解析几何圆锥曲线结论

六.圆锥曲线1.椭圆(!)椭圆22221(0)xyabab的参数方程是.cossinxayb(2)椭圆22221(0)xyabab焦半径公式10PFaex，20PFaex.12,FF分别为左右焦点(3)椭圆22221(0)xyabab的准线方程为2axc,椭圆22221(0)xyabba的准线方程为2ayc(4)椭圆22221(0)xyabab的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)长为22ba(5)P是椭圆22221(0)xyabab上一点,F1,F2是它的两个焦点,∠F1PF2=θ,则△PF1F2的面积=2tan2b,当点P与椭圆短轴顶点重合时21PFF最大；P是椭圆22221(0)xyabab上一点,A,B是长轴的两端点,当点P在短轴端点时,APB最大.(6)若AB是过焦点F的弦,设,AFmBFn,P表示焦准距,则112mnep2.双曲线(1)双曲线22221(0,0)xyabab的准线方程为2axc双曲线22221(0,0)xyabba的准线方程为2ayc(2)双曲线22221(0,0)xyabab的渐近线方程为0xyab,双曲线22221(0,0)xyabba的的渐近线方程为0xyba(3)P是双曲线22221(0,0)xyabab上一点,F1,F2是它的两个焦点,∠F1PF2=θ则△PF1F2的面积=2cot2b(4)若AB是过焦点F的弦,设,AFmBFn,P表示焦准距,AB交在同支时,112mnep,AB交在两支时,112mnep(设mn)（5）双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于虚半轴长。准线过垂足。※等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项（2）共轭双曲线：12222byax与22221xyab其离心率分别为1,2,ee2212111ee1222ee其性质：①渐近线相同；②焦距相同（焦点不同）（3）渐近线相同的双曲线系方程为：2222xyab0渐近线方程都是0xyab（7）有心型二次曲线（圆、椭圆、双曲线）上任一弦中点与中心连线的斜率与弦所在直线的斜率之积为11x22焦点在轴上，e1焦点在y轴上,e（对圆则是－１，为什么？）3.抛物线(1)pxy22上的动点可设为P),2(2ypy或或)2,2(2ptptPP(,)xy，其中22ypx.(2)P(0x,0y)是抛物线pxy22上的一点,F是它的焦点,则|PF|=0x+2p(3)抛物线y2=2px(p0)的焦点弦AB性质：1．x1x2=42p；y1y2=－p2；2．pBFAF2||1||1；3．以AB为直径的圆与准线相切；4．以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切；5．sin22pSAOB。6焦点弦长22sinpl,其中是焦点弦与x轴的夹角;7点P是抛物线pxy22上的一点,F是它的焦点,,OFFP则1cosPPF⑥AB的中垂线与X轴交于点R，则2ABFR（6）抛物线y2=2px(p0)，对称轴上一定点)0,(aA，则①若ap，顶点到点A距离最小，最小值为a；②若pa，抛物线上有关于x轴对称的两点到A的距离最小，最小值为22app。（7）直线与圆锥曲线相交：弦长公式2221212114ABkkxxxxa212122114yyyyk4、A，B是抛物线y2=2px(p0)上两点，则直线AB过定点12,02Mayyap（或212xxa）（1）先证“”设直线AB：xmya，与抛物线方程联立得2122202ympyapyyap从而可得212xxa（2）再证“”设直线AB：xmyr，与抛物线方程联立得21222022ympyrpyyrpapra从而可证得直线AB过定点,0Ma5、抛物线y2=2px(p0)与直线ykxb相交于1122,,,AxyBxy且该直线与y轴交于点30,Cy，则有123111yyy6、过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，自A、B两点向准线作垂线，垂足分别为11,AB，则01190AFB；其逆命题：若01190AFB，则A、F、B三点共线。※若点M是准线上任一点，则090AMB7、过抛物线y2=2px(p0)的顶点O作两条互相垂直的动弦OA，OB，则①2212124,4xxpyyp②直线AB过定点2,0Mp③OABS的最小值为24p4.直线与圆锥曲线相交的弦长公式221212()()ABxxyy或2212||11ABxxkka（弦端点A),(),,(2211yxByx，由方程0)y,x(Fbkxy消去y得到02cbxax，0,k为直线的斜率）.若（弦端点A),(),,(2211yxByx由方程0)y,x(Fbkxy消去x得到20aybyc，0,k为直线的斜率）.则122211||11AByykak5.圆锥曲线(,)0Fxy关于点00(,)Pxy成中心对称的曲线是00(2-,2)0Fxxyy.