一元函数微积分学内容提要

第四部分一元函数微积分第11章函数极限与连续[内容提要]一、函数：(138-141页）1、函数的定义：对应法则、定义域的确定、函数值计算、简单函数图形描绘。2、函数分类：基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数的统称）；复合函数（[()]yfx）；初等函数（由常数和基本初等函数构成的，且只能用一个式子表达的函数）；分段函数；隐函数；幂指函数（()()gxyfx）；反函数。3、函数的特性：奇偶性；单调性；周期性；有界性.二、极限：1、极限的概念：(141-142页)定义1：（数列极限）给定数列nx，如果当n无限增大时，其通项nx无限趋向于某一个常数a，即axn无限趋近于零，则称数列nx以a的极限，或称数列nx收敛于a，记为axnnlim，若nx没有极限，则称数列nx发散。定义2：（0xx时函数)(xf的极限）设函数)(xf在点0x的某一去心邻域0(,)Ux内有定义，当x无限趋向于0x（0xx）时，函数)(xf的值无限趋向于A，则称0xx时，)(xf以A为极限，记作Axfxx)(lim0。左极限：设函数)(xf在点0x的左邻域00(,)xx内有定义，当0xx且无限趋向于0x时，函数)(xf的值无限趋向于常数A，则称0xx时，)(xf的左极限为A，记作00(0)lim()xxfxfxA。右极限：设函数)(xf在点0x的右邻域00(,)xx内有定义，当0xx且无限趋向于0x时，函数)(xf的值无限趋向于常数A，则称0xx时，)(xf的右极限为A，记作00(0)lim()xxfxfxA。定义3：（x趋于无穷大时函数)(xf的极限）设)(xf在区间)0(aax　时有定义，若x无限增大时，函数)(xf的值无限趋向于常数A，则称当x时，)(xf以A为极限，记作lim()xfxA。左极限：设函数)(xf在(,]a上有定义，若x时，)(xf的值无限趋近于常数A，则称当x时，)(xf以A为极限，记作Axfx)(lim。右极限：设函数)(xf在[,)a上有定义，若x时，)(xf的值无限趋近于常数A，则则称当x时，)(xf以A为极限，记作lim()xfxA。注意：①极限与左右极限的关系Axfxx)(lim000(0)(0)fxfxAlim()xfxAlim()lim()xxfxfxA．②讨论极限0lim()xxfx时，与()fx在0x处是否有定义无关，与函数值0()fx也无关。2、极限的性质：(143页)（1）唯一性：若lim()fx存在，则极限值唯一。（2）有界性：若0lim()xxfxA（lim()xfxA），则()fx在0(,)Ux内（x充分大时）是有界的；（3）保号性：设Axfxx)(lim0，如果0A（或0A），则在0(,)Ux内，有0)(xf（或0)(xf）；反之，如果在0(,)Ux内有0)(xf（或0)(xf），则必有0A（或0A）．推广：设Axfxx)(lim0，0lim()xxgxB，如果AB，则在0(,)Ux内，有()()fxgx；反之，如果在0(,)Ux内有()()fxgx，则必有AB。注意：当x时，保号性结论类似。3、无穷小量与无穷大量：(146-149页)（1）无穷小量与无穷大量的概念及关系：无穷小量：若0()lim()0xxxfx，则称函数()fx为0()xxx或时的无穷小量。（无穷小量是函数有极限的特殊情形，即0()lim()0xxxfx）无穷大量：若0()xxx或时，()fx无限变大，则称()fx为0xx()x或时的无穷大量。（无穷大量是函数没有极限的特殊情形；即0()lim()xxxfx）（2）值得注意的几个关系：①极限与无穷小量关系：lim()fxA()fxA，（其中为无穷小，即lim0）；②在自变量的同一变化过程中，若()fx为无穷大量，则1()fx为无穷小量；若()fx（()0fx）为无穷小量，则1()fx为无穷大量。③若0()lim()xxxfx，则称()fx在00(,)Ux（或xM）内为无界函数。即无穷大量必为无界函数，但无界函数不一定为无穷大量。例如：()sinfxxx在(,)为无界函数，但当x时，()fx不是无穷大量。（3）无穷小量的比较：设x时，()0,()0xx且()lim()xxcx，1）若0c为常数，则称x时()x与()x为同阶无穷小；特别的：当1c时，则称x时()x与()x是等价无穷小，记作：x时()()xx。2）若0c，则称x时()x是比()x高阶的无穷小，记作()(())xox；3）若c，则称x时()x是比()x低阶的无穷小。（4）无穷小量的替换定理：设x时，(),(),xx11(),()xx都是无穷小量，且1()()xx1()()xx，极限11()lim()xxx存在，则()lim()xxx11()lim()xxx。例：222001cos12limlimtan2xxxxxx；322001113limlim339xxxxxxxx三、函数的连续性1、连续的概念：（149-147页）名称定义函数在点0x连续若00lim()()xxfxfx，则称()fx在点0x处连续.或若0lim0xy000lim()()0xfxxfx则称()fx在点0x处连续.左连续若00lim()()xxfxfx，称()fx在点0x处左连续.右连续若00lim()()xxfxfx，称()fx在点0x处右连续.函数在点0x处连续的充要条件()fx在点0x处左连续且右连续.