('431)(33xuIIbyEIxMEhsix（2-84）从上式中可以看到，应力中的第二项即为考虑剪力滞效应影响的修正项。当0y时，对应为箱梁翼缘板中央，对应的翼缘板正应力为)('431)(xuIIEIxMEhsixc（2-85）当by时，)('43)(xuIIEIxMEhsixw（2-86）式（2-80b）消去)(xu，则得到挠度的四阶微分方程：EIxMnEIxMkwkw)()(2（2-87）3/8/202017边界条件为：1）当板固结时，,0u0u；2）当板非固结