不等式的基本性质

第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1.不等式的基本性质【自主预习】1.两个实数a,b的大小关系a-b0a-b=0a-b02.不等式的基本性质(1)对称性:ab⇔____.(2)传递性:ab,bc⇒____.(3)可加性:____⇔a+cb+c.baacab(4)可乘性:如果ab,c0,那么______;如果ab,c0,那么______.(5)乘方:如果ab0,那么an__bn(n∈N,n≥2).(6)开方:如果ab0,那么__(n∈N,n≥2).acbcacbcnanb【即时小测】1.若ab0,则下列结论不正确的是()A.a2b2B.aba2【解析】选A.因为ab0,所以0-b-a,故B,C,D都正确,A错误.baC.2D.|a||b||ab|ab2.下列不等式:(1)x2+32x(x∈R).(2)a5+b5≥a3b2+a2b3(a,b∈R).(3)a2+b2≥2(a-b-1).其中正确的个数()A.0B.1C.2D.3【解析】选C.因为x2+3-2x=(x-1)2+20,所以(1)正确;a5+b5-(a3b2+a2b3)=(a2-b2)(a3-b3)=(a-b)2(a+b)(a2-ab+b2)正负不确定,所以(2)不正确;a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0.所以(3)正确.【知识探究】探究点不等式的基本性质1.若ab,cd,那么a-cb-d吗?提示:不一定成立,同向不等式具有可加性,但不具有可减性.如21,51,但2-51-1不成立.2.若ab,cd,一定有acbd吗?提示:不一定,如a=-1,b=-2,c=-2,d=-3时就不成立.【归纳总结】1.符号“⇒”和“⇔”的含义“⇒”与“⇔”,即推出关系和等价关系,或者说“不可逆关系”与“可逆关系”,这要求必须熟记和区别不同性质的条件.2.性质(3)的作用它是移项的依据.不等式中任何一项改变符号后,可以把它从一边移到另一边.即a+bc⇒ac-b.性质(3)是可逆的,即ab⇔a+cb+c.3.不等式的单向性和双向性性质(1)和(3)是双向的,其余的在一般情况下是不可逆的.4.注意不等式成立的前提条件不可强化或弱化成立的条件.要克服“想当然”“显然成立”的思维定式.如传递性是有条件的;可乘性中c的正负,乘方、开方性质中的“正数”及“n∈N,且n≥2”都需要注意.类型一作差法比较大小【典例】设m≠n,x=m4-m3n,y=n3m-n4,比较x与y的大小.【解题探究】比较两个多项式的大小常用的方法是什么?提示:常用作差比较法.【解析】因为x-y=(m4-m3n)-(mn3-n4)=(m-n)m3-n3(m-n)=(m-n)(m3-n3)=(m-n)2(m2+mn+n2)222n3mn[(m)n],24又m≠n,所以(m-n)20,因为所以x-y0,故xy.22n3[(m)n]0,24【方法技巧】作差比较法的四个步骤【变式训练】1.若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则f(x)与g(x)的大小关系是_________.【解析】f(x)-g(x)=3x2-x+1-(2x2+x-1)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥10,所以f(x)g(x).答案:f(x)g(x)2.若x,y均为正实数,判断x3+y3与x2y+xy2的大小关系.【解析】x3+y3-x2y-xy2=x2(x-y)-y2(x-y)=(x2-y2)(x-y)=(x-y)2(x+y),因为x0,y0,所以(x-y)2(x+y)≥0,所以x3+y3≥x2y+xy2.类型二不等式性质的简单应用【典例】判断下列命题是否正确,并说明理由.(1)ab0,则(2)cab0,则(3)若,则adbc.(4)设a,b为正实数,若a-b-,则ab.11.abab.cacbabcd＞1a1b【解题探究】判断上述每个命题真假的关键是什么?提示:关键是利用不等式的性质或者举反例进行判断.【解析】(1)因为ab0,所以ab两边同乘以得得,故正确.(2)因为c-a0,c-b0,且c-ac-b所以0,又ab0,所以,正确.1ab11ababab＞，1a1b11cacb＞abcacb＞(3)由,所以0,即adbc且cd0或adbc且cd0,故不正确.abcd＞abcdadbc0adbc0adbc0cd0cd0.cd＞，＜，即＞，所以或＞，＜(4)因为a-b-,且a0,b0,所以a2b-bab2-a⇒a2b-ab2-b+a0,⇒ab(a-b)+(a-b)0⇒(a-b)(ab+1)0,所以a-b0,即ab,正确.1a1b【方法技巧】1.利用不等式的性质判断命题真假的技巧(1)要判断一个命题为真命题,必须严格证明.(2)要判断一个命题为假命题,或者举反例,或者由题中条件推出与结论相反的结果.其中,举反例在解选择题时用处很大.2.运用不等式的性质判断命题真假的三点注意事项(1)倒数法则要求两数同号.(2)两边同乘以一个数,不等号方向是否改变要视此数的正负而定.(3)同向不等式可以相加,异向不等式可以相减.【变式训练】1.下列命题中正确的是_________.①若ab0,cd0,那么②若a,b∈R,则a2+b2+5≥2(2a-b).ab;dc【解析】因为ab0,cd0,所以0,故①错误.a2+b2+5-2(2a-b)=a2+b2+5-4a+2b=(a-2)2+(b+1)2≥0,所以②正确.答案:②abdcab.dc2.若ab0,分别判断下列式子是否成立,并简述理由.11111.2.abaabb【解析】(1)成立.由ab0得aa-b0,所以则(2)成立.因为ab0,所以a+bb0,则所以10,aab10,abb11.aba11.abb类型三利用不等式的性质证明简单不等式【典例】已知ab0,cd0,求证:【解题探究】证明该不等式成立的关键是什么?提示:证明的关键是由不等式的性质得到a-c与b-d的大小关系.ba.acbd＜【证明】因为cd0,所以-c-d0,又ab0,所以a-cb-d0,所以0,再由0ba,所以ba.acbd＜11acbd＜【延伸探究】1.(改变问法)本题条件不变,证明:33ab.dc【证明】因为cd0,所以-c-d0,所以又ab0,所以所以同乘以-1得110,cdab0,dc3333abab.dcdc即，33ab.dc2.(变换条件、改变问法)本题中加上条件“e0”,其他条件不变,证明:【证明】因为cd0,所以-c-d0,又ab0,所以a-cb-d0,所以(a-c)2(b-d)20,所以又e0,所以22ee.acbd＞2211,acbd＜22ee.acbd＞【方法技巧】利用不等式性质证明简单不等式的实质与技巧(1)实质:就是根据性质把不等式进行变形,要注意不等式性质成立的条件.(2)技巧:若不能直接由不等式性质得到,可先分析需要证明的不等式的结构.利用不等式的性质进行逆推,寻找使其成立的充分条件.【变式训练】1.已知ab0,cd0.求证:【证明】因为ab0,所以0因为cd0,所以0所以acbd.acbd＞11,ab＜11,cd＜11110,0,abdc＞＜所以所以即又a,c,b,d均大于0,所以所以1111,abdc＜1111,acbd＜acbd,acbd＜acbd.acbd＞acbd0,0,acbd＞＞2.已知a0,b0,c0,d0,且,求证:【证明】因为a0,b0,c0,d0且,所以adbc,所以ad+cdbc+cd,即d(a+c)c(b+d),所以acbd＞acc.bdd＞acbd＞acc.bdd＞自我纠错作差法比较大小【典例】设a+b0,n为偶数,的大小关系为_______________.n1n1nnba11abab与【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.提示:n为偶数时,an-bn和an-1-bn-1不一定同号,这里忽略了在题设条件a+b0且没有明确字母的具体值的情况下,要考虑分类讨论,即对a0,b0和a,b有一个负值的情况加以讨论.正确解答过程如下:【解析】(1)当a0,b0时,(an-bn)(an-1-bn-1)≥0,(ab)n0,nnn1n1n1n1nnnababba11.abababnnn1n1n1n1nnnababba110.ababab所以，故(2)当a,b有一个为负数时,不妨设a0,b0,且a+b0,所以a|b|.又n为偶数,所以(an-bn)·(an-1-bn-1)0,且(ab)n0,故即综合(1)(2)可知,答案:nnn1n1nabab0,abn1n1nnba11.ababn1n1nnba11.ababn1n1nnba11abab