即0lim()xxfx00lim()()xxfxfx函数在(,)ab内连续若()fx在(,)ab内的每一点均连续，称()fx在(,)ab内连续.函数在[,]ab上连续若()fx在(,)ab内连续，且在点a右连续（lim()()xafxfa），在点b左连续（lim()()xbfxfb），称函数在[,]ab上连续.2、间断点及其分类：（147-151页）定义：函数()fx的不连续点叫其间断点.分类：设0x为()fx的间断点（1）若0(0)fx及0(0)fx均存在，则0x叫()fx的第一类间断点，若0(0)fx=0(0)fx（即0lim()xxfx存在）0x叫()fx第一类可去间断点；（2）若0(0)fx及0(0)fx有一个不存在，则0x叫()fx的第二类间断点.3、连续函数的运算：（148页）（1）四则运算：两个连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数.（2）反函数的连续性：若原函数单值、单调且连续，则其反函数也单值、单调且连续.（3）复合函数的连续性：两个连续函数所复合成的复合函数必连续.（4）初等函数的连续性：结论：一切基本初等函数在其定义域均连续.初等函数在其定义区间均连续.4、闭区间上连续函数的性质:（148-149页）（1）有界性：设()fx在[,]ab上连在续，则()fx在[,]ab上有界.（2）最值定理：设()fx在[,]ab上连续，则()fx在[,]ab上必有最大值M和最小值m.即12,[,]xxab，使得[,]xab，有12()()()mfxfxfxM.（3）零点存在定理：设()fx在[,]ab上连续，且()()0fafb，则(,)cab，使得()0fc.（函数值为零的点叫该函数的零点）（4）介值定理：设()fx在[,]ab上连续，()()fafb，C是介于()()fafb与之间的任何实数，则必(,)ab，使得()fC.推论：闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.四、计算极限的常用方法：（类型：00，，0，，0，1，00等等）★（1）观察法：例如：1lim0nn；222232limlim33xxxxx；lim0(1)nnqq。★（2）四则运算法则：若Axf)(lim，Bxg)(lim，则i）BAxgxfxgxf)(lim)(lim)]()(lim[ii）ABxgxfxgxf)(lim)(lim)]()(lim[推广：lim()lim()kfxkfxkA（k常数），lim()lim()nnnfxfxA（n自然数）iii）)0()(lim)(lim)()(limBBAxgxfxgxf　　★（3）两个重要极限公式：1sinlim0xxx，exxx)11(lim或10lim(1)xxxe★（4）利用函数的连续性：若()fx在点0x处连续，则)()(lim00xfxfxx．★（5）利用无穷小量的性质：在同一自变量的变化过程中，i）有限个无穷小量的代数和与乘积仍是无穷小量；ii）无穷小量与有界量的乘积仍是无穷小量；iii）无穷小量与有极限的变量之积仍是无穷小量；iv）若()不恒为零为无穷小量，则1为无穷大量．v）无穷小量的等价代换：当0x时：sinxx，tanxx，arcsinxx，arctanxx，ln(1)xx，1xex，1lnxaxa，11nxxn，xcos122x．★（7）极限存在的充要条件：Axfxx)(lim000(0)(0)fxfxAlim()xfxAlim()lim()xxfxfxA★（8）洛必达法则（00或）：若00()()lim()lim()0xxxxxxfxgx（或），()()lim()xaxfxgx存在（或为），则()()()()limlim()()xaxaxxfxfxgxgx第12章一元函数微分学[内容提要]一、导数与微分：1、导数概念：(156-159页)（1）导数的定义名称定义函数在点0x的导数)(0xf0000()()limlimxxfxxfxyxx000()()limxxfxfxxx000()()limhfxhfxh导数的记号：)(0xf0xxy0ddxxxy0d)(dxxxxf左导数0()fx000000()()()()limlimxxxfxxfxfxfxxxx右导数0()fx000000()()()()limlimxxxfxxfxfxfxxxx．函数在点0x处可导的充要条件0()fx和0()fx均存在且相等.即0()fx00()()fxfx函数在(,)ab内可导(,)xab，有xxfxxfxfx)()(lim)(00()()limhfxhfxh导数的记号：)(xfyxyddxxfd)(d．函数在[,]ab上可导若函数)(xfy在开区间)(ba，可导，且()fa及()fb都存在，则称)(xfy在[]ab，上可导．高阶导数二阶及二阶以上的导数称为高阶导数，)(xf叫一阶导数．即()(1)nnyy（2）导数的几何意义：00d()dxxykfxx切线，曲线)(xfy在点M)(00yx，处的切线方程：000()()()yfxfxxx法线方程：0001()()()yfxxxfx（3）可导与连续的关系：定理：若函数)(xfy在点0x处可导，则函数在该点必连续.注意：可导连续，但连续却不一定可导.2、导数的运算：（1）基本导数公式（共16个）（159-161页）函数导数公式常函数0)(C，C为任意常数幂函数1)(