导数专题(经典23题)

第1页23个函数与导函数类型专题1、函数第1题已知函数ln()x1fxx1x，若x0，且x1，ln()xkfxx1x，求k的取值范围.解析：⑴将不等式化成()(*)k模式由ln()xkfxx1x得：lnlnx1xkx1xx1x，化简得：ln22xxk1x1①⑵构建含变量的新函数()gx构建函数：ln()22xxgxx1（x0，且x1）其导函数由'''2uuvuvvv求得：'()(lnln)()22222gxxxxx1x1即：'()[()()ln]()22222gxx1x1xx1()ln()222222x1x1xx1x1②⑶确定()gx的增减性先求()gx的极值点，由'()0gx0得：ln20020x1x0x1即：ln20020x1xx1③由基本不等式lnxx1代入上式得：20020x1x1x1故：20020x1x10x1即：()()0201x110x1由于2011x1，即20110x1，故：0x10，即0x1即：()gx的极值点0x1在0xx1时，由于22x11x1有界，而lnx0无界第2页故：ln22x1x0x1即：在0xx1时，'()gx0，()gx单调递减；那么，在00xx时，()gx单调递增.满足③式得0x恰好是0x1⑷在(,)x1由增减性化成不等式在(,)x1区间，由于()hx为单调递减函数，故：()lim()x1gxgxlnlim2x12xxx1应用不等式：lnxx1得：ln()limlimlim22x1x1x12xx2xx12x1x1x1x1即：()()gxg11，即：()gx的最大值是()g1代入①式得：()k1gx，即：()k1g1，即：k0④⑸在(,)x01由增减性化成不等式在(,)x01区间，由于()gx为单调递增函数，故：()lim()x0gxgxlnlim2x02xxx1由于极限limlnx0xx0，故：()gx0，代入①式得：k1⑤⑹总结结论综合④和⑤式得：k0.故：k的取值范围是(,]k0本题的要点：求出ln22xx1x1的最小值或最小极限值.特刊：数值解析由①式ln22xxk1x1，设函数ln()22xxKx1x1当x1时，用洛必达法则得：第3页ln(ln)'(ln)limlimlim()22x1x1x12xx2xx2x112xx1x1，则()K10用数值解如下：x0.30.40.50.60.70.80.91.0()Kx0.20620.12730.07580.04220.02090.00830.00180.0000x1.11.21.31.41.51.61.71.8()Kx0.00150.00550.01140.01860.02690.03590.04540.0553其中，()Kx的最小值是()K10，即()()KxK1，所以本题结果是k0.2、函数第2题已知函数()ln2fxxax，a0，x0，()fx连续，若存在均属于区间[,]13的,，且1，使()()ff，证明：lnlnln322a53解析：⑴求出函数()fx的导函数函数：()ln2fxxax①其导函数：'()2112axfx2axxx()()12ax12axx②⑵给出函数()fx的单调区间由于x0，由②式知：'()fx的符号由()12ax的符号决定.当12ax0，即：1x2a时，'()fx0，函数()fx单调递增；当12ax0，即：1x2a时，'()fx0，函数()fx单调递减；当12ax0，即：1x2a时，'()fx0，函数()fx达到极大值.⑶由区间的增减性给出不等式由,均属于区间[,]13，且1，得到：[,]12，[,]23若()()ff，则,分属于峰值点1x2a的两侧第4页即：12a，12a.所以：所在的区间为单调递增区间，所在的区间为单调递减区间.故，依据函数单调性，在单调递增区间有：()()()f1ff2③在单调递减区间有：()()()f2ff3④⑷将数据代入不等式由①式得：()f1a；()lnf224a；()lnf339a代入③得：()lnaf24a，即：lna24a，即：ln2a3⑤代入④式得：ln()ln24af39a，即：lnln24a39a，即：lnln32a5⑥⑸总结结论结合⑤和⑥式得：lnlnln322a53.证毕.本题的要点：用导数来确定函数的单调区间，利用单调性来证明本题.特刊：特值解析由⑶已得：[,]12，[,]23，且：()ln2fa，()ln2fa若：()()ff，则：lnln22aa即：()lnln22a，故：lnln22a当：2，1时，ln2a3当：3，2时，lnln32a5故：a处于这两个特值之间，即：lnlnln322a53第5页3、函数第3题已知函数()ln()2fxxax2ax.若函数()yfx的图像与x轴交于,AB两点，线段AB中点的横坐标为0x，试证明：01xa.解析：⑴求出函数()fx导函数函数()fx的定义域由lnx可得：x0.导函数为：'()()1fx2ax2ax()()112xax①⑵确定函数的单调区间当1a0x，即(,)1x0a时，'()fx0，函数()fx单调递增；当1a0x，即(,)1xa时，'()fx0，函数()fx单调递减；当1a0x，即1xa时，'()fx0，函数()fx达到极大值()1fa.