高等流体力学试卷及答案

上海海事大学高等流体力学复习题及答案一,试列出流线微分方程、轨迹方程和涡线方程及说明涡线和流线的区别。答：流线微分方程:dxu(x,y,z,t)=dyv(x,y,z,t)=dzw(x,y,z,t)轨迹方程:dxdt=u(x,y,z,t),dydt=v(x,y,z,t),dzdt=w(x,y,z,t)涡线方程：dxdωx=dydωy=dzdωz涡线与流线的区别：1）涡线：先把涡量定义为矢量，再定义涡量连续相切的曲线称为“涡线”。换种说法：“涡线”就是通过连续涡量（元涡）的轴线。2）流线：流体质点连续运动速度（矢量）与之相切的曲线称作“流线”它们的区别：流线定义前提一维和无旋。这样在一条流线上，同一运动质团能量守恒。因此推定出知名的柏努利定理方程。这个定理在无旋流体计算中一直起着十分重要的作用。但是在传统理论的涡线上无论定义它是一个涡量还是一串涡量，能量都是不被考虑的因素。龙卷风可以按现理论定义成一个连续涡量的涡线，其象鼻状的各段截面涡量显然不相同。即“涡量通量”。如果运动有涡,便存在涡线,运动无涡则不存在涡线。但是只要有流体运动,不论是否有涡,流线总是存在的二、流体微团运动的主要运动并用数学方程表示。答：平移：一个流体微团的所有流体质点都有相同的速度，即速度梯度为零。∆𝐮→=𝟎（这个表达式不正确）线变形：DεxDt=∂u∂x,DεyDt=∂v∂y,DεzDt=∂w∂z剪切变形：DγxyDt=∂u∂y+∂v∂x，DγyzDt=∂v∂z+∂w∂yDγzxDt=∂w∂x+∂u∂z旋转变形)(21)(21)(21yuxuxuzuzuyuxyzzxyyzx及)(21)(21)(21rurururuzuzururzzrzr三，试指出质点的随体导数、涡量、速度环量及斯托克定理的数学表达式及物理含义。答：随体导数：DηDt=∂η∂t+u∂η∂x+v∂η∂y+w∂η∂z式子中，∂η∂t是空间点上的η量的变化率，称为局部导数；u∂η∂x+v∂η∂y+w∂η∂z则表示由于流体质点在不均匀的η场内移动而引起的η量的变化率，称为对流导数；DηDt表示一个流体质点η量的总变化率，它等于局部导数和对流导数之和，称为随体导数。涡量：Ωx=∂w∂y−∂v∂z,Ωy=∂u∂z−∂w∂x,Ωz=∂v∂x−∂u∂y速度环量：zuyuxusuzysxsdddd斯托克定理：∮𝒖𝑑𝑙=∫𝛀∙𝐧adA四、速度势和流函数同时存在的条件，及各自的性质同时存在的条件：不可压缩流体的平面无旋流动各自的性质：势函数：调和函数，任一曲线的速度环量为两端点势函数之差；流函数：满足连续性方程；调和函数；任两条曲线间的流量等于流函数之差；五、试列出牛顿流体的本构方程及牛顿流流体动力学方程，并指出其物理意义。（𝐏𝟑𝟑）六、试用环量的圆柱绕流原理说明乒乓球中的弧度球和旋涡理论说明龙卷风的性质。