求圆锥曲线的切线与切线有关的过定点问题1、已知点00,Pxy是椭圆222210xyabab上任意一点，求以点P为切点的切线方程。解：①若2220220,11xxyfxbbaa设，20000222002021bxbxbxkfxyayxaaba切线为;222222222000000020bxyyxxbxxayybxayabay00221xxyyab②若2020,1xyfxba设，20020bxkfxay与①同理得00221xxyyab③若00,,0yPa则，则切线xa亦满足。故所求的切线方程为00221xxyyab。2、已知点00,Pxy是双曲线222210,0xyabab上任意一点，求以点P为切点的切线方程。解：①若2220220,11xxyfxbbaa设，20002202021bxbxkfxayxaa切线为;222222222000000020bxyyxxbxxayybxayabay00221xxyyab②若00,y，与①同理得00221xxyyab③若00,,0yPa则，则切线xa亦满足。故所求的切线方程为00221xxyyab。3、已知点00,Pxy是抛物线220xpyp上任意一点，求以点P为切点的切线方程。解：200112fxxfxxpp0000022xyyyyxxxxpp切线：4、已知椭圆222210xyabab，点,Pmt是定直线:lxm上一动点，过点P作椭圆的两条切线PA、PB，A、B为切点，求证：直线AB过定点，并求出定点的坐标。证明：设1122,,,AxyBxy，由第1题的结论，则11221xxyyab，22221xxyyab，则有11221xmytab22221xmytab，,AB两点的坐标满足221mtxyab故直线AB：221mtxyab，由于mt定变，20ayxm令定值，即直线AB过定点2,0am点评：若点,Pmt定直线:lyt上的动点呢？则直线AB过定点20,bt5、已知双曲线222210,0xyabab，点,Pmt是定直线:lxm上一动点，过点P可作双曲线的两条切线PA、PB，A、B为切点，求证：直线AB过定点，并求出定点的坐标。证明：设1122,,,AxyBxy，由第2题的结论，则11221xxyyab，22221xxyyab，则有11221xmytab22221xmytab，,AB两点的坐标满足221mtxyab故直线AB：221mtxyab，由于mt定变，20ayxm令定值，即直线AB过定点2,0am点评：若点,Pmt定直线:lyt上的动点呢？只要能过其上的点作两条切线，则直线AB过定点20,bt6、已知抛物线220xpyp，点,Pmt是定直线:lyt上一动点，过点P可作抛物线的两条切线PA、PB，A、B为切点，求证：直线AB过定点，并求出定点的坐标。证明:设1122,,,AxyBxy，由第3题的结论，则1122,xmpytxmpyt,AB两点的坐标满足mxpyt故直线AB：mxpyt，由于mt变定，0yt令x定值，即直线AB过定点0,t7、已知椭圆C：222210xyabab的左、右顶点分别是A、B，设,Qmt是直线:lxm上的动点，若直线,QAQB与椭圆C分别交于M、N，求证：直线MN过定点2,0am证明：222222tyxamabxayab22222232422220mabatxatxatabma22322222222222,abmaatabtmaMmabatmabat同理23222222222222,atabmaabtmaNmabatmabat2222222MNbmtkbmaat直线MN:222322222222222222222abtmaabmaatbmtxbmaatmabatmabaty-令20ayxm，故直线MN过定点2,0am注意:理解思路，试题一般会告知具体数字。变式：已知椭圆C：222210xyabab的上、下顶点分别是A、B，设,Qmt是直线:lyt上的动点，若直线,QAQB与椭圆C分别交于M、N，求证：直线MN过定点20,bt8、已知双曲线C：222210,0xyabab的左、右顶点分别是A、B，设,Qmt是直线:lxm上的点，直线,QAQB与双曲线C分别交于M、N，求证：直线MN过定点2,0am9、已知抛物线220ypxp的顶点为O，P为直线0xaa上一动点，过点P作x轴的平行线与抛物线交于点M，直线OP与抛物线交于点N，则直线MN过定点,0Aa证明：设2,,,2mPamMmp则，直线OP：myxa代入22ypx得2222,papaNmm，直线MN:22222222pammmymxmpappm0yxa点评：①过定点,0Aa的直线MN与抛物线交于点,MN，经过点M和抛物线顶点O的直线交定直线lxa：于P，则PNx轴；②过定点,0Aa的直线MN与抛物线交于点,MN，作PNx轴交定直线lxa：于P，则,,MOP三点共线。10、已知点P是椭圆C：222210xyabab上不同于左、右顶点A、B的任意一点，直线,PAPB分别交直线:lxm于点,MN，则以MN为直径的圆经过定点证明：2221212,,1PAPByykkyymaemama以MN为直径的圆：120xmxmyyyy令220byxmmaa即过定点22,0bmmaa11、过抛物线220ypxp的焦点F任意作直线l与抛物线交于点,