()ln()()21111fa2aaaaaln111aa②⑶分析图像与x轴的交点，求出a区间由于lim()xfx0，lim()x0fx0若()fx与x轴交于,AB两点，则其极值点必须()1f0a.即：ln1110aa，即：ln111aa③考虑到基本不等式ln111aa及③式得：ln11111aaa即：1111aa，即：22a，即：a1结合ln1a，即：a0得：(,)a01④⑷求出,AB点以及A关于极值点的对称点C第6页,AB两点分居于极值点两侧，即：A1xa，B1xa设：A11xxa，B21xxa，则,12xx0，且11xa（因x0）设：C11xxa，则Cx与Bx处于相同得单调递减区间(,)1xa.于是：()()ABfxfx0，即：()11fx0a故：()ln()()()()2A111111fxxax2axaaaln()()()2111121112axa2xx2axaaaaln()ln211111axa1axax0a⑤将1x替换成1x代入()Afx就得到()Cfx：()()ln()ln2C111111fxfx1axa1axaxaa⑥⑸比较,,ABC点的函数值，以增减性确定其位置构造函数：()()()()()1CA1111gxfxfxfxfxaa将⑤⑥式代入上式得：()ln()ln()1111gx1ax1ax2ax⑦其对1x的导函数为：'()111aagx2a1ax1ax2212a2a1ax221221ax2a1ax⑧由于④式(,)a01及11xa，所以'()1gx0.即：()1gx是随1x的增函数，其最小值是在1x0时，即：()()1gxg0由⑦式得：()g00，故：()()1gxg00.第7页当1x0时，()()()1CAgxfxfx0，即：()()()CABfxfxfx由于Cx和Bx同在单调递减区间，所以由()()CBfxfx得：CBxx即：C1B211xxxxaa，即：12xx或21xx0⑨⑹得出结论那么，由⑨式得：()0AB1xxx2()12111xx2aa()21111xxa2a即：01xa.证毕.本题的关键：首先求得极值点m1xa，以mx为对称轴看,AB的对称点就可以得到结论.具体措施是：设C点，利用函数的单调性得到CBxx4、函数第4题已知函数()'()()x121fxf1ef0xx2.若()21fxxaxb2，求()a1b的最大值.解析：⑴求出函数()fx的解析式由于'()f1和()f0都是常数，所以设'()f1A，()f0B，利用待定系数法求出函数()fx的解析式.设：()x121fxAeBxx2，则：()Af0Be其导函数为：'()x1fxAeBx，则：'()f1AB1A所以：B1，Ae，函数()fx的解析式为：()x21fxexx2①⑵化简不等式()21fxxaxb2即：()x2211fxexxxaxb22，故：()xea1xb0②第8页⑶构建新函数()gx，并求其极值点构建函数()()xgxea1xb③其导函数：'()()xgxea1④要使②式得到满足，必须()gx0.即：'()gx0，或()gx的最小值等于0故当()gx取得极值时有：'()Mgx0，由④式得极值点：ln()Mxa1此时的()gx由③得：()()()ln()Mgxa1a1a1b0⑤⑷求()a1b的最大值由⑤式得：()[ln()]ba11a1，则：()()[ln()]2a1ba11a1⑥令：ya1，则⑥式右边为：()(ln)2hyy1y（y0）其导函数为：'()(ln)()(ln)21hy2y1yyy12yy⑦当ln12y0，即：(,)y0e时，'()hy0，()hy单调递增；当ln12y0，即：(,)ye时，'()hy0，()hy单调递减；当ln12y0，即：ye时，'()hy0，()hy达到极大值.此时，()hy的极大值为：()()(ln)2ehee1e2⑧⑸得出结论将⑧代入⑥式得：()()ea1bhy2，故：()a1b的最大值为e2本题的关键：利用已知的不等式()21fxxaxb2得到关于()a1b的不等式即⑥式，然后求不等式⑥式的极值.5、函数第5题已知函数()ln()fxxxa的最小值为0，其中a0.若对任意的[,)x0，有()2fxkx成立，求实数k的最小值.解析：⑴利用基本不等式求出a第9页利用基本不等式xe1x或lnyy1，得：ln()()xa1xa即：ln()()xxax1xa1a，即：()ln()fxxxa1a已知()fx的最小值为0，故1a0，即：a1或者，将[,)x0的端点值代入()fx，利用最小值为0，求得a1⑵用导数法求出a函数()fx的导函数为：'()1fx1xa①当xa1，即x1a时，'()fx0，函数()fx单调递减；当xa1，即x1a时，'()fx0，函数()fx单调递增；当xa1，即x1a时，'()fx0，函数()fx达到极小值.依题意，()fx的最小值为0，故当x1a时，()f1a0即：()ln()f1a1a1aa1a0，故：a1函数的解析式为：()ln()fxxx1②⑶构建新函数()gx当[,)x0时，有()2fx