七、已知某二维液流流速场为𝒖𝒙=Uy,,𝒖𝒚=Ux。（1）证明平面流动为势流；（2）求其等势线方程式。答：（1）证明，由题知道𝜕𝑢𝑥𝜕𝑡=𝜕𝑢𝑦𝜕𝑡=0，𝜔𝑧=12(𝜕𝑢𝑦𝜕𝑥−𝜕𝑢𝑥𝜕𝑦)=0,∴该二维流为恒定流且为势流。（2）依题意有势函数的全微分dφ=𝑢𝑥𝑑𝑥+𝑢𝑦𝑑𝑦=Uydx+Uxdy,则势函数为φ=Uxy+𝐶0那么等势线方程为：φ=Uxy+𝐶0=C（𝐶0和C为任意常数）八、已知速度势，求相应的流函数。（1）𝛗=𝒙𝟐−𝒚𝟐+𝒙;(2)𝛗=𝑪𝐜𝐨𝐬𝜽𝒓（其中C为常数）。答：（1）𝑢𝑥=𝜕φ𝜕𝑥=2x+1,𝑢𝑦=𝜕φ𝜕𝑦=−2y，则相应的流函数的全微分dψ=-𝑢𝑦𝑑𝑥+𝑢𝑥𝑑𝑦=2ydx+(2x+1)dy,即ψ=2xy+y+C(C为任意常数)（2）𝑢𝑟=𝜕φ𝜕𝑟=−𝐶cos𝜃𝑟2,𝑢𝜃=𝜕φ𝑟𝜕𝜃=−𝐶sin𝜃𝑟2,则dψ=dψ𝜕𝑟𝑑𝑟+∂ψ𝜕𝜃𝑑𝜃=-𝑢𝜃dr+r𝑢𝑟𝑑𝜃即dψ=𝐶sin𝜃𝑟2dr−𝐶cos𝜃𝑟𝑑𝜃,那么ψ=-𝐶sin𝜃𝑟+𝐶0(𝐶0为任意常数)九、已知二维速度场u=3x+y,v=2x-3y,求绕圆柱体（𝐱−𝟐）𝟐+（𝐲−𝟒）𝟐=𝟏𝟔的速度环量答：由于是二维速度场，根据斯托克定理有：速度环量Γ=∬（𝜕𝑣𝜕𝑥−𝜕𝑢𝜕𝑦）dA𝐴=∬(2−1)𝐴dA=16π(在这里A表示圆柱体的截面域)。十、已知速度场u(x,t)=x/t,v=h,h为常数，设流体的密度只是时间的函数𝛒=𝛒(𝐭)。试求密度的表达式。答：列连续性方程：𝜕𝜌𝜕𝑡+𝜕(𝜌𝑢)𝜕𝑥+𝜕(𝜌𝑣)𝜕𝑦+𝜕(𝜌𝑤)𝜕𝑧=0由于ρ=ρ(t)，v=h为常数，且w=0,所以，𝜕𝜌𝜕𝑡+𝜌𝑡=0,解得ρ(t)=𝐶𝑡（t≠0且C为常数）当t=0时，ρ=ρ(t=0)十一、已知有环量圆柱体绕流的复位势中a为圆柱体半径，U为来流速度，𝚪为速度环量。F(z)=U(𝒂𝟐𝒛⁄)-i𝚪𝐥𝐧(𝒛/𝒂)试用伯努利方程求沿圆柱表面的压强分布p(a,𝜽)和流体对圆柱体的作用力。答：(1)𝑊𝑧=𝑑𝐹𝑑𝑧=-U(𝑎𝑧)2-iΓ𝑧，将z=Rei𝜃代入有𝑊𝑧=-U(𝑎𝑅)2e−2i𝜃-iΓ𝑅e−i𝜃=[-U(𝑎𝑅)2e−i𝜃-iΓ𝑅]e−i𝜃又由e−i𝜃=cos𝜃-isin𝜃，则𝑊𝑧={-U(𝑎𝑅)2cos𝜃+𝑖[U(𝑎𝑅)2sin𝜃−Γ𝑅]}e−i𝜃又𝑊𝑧=(𝑢𝑅−𝑖𝑢𝜃)e−i𝜃，当R=a时，𝑢𝑅=Ucos𝜃，𝑢𝜃=Γ𝑎-Usin𝜃根据伯努利方程：p+12ρ𝑢2=C,则p=C-12ρ𝑢2=C-12ρ(𝑢𝑅2+𝑢𝜃2)=C−𝜌2(𝑈2−2𝑈𝚪𝑎sin𝜃+𝚪2𝑎2)(2)根据留数定理和布拉修斯公式：X-iY=𝑖𝜌2∮𝑊2𝑑𝑧,而由（1）有𝑊𝑧2=𝑈2𝑎4𝑧4+i2𝑈𝚪𝒂𝟐𝑧3-𝚪2𝑧2所以X-iY=𝑖𝜌2∮(𝑈2𝑎4𝑧4+i2𝑈𝚪𝒂𝟐𝑧3−𝚪2𝑧2)𝑑𝑧=0（猜为0）即X=0（表示圆柱体所受阻力，沿流动方向为0），升力Y等于虚部的负值